CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi

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1 CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione di frequenze relative degli abbonati alla pay per view per squadra di calcio: Squadra Bari Bologna Lecce Milan Piacenza Roma Sampdoria Vicenza f i rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Milan]. Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice: Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen n i rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = F iat]. Esercizio 1.3 Data la seguente distribuzione dei medici a tempo definito secondo la qualifica degli Istituti generali regionali di cura pubblica 1991: Qualifica Direttori Vice-direttori Primari Aiuti Assistenti n i rappresentarla graficamente e calcolare la moda e la mediana [R: Mo = Aiuti, Me = Aiuti]. 1

2 Statistica n.o. - II canale 2 Esercizio1.4 Data la seguente distribuzione di un insieme di scuole per tipo (Compendio 1996): Tipo materna elementare media secondaria tot n i rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = materna, Me = elementare, Q 1 = materna, Q 3 = media]. Esercizio1.5 Data la seguente distribuzione dei suicidi per il titolo di istruzione (Compendio 1996): Tipo analfabeta elementare media superiore tot n i rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = media, M e = media, Q 1 = elementare, Q 3 = media]. Esercizio 1.6 Data la seguente distribuzione delle vendite di auto per tipo (Quattroruote, aprile 1996): utilitaria media super lusso n() rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = utilitaria, M e = utilitaria, Q 1 = utilitaria, Q 3 = media]. Esercizio 1.7 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa a tempi tra sbuffi di Geyser: n() e individuare classe modale, mediana e media aritmetica. [R: µ = 72.7; Me = 75]. Esercizio 1.8 Data la seguente distribuzione degli appartamenti dichiarati abitabili a Milano nel 1932 secondo l ampiezza: n. vani n() rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana e quartili [R: Mo = 2, Me = 3, Q 1 = 2, Q 3 = 3].

3 Statistica n.o. - II canale 3 Esercizio 1.9 Data la seguente distribuzione di un collettivo di 15 studenti secondo il voto ottenuto all esame di Statistica: voto n() a) rappresentare graficamente la distribuzione; b) calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana; c) utilizzando i dati della tabella, costruire una distribuzione di frequenza in classi, con classi 18-20, 21-23, 24-26, 27-30, e calcolare la media aritmetica nell ipotesi di uniforme distribuzione del carattere all interno delle classi; confrontare i risultati con quelli del punto b). [R: b) µ = 25.4, Mo = 27, Me = 26; c) µ = 25.63]. Esercizio 1.10 Data la seguente distribuzione di pontefici secondo la durata del pontificato (in anni): durata (anni) e più tot n i a) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l ultima classe a 28; b) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l ultima classe a 40, e commentare; c) calcolare lo scostamento quadratico medio (chiudendo l ultima classe a 28); d) senza rifare tutti i calcoli, calcolare la mediana, la media aritmetica, lo scostamento quadratico medio della durata del pontificato in mesi (chiudendo l ultima classe a 28). [R : a) µ = 7.37, Me = 6; b) µ = 7.46, Me = 6; c) σ = 5.8; d) µ = 88.44, Me = 72, σ = 69.6]. Esercizio 1.11 Data la seguente distribuzione secondo il reddito (in milioni), per cui per ogni classe è noto l ammontare di reddito posseduto dagli individui della classe: reddito >100 tot n i ammontare a) calcolare la media aritmetica utilizzando l informazione sull ammontare di reddito per ogni classe; b) calcolare la media aritmetica ipotizzando l uniforme distribuzione del reddito nelle classi; [R : a) µ = 4.73; b) µ = 4.81].

