ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola:

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1 ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI: Per la prova è consentito esclusivamente l uso di una calcolatrice tascabile, delle tavole della normale e della t di Student. I risultati degli esercizi vanno riportati nell apposito spazio in calce ad ogni quesito con l approssimazione richiesta di volta in volta, mentre i calcoli intermedi effettuati vanno riportati (con chiarezza) sui fogli protocollo ricevuti. La consegna di tutti i fogli protocollo ricevuti è obbligatoria. STATISTICA DESCRITTIVA 1. Nella seguente tabella è contenuta la distribuzione delle temperature massime giornaliere (in gradi centigradi) rilevate nel mese di giugno 2014 in una certa stazione meteorologica di Londra. Temperature Frequenze relative (0,10] 0.50 (10,14] 0.20 (14,20] 0.30 (a) Rappresentare graficamente la distribuzione. (b) Individuare la classe modale e il terzo quartile. (c) Calcolare la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione. (d) A causa del riscaldamento globale, si prevede che la temperatura aumenter di 0.25 gradi centigradi nel 2015.Come variano media e varianza della temperatura? 2. L economista Elisabetta vuole verificare la relazione tra la retribuzione netta mensile dei dirigenti di un Ministero, misurata in migliaia di euro, e il loro grado di istruzione universitaria, misurato dal numero di anni necessari ad acquisire i titoli di studio accademici posseduti dal dirigente. A questo scopo, Elisabetta riceve dal Ministero le seguenti statistiche calcolate da un campione casuale di n = 50 dirigenti: la varianza della retribuzione è pari a 25; la varianza del grado di istruzione è 9; la covarianza tra retribuzione e grado di istruzione è 10 (a) Si calcoli il grado di relazione lineare tra le variabili. Commentare i risultati. (b) Ricavare, col metodo dei minimi quadrati, una stima del coefficiente angolare del modello di regressione lineare con variabile dipendente la retribuzione e variabile indipendente il grado di istruzione. (c) Qual è la percentuale della variabilità della retribuzione del dirigente spiegata dal grado di istruzione del dirigente?. 3. Data la seguente tabella a doppia entrata A B (a) Si calcoli un opportuno indice di associazione. Commentare i risultati. (b) Calcolare la varianza between. (c) Calcolare la varianza within.

2 PROBABILITÀ ED INFERENZA 4. In genere il 75% degli studenti del corso di statistica dichiara di aver gradito il corso. Nel corso degli anni è stato osservato che l 85% degli studenti che hanno gradito il corso prende un buon voto allesame, mentre solo il 30% di coloro che non hanno gradito il corso riesce a prendere un buon voto. (a) Si supponga di selezionare uno studente a caso: qual è la probabilità che esso abbia preso un buon voto? (b) Sapendo che lo studente selezionato ha preso un buon voto, con quale probabilit a esso ha gradito il corso? (c) Si considerino 8 studenti estratti casualmente e si indichi con X il numero di studenti che hanno gradito il corso. Assumendo che il gradimento del corso sia indipendente tra uno studente e laltro, come si distribuisce la variabile casuale X? Calcolarne inoltre il valore atteso e la varianza. (d) Si calcoli E(X 2 ). (e) Qual è la probabilità che almeno 7 degli 8 studenti abbiano gradito il corso? 5. Si estrae un campione casuale di 100 modelli di automobili prodotte sull Isola che non cè e vengono rilevati i seguenti dati di costo di produzione (X), misurati in migliaia di euro 100 x i = 800, i=1 100 x 2 i = i=1 (a) Si proponga uno stimatore non distorto del valore atteso del costo di produzione totale (X), e si calcoli la relativa stima nel campione. (b) Si proponga uno stimatore non distorto per la varianza del costo totale di produzione (X), e si derivi la stima nel campione. (c) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello (1-α) = 0.90 per la media della variabile casuale X. (Giustificare in modo appropriato i passaggi utilizzati) (d) Trovare la numerosità campionaria minimia affinché l intervallo di confidenza per la media della variabile casuale X abbia ampiezza 0.5. (e) Calcolare la probabilità che il prezzo medio sia superiore a 7.1. (f) Calcolare il costo di produzione che viene superato dal 50% delle automobili. 6. Data una variabile aleatoria normale X N(10, 4) (a) Calcolare i quartili della distribuzione 1. Per la seguente tabella a doppia entrata: STATISTICA DESCRITTIVA Classi di età [15-25) [25-29) [29-31) Lavora Non Lavora (a) Costruire la distribuzione doppia di frequenze percentuali (b) Costruire la distribuzione condizionata di frequenze percentuali della condizione lavortiva (c) Calcolare l eterogeneità della condizione lavorativa (d) Calcolare la classe modale per l età

3 (e) Disegnare l istogramma di frequenze assolute per l età di chi lavora e di chi non lavora (f) Calcolare la media aritmetica dell età (g) Calcolare la varianza dell età. (h) Calcolare la varianza between e within per la variabile età. (i) Calcolare un opportuno indice di associazione. Commentare il risultato 2. Dato il carattere età, su un collettivo di 100 unità sono stati rilevati i seguenti indici: media pari a 2, mediana pari a 1.5 e media dei quadrati dagli scarti dalla mediana pari a 0.5. (a) Si calcoli lo scarto quadratico medio. (b) Si calcoli la proporzione massima delle unità che comprese tra 1.4 e Sapendo che 5 i=1 x i = 100, 5 i=1 x2 i = 2400, 5 i=1 y i = 3, 5 i=1 y2 i = 15, 5 i=1 x iy i = 40 (a) trovare i parametri della retta di regressione per y in funzione di x (b) valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati.