4 Statistica n.o. - II canale 4 Esercizio 1.12 Data la seguente distribuzione relativa ai gradi di nuvolosità registrati presso un osservatorio di Parigi in 2192 giorni: gradi tot n i a) calcolare la classe modale; b) calcolare la media aritmetica e la varianza; c) calcolare la mediana e i quartili. [R : a) Mo = (80 100) ; b) µ = 60.5, σ 2 = ; c) Me = 70.3, Q 1 = 32.2, Q 3 = 88.0]. Esercizio 1.13 Consideriamo le temperature massime registrate a Catania negli anni : Anno Temperatura a) Calcolare media e lo scostamento quadratico medio. b) Senza rifare tutti i calcoli, calcolare media e scostamento quadratico medio delle temperature misurate in Farenhait (nota: F = 32 + C 9/5). [R: a) µ = 40.2; σ = 2.94; b) µ = ; σ = 5.292] Esercizio 1.14 In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere () su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: n() a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) calcolarne la media, la mediana e la varianza. [R: µ = 3.84; Me = 3; σ 2 = 4.47]

5 Statistica n.o. - II canale 5 Esercizio 1.15 In una classe di 24 studenti i voti riportati all esame di maturità sono stati i seguenti: a) calcolare la media aritmetica; b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza (modalità per modalità), e su di essa calcolare la media aritmetica; e diversa da quella del punto a)? perche? c) dopo aver effettuato una suddivisione in classi di ampiezza 4, calcolare nuovamente la media aritmetica ipotizzando l uniforme distribuzione del carattere nelle classi; e diversa da quella del punto b)? perche? Esercizio 1.16 Lungo una strada statale vi sono 7 distributori di benzina: due al km 8, tre al km 40, uno al km 61 e uno al km 106. I distributori hanno uguale capienza, vengono riforniti uno alla volta e richiedono rifornimenti con uguale frequenza. A quale km della strada si dovrà costruire un deposito di benzina da cui partano le autobotti con i rifornimenti per i distributori se si vogliono minimizzare i costi di trasporto, supposti proporzionali alle distanze? Perchè? [R: Me = km 40] Esercizio 1.17 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivo rispetto al carattere : F() a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) individuare la classe modale; c) calcolare mediana e media aritmetica; d) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3; e) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di 12. [R: b) classe modale: (4-6); c) µ = 11.4, Me = 8.25; d) µ z = 33.2, σ 2 z = ; e) F (12) = 0.684] Esercizio 1.18 Una sessione è costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari a Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l intera sessione il voto medio risulta pari a 27. a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello. b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello. [R: µ 3 = 27.56; σ 2 = 6.36]

6 Statistica n.o. - II canale 6 Esercizio 1.19 In una popolazione di 1000 alberghi a tre stelle in località di montagna, mare e città, si è rilevato il prezzo medio (in migliaia di lire) di una stanza doppia per una notte (per il mese di settembre). I prezzi medi e gli scostamenti quadratici medi di ciasun gruppo e dell intera popolazione sono stati i seguenti: Ubicazione n. alberghi prezzo medio sqm Montagna Mare Città tot ricavare lo scostamento quadratico medio del prezzo degli alberghi in città. [R: σ città = 14.09] Esercizio 1.20 Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti () sono risultate così distribuite: e più n() a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione. b) Calcolare moda, mediana e media aritmetica. c) Calcolare i quartili e il decimo e il trentesimo percentile. [R: b) Mo = 2, Me = 3, µ = 2.985; c) Q 1 = 2, Q 3 = 4, P 10 = 1, P 30 = 2] Esercizio 1.21 Data la seguente tabella: n() a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza. b) Calcolare: la mediana, il primo e il terzo quartile. [R: Me = 3.67; Q 1 = 1.64; Q 3 = 10.5; ] Esercizio 1.22 Sia data la seguente distribuzione dei redditi: Classi di reddito (milioni) Frequenze relative fino a oltre Totale Calcolare media, s.q.m., un indice di asimmetria e la proporzione di unità con reddito compreso nell intervallo (µ σ, µ + σ). Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41; F (µ + σ) F (µ σ) = 0.725]

7 Statistica n.o. - II canale 7 Esercizio 1.23 Data la seguente distribuzione di frequenza: n i a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) calcolare la mediana e la media aritmetica; c) calcolare lo scostamento quadratico medio; d) calcolare un indice di asimmetria. [R: b) Me = 4.8, µ = 13.26; c) σ = 17.61; d) γ = 2.006] Esercizio 1.24 In una cittadina degli Stati Uniti è stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono ( in parti di miliardi) fra l 1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: n() a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative. b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria. c) Calcolare la proporzione di giorni con concentrazione media compresa nell intervallo (µ σ, µ + σ). [R: b) µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78; c) F (µ + σ) F (µ σ) = 0.672; Esercizio 1.25 In un campione di 100 aziende della provincia di Milano è stata rilevata la superficie, ottenendo i seguenti risultati: Classe di superficie Numero di aziende a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene più opportuno. b) Si determini la classe modale. c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria. d) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie 50. e) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie 40. f) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie >60 [R: b) classe modale: (0-10); c) Me=25.814; d) F (50) = 0.76; e) F (40) = 0.65; f) 1 F (60) = 0.22]

8 Statistica n.o. - II canale 8 2 Esercizi sulle distribuzioni doppie Esercizio 2.1 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire () e numero di weekend dedicati a viaggiare (Y): Y calcolare: a) la media e la varianza di, la media e la varianza di Y, la Cov(,Y), il coefficiente di correlazione di Bravais; b) la media di quando Y è tra 2 e 3 weekend. [R: a) µ x = 1.98, σ 2 x = 1.01, µ y = 1.83, σ 2 y = 1.67, σ xy = 0.11, r = 0.08; b) µ x y (2 3) = Esercizio 2.2 Data la seguente distribuzione doppia: Y a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficiente di correlazione di Bravais. [R: a) µ x = 14.25, µ y = 2.125, σ 2 x = 44.44, σ 2 y = 0.61, σ xy = 3.47, r = 0.67; Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione doppia: Y a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficiente di correlazione di Bravais; b) calcolare la media di quando Y cade nella terza classe. [R: a) µ x = 7.2, µ y = 3.4, σ 2 x = 9.76, σ 2 y = 1.44, σ xy = 0, r = 0; b) µ x y (4 6) = 7.2]

9 Statistica n.o. - II canale 9 Esercizio 2.4 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri spese mensili per generi alimentari () e per generi non alimentari (Y ) in milioni di lire (valori centrali delle classi) rilevate su un collettivo di 150 famiglie: Y a) calcolare la media e la varianza di, la media e la varianza di Y, la Cov(, Y ), il coefficiente di correlazione di Bravais; b) calcolare la media e la varianza di quando Y = 2.5. [R: a) µ x = 0.782, µ y = 2.467, σ 2 x = 0.055, σ 2 y = 0.671, σ xy = 0.035, r = 0.183; b) µ x y=2.5 = 0.773, σ 2 x y=2.5 = 0.054; Esercizio 2.5 In un collettivo di 50 famiglie è stata rilevata la distribuzione congiunta dei redditi mensili da lavoro del marito () e della moglie (Y ) espressi in migliaia di euro (valori centrali delle classi): Y a) fare la rappresentazione grafica delle tre distribuzioni della condizionate da Y = 0, Y = 1, Y = 2, e calcolarne le medie; b) calcolare Cov(, Y ) e il coefficiente di correlazione di Bravais; c) calcolare il numero di famiglie per le quali il reddito del marito è pari ad almeno 2 mila euro e quello della moglie ad almeno mille. [R: a) µ x y=0 = 2.22, µ x y=1 = 1.92, µ x y=2 = 1.25; b) σ xy = 0.216, r = 0.369; c) 18. Esercizio 2.6 Per la seguente serie di coppie di valori: Y Y 4 67 si sa che il coefficiente di correlazione r xy =1. Si determinino i due valori mancanti 5 e Y 4. [R: 5 = 13; Y 4 = 52]

10 Statistica n.o. - II canale 10 Esercizio 2.7 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Aziende di credito Amministrazioni postali Totale I due tipi di deposito sono così distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro- Nord e Mezzogiorno: Aziende di credito Amministrazioni postali Centro-Nord 79.9% 65.9% Mezzogiorno 20.1% 34.1% Totale 100% 100% a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R: χ 2 = ] Esercizio 2.8 Data la seguente tabella a doppia entrata: Y tot tot completarla nell ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. aritmetica e la mediana di Y. [R: µ y = 4.4; Me y = 4] Calcolare poi la media Esercizio 2.9 Data la seguente tabella: a) riempirla in modo che risulti χ 2 rel =1; b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ 2? [R: χ 2 = 150] Y 1 6 tot tot