4 PROBABILITÀ ED INFERENZA 4. Due palline vengono scelte a caso da un urna che contiene 8 palline bianche, 4 nere e 2 gialle. Supponiamo che si vincano 2 euro per ogni pallina nera estratta e se ne perda uno per ogni pallina bianca estratta. Denotiamo con X la vincita. (a) Quali sono i possibili valori di X e con quali probabilita vengono ottenuti (NB. le estrazioni sono con ripetizion3). (b) Calcolare il valore atteso della vincita. 5. Un urna contiene 18 palline, 12 delle quali sono arancioni. Si estraggono dall urna 4 palline. (a) Sapendo che 3 delle palline estratte sono arancioni, con che probabilita sono arancioni le prime due estratte? (NB. le estrazioni sono con ripetizion3) 6. Data una variabile aleatoria distribuita come una Normale con media 0 e varianza 4. (a) Determinare i quartili della distribuzione della variabile aleatoria 7. Data la variabile reddito in migliaia di euro, distribuita come una Normale, si estrae un campione di famiglie (A): A : (a) Calcolare l intervallo di confidenza per la media del reddito al 90% per il Campione A. 8. Determinare il valore atteso della varianza campionaria STATISTICA DESCRITTIVA 1. Definire quando una distribuzione di frequenze simmetrica e fornire un esempio. 2. Sia data la distribuzione dei contribuenti secondo il carattere titolo di studio. Le informazioni raccolte sono riassunte nella tabella Titolo di Studio Frequenze relative Dottorato 0.01 Laurea Licenza Superiore 0.40 Licenza Media 0.20 Elementare 0.19 (a) Descrivere la tipologia del carattere rilevato. (b) Completare in modo opportuno la tabella di frequenze. (c) Calcolare, se possibile, la moda, motivandone, nel caso, l impossibilità di applicazione. (d) Calcolare, se possibile, il titolo di studio mediano, motivandone, nel caso, l impossibilità di applicazione.

5 (e) Calcolare, se possibile, il titolo di studio medio, motivandone, nel caso, l impossibilità di applicazione. (f) Calcolare, se possibile, l entropia relativa, motivandone, nel caso, l impossibilità di applicazione. (g) Rappresentare graficamente, in modo opportuno, la distribuzione. 3. Per la tabella a doppia entrata sotto riportata, sappiamo inoltre che ϕ 2 = 1 e che ȲX=1 è pari a 4,4. X Y Totale Totale 100 (a) Completare lo schema determinando le frequenze congiunte della tabella (b) Enunciare in modo formale i principali indici di associazione, definendone inoltre il minimo ed il massimo

6 PROBABILITÀ ED INFERENZA 4. Data una variabile normale X N(3, 2) (a) è possibile determinare la mediana della distribuzione? In caso affermativo, dare il valore della mediana (motivare le risposte). (b) è possibile determinare la moda della distribuzione? (motivare le risposte). In caso affermativo, dare il valore della moda (c) è possibile determinare il terzo quartile della distribuzione? In caso affermativo, dare il valore del primo quartile (motivare le risposte). 5. Sia data la seguente distribuzione doppia di una popolazione di cittadini classificati per grado di soddisfazione rispetto al servizio di trasporto pubblico e zona di residenza: Soddisfatto Insoddisfatto Centro Periferia Supponendo di estrarre a caso un cittadino, si determini: (a) la probabilità che risieda in centro o sia insoddisfatto. (b) la probabilità che risieda in periferia e sia soddisfatto. (c) sapendo che è risiede in centro, la probabilità che sia soddisfatto del trasporto pubblico. 6. (4 punti) Data la popolazione P={1,3,5}, costruire la distribuzione della media campionaria X per campioni di dimensione n = 2. (a) Calcolare inoltre E( X). (b) Calcolare inoltre V ar( X). 7. Una bibita viene venduta in bottiglia. La quantità X di liquido in ml. contenuto in ciascuna confezione ha distribuzione normale di media 10 e varianza 1. Durante le ispezioni agli impianti di imbottigliamento vengono scartate tutte le confezioni che contengono meno di 8 ml. di bevanda. (a) Qual è la probabilità che ciascuno dei pezzi controllati venga scartato? (b) Qual è il valore della soglia della quantità di liquido che deve essere fissata dagli ispettori affinché al più il5% delle confezioni debba essere scartato? (c) Indichiamo con X i, i = 1, 2,..., 9, la quantità di liquido contenuta in ciascuna di n = 9 bottiglie estratte a caso tra quelle prodotte. Qual è la distribuzione della media campionaria X? 8. Un campione casuale di 169 nuove lampadine presenta una durata di vita media di 100 ore e scarto quadratico medio di 3 ore. Un altro campione di 49 vecchie lampadine presenta una durata di vita media di 90 ore e scarto quadratico medio di 5 ore. (a) Calcolare l intervallo di confidenza per la differenza tra le durate di vita media dei due tipi di lampadine al 90%. (b) Calcolare l intervallo di confidenza per la differenza tra le durate di vita media dei due tipi di lampadine al 99%.