11 Statistica n.o. - II canale 11 Esercizio 2.10 Data la seguente tabella a doppia entrata: a) riempirla in modo che risulti χ 2 rel = 1; b) calcolare poi χ 2. [R: χ 2 = 200] Y 1 3 tot tot Esercizio 2.11 Per saggiare il giudizio sulla corrispondenza fra documentazione statistica e realtà dei medici, è stato chiesto a un campione di essi se le statistiche ufficiali italiane sulle malattie infettive rappresentino la situazione reale: Giudizio Ruolo Tutte Solo alcune Nessuna Tot Medico condotto Mutualistico Ospedaliero Altri Tot Valutare se vi è dipendenza tra giudizio e ruolo dei medici. [R: χ 2 = 1.74] Esercizio 2.12 In 115 supermercati sono stati rilevati il prezzo di vendita () ed il numero delle confezioni vendute (Y) di un certo tipo di prodotto ottenendo la seguente distribuzione doppia: Y Tot Tot a) Valutare se vi è dipendenza assoluta e dipendenza lineare tra prezzo di vendita e numero di confezioni vendute. Commentare i risultati. b) Quanti supermercati hanno venduto almeno 170 confezioni ad un prezzo non superiore a 0.80?

12 Statistica n.o. - II canale 12 Esercizio 2.13 Per la seguente tabella: Y Y 1 Y 2 Y 3 Y senza svolgere i calcoli, determinare χ 2 e χ 2 rel. [R: χ2 = 47; χ 2 rel = 1] Esercizio 2.14 Data la seguente distribuzione doppia: Y commentare i valori che si ottengono per il χ 2 e per r xy.[r: χ 2 rel = 0.5; r xy = 0] Esercizio 2.15 Valutare se vi è dipendenza tra la regione di provenienza e la facoltà di iscrizione per un campione di studenti iscritti al I anno dell Università di Bologna nel 1974: Facoltà Provenienza Sud-Isole Centro Nord Tot A B C D Tot [R: χ 2 = ]

13 Statistica n.o. - II canale 13 3 Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizio 3.1 Uno studente universitario ha programmato di sostenere nella sessione estiva gli esami e Y. Sia A l evento supera l esame e sia B l evento supera l esame Y, con P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A B)=0.4. Calcolare la probabilità che superi almeno uno dei due esami. [R: P(A B)= 0.8] Esercizio 3.2 Su 100 visitatori di un negozio, 60 hanno dichiarato di essere stati attratti da un annuncio pubblicitario. In totale 40 visitatori hanno fatto acquisti, e tra questi 30 avevano visto l annuncio pubblicitario. a) Quale e la probabilita di fare acquisti per coloro che hanno visto l annuncio? b) e per coloro che non l hanno visto? [R: a) 0.5; b) 0.25] Esercizio 3.3 Una scheda elettronica e composta di due parti, A e B. Se la scheda risulta guasta ci sono 50 possibilita su 100 che A sia guasta. Se A si guasta, allora la probabilita che anche B risulti danneggiato (per cui bisogna procedere a sostituire sia A e B) e 0.7. Se A non e guasta, la probabilita di dover sostituire B e pari a 0.1. Calcolare la probabilita di sostituire A e B. [R: 0.35] Esercizio 3.4 Una cavia puo scegliere tra due strade: quella a destra (D) porta al cibo, quella a sinistra (S) porta a una scarica elettrica. Da passate esperienze e noto che la prova volta la cavia sceglie D o S a caso. Sottoponendo la cavia a una seconda prova si e inoltre osservato che: se la prima volta e andata a D, la seconda va ancora a D con probabilita 8/10, se la prima volta e andata a S, la seconda va a D con probabilita 6/10. Calcolare la probabilita che la cavia vada a D nella seconda prova. [R: 0.7] Esercizio 3.5 Tre macchine producono rispettivamente il 45%, il 35% ed il 20% dei bulloni prodotti in una certa fabbrica. Sul totale dei bulloni prodotti da ciascuna delle tre macchine risultano difettosi rispettivamente il 2%, il 5%, e il 6% dei bulloni. Scelto a caso un bullone, viene trovato difettoso. Quale e la probabilita che questo sia stato prodotto dalla macchina A? [R: 0.234] Esercizio 3.6 Una fabbrica produce RAM che possono avere due tipi di difetti, il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma che, dall esperienza passata, la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a 0.3; la probabilità che abbia il difetto A è pari a 0.3; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0.2. Calcolare la probabilità che una RAM abbia: a) il difetto B; b) il difetto A, dato che si è riscontrato che ha il difetto B. [R: P(B)=0.2; P(A B)=1] Esercizio 3.7 Nel cinema Bianchini ci sono due sale. Marco ha deciso di andare a vedere il film che viene proiettato nella sala B, ma è in ritardo. Sa che, arrivando all ultimo momento, la probabilità di trovare ancora un posto nella sala A è pari a 0.2, la probabilità di trovarlo in almeno una delle due sale è 0.4, e la probabilità che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c è ancora un posto nella sala A è 0.3. Quale è la probabilità che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella sala B? [R: P(B)=0.26]

14 Statistica n.o. - II canale 14 Esercizio 3.8 In ciascuna copia di una edizione economica dei Promessi Sposi, il 60% delle pagine contiene almeno un errore di stampa. Se ne produce una ristampa riveduta in cui errori di stampa sono contenuti solo nel 20% delle pagine. Da uno scaffale, che contiene 20 libri della prima edizione e 10 della seconda, si sceglie un libro a caso. Si esamina una pagina, scelta anch essa in modo casuale, e si trova un errore di stampa. a) Quale è la probabilità che il libro sia della prima edizione? b) E della ristampa? [R: P(I E)=0.86; P(II E)=0.14] Esercizio 3.9 Un urna contiene 4 palline bianche e 2 rosse, un altra ne contiene 2 bianche e 4 rosse. Da una delle due urne scelta a caso è stata estratta una pallina rossa. Quale è la probabilità che sia stata estratta dalla prima urna? [R: P(U 1 R)=1/3] Esercizio 3.10 Un urna contiene 6 palline rosse e 4 nere, un altra ne contiene 2 rosse e 8 nere. Se si estraggono con reimmissione 3 palline da una delle due urne scelta a caso, e si osservano 3 palline nere, quale è la probabilità che queste siano state estratte dalla prima urna? Come cambia questa probabilità se l estrazione è fatta senza reimmissione? [R: P(U 1 N N N)=1/9; P(U 1 N N N)=1/15] Esercizio 3.11 Due tifosi, Paolo e Carlo, vanno spesso allo stadio. Paolo ha assistito al 70% delle partite e Carlo ha assistito al 90% delle partite. a) Sapendo che la presenza di Paolo allo stadio è indipendente dalla presenza di Carlo (e viceversa), quale è la probabilità che almeno uno dei due tifosi abbia assistito ad una partita? b) Quale è la probabilità che Paolo abbia assistito a una partita di campionato sapendo che Carlo ha assistito alla stessa partita? [R: P(P C)=0.97; P(P C)=0.7] Esercizio 3.12 Per arrivare ad una cena tra amici, Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilità, fra i seguenti mezzi di trasporto: bus, auto e bicicletta. Le probabilità che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, se prendono rispettivamente il bus, l auto e la bicicletta, sono pari a 0.6, 0.2 e 0.4. a) Determinare la probabilità che Paolo arrivi in ritardo. b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, quale è la probabilità che almeno uno giunga in ritardo? c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, quale è la probabilità che abbia viaggiato in auto? [R: P(R P )=0.4; P(R P RG )=0.64; P(A R P )=0.17] Esercizio 3.13 Se una moneta lanciata 3 volte produce 2 teste e una croce, quale e la probabilita che il primo lancio sia testa? [R: 2/3] Esercizio 3.14 Quale e la probabilita che in 3 estrazioni (senza ripetizione) da un mazzo di carte francesi si ottengano 3 figure? [R: ] Esercizio 3.15 Una coppia di sposi decide di avere bambini fino alla nascita di un figlio maschio (M). Sia la variabile casuale che descrive il numero di figlie femmine prima della nascita del maschio. Si assuma che ad ogni parto la probabilita che nasca un maschio sia pari a 0.51, e che vi sia indipendenza tra i diversi parti per quanto riguarda il sesso dei nati. Determinare la distribuzione di probabilita di.

15 Statistica n.o. - II canale 15 Esercizio 3.16 La probabilità che durante la produzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino pezzi difettosi è data da: P(=0)=K, P(=1)=3K, P(=2)=K, P(=3)=P(=4)=2K, P( 5)=0. a) Determinare il valore della costante K. b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale. c) Calcolare la probabilità che il numero di pezzi difettosi in un giorno sia tra 1 e 3. [R: K=1/9; E()=2.11; var()=1.88; P(1 3) = 0.67] Esercizio 3.17 Una variabile casuale discreta ha la seguente funzione di ripartizione: F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1. a) Calcolarne il valore atteso e la varianza. b) Calcolare la probabilità che assuma un valore maggiore di 3. [R: E()=3.2; var()=2.16; P(>3)=0.6] Esercizio 3.18 Un urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia la variabile casuale numero di palline bianche su due estratte. a) Calcolare E() e var(). b) Calcolare la probabilità che assuma un valore maggiore o uguale a 1. [R: E()=1; var()=0.44; P( 1)=0.78] Esercizio 3.19 Sia il tempo in minuti che occorre al sig. Rossi per arrivare in ufficio la mattina con la sua macchina. Supponendo che abbia distribuzione uniforme nell intervallo (25,40), e che il sig. Rossi esce di casa ogni giorno alle 7.25, quale e la probabilita che arrivi in ritardo se deve timbrare il cartellino entro le 8.00? [R: 1/3] Esercizio 3.20 In un grande magazzino, aperto 6 giorni su 7, risulta, dalla passata esperienza, che la vendita settimanale di confezioni di un certo prodotto si distribuisce come una variabile casuale di Poisson. E inoltre noto che il numero medio di confezioni vendute giornalmente e pari a Si vuole determinare di quante confezioni deve essere costituito lo stock di magazzino perche si abbia una probabilita almeno pari a 0.95 di soddisfare la domanda di una settimana. [R: 4 confezioni] Esercizio 3.21 L altezza di 450 studenti immatricolati all Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170 cm., con uno s.q.m. di 7.5 cm. Nell ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale è il numero atteso di studenti con altezza a) maggiore di 180 cm.; b) minore o uguale a 160 cm.; c) tra e [R: n(>180) 41; n( 160) 41; n(162.5<<172.5) 212] Esercizio 3.22 Sia una v.c. N (5, 9). Trovare, facendo uso delle tavole: a) P (6.41 < < 7.82); b) la probabilità che la v.c. assuma un valore compreso fra -1 e 11; c) il valore di corrispondente al 30 o percentile. [R: P (6.41 < < 7.82) = ; P ( 1 < < 11) = ; 30 = 3.41]

16 Statistica n.o. - II canale 16 Esercizio 3.23 Un urna contiene una pallina nera e nove bianche; vengono estratte 10 palline con ripetizione. Si calcoli la probabilità di estrarre due palline nere facendo uso: a) della v.c. binomiale; b) dell approssimazione con la v.c. di Poisson. Confrontare i risultati.[r: P(N=2)=0.194; P(N=2)=0.184] Esercizio 3.24 E noto che il 35% dei dipendenti di una multinazionale è single. Considerando un campione casuale di 10 dipendenti: a) determinare la probabilità che almeno due dipendenti siano single; b) determinare la probabilità che il numero di single sia compreso tra 2 e 4; c) preso un campione dieci volte più grande, calcolare la probabilità che al più 35 dipendenti siano single. [R: P( 2)=0.915; P(2 4)=0.666; P( 35)=0.5] Esercizio 3.25 Si supponga che il numero di orologi a pendolo venduti quotidianamente da un antiquario sia una variabile casuale di Poisson di parametro λ = 0.1. Si calcoli la probabilità: a) che siano state effettuate 4 vendite in un periodo di 3 giorni consecutivi; b) che trascorrano 3 giorni consecutivi senza che si abbiano vendite. [R: P(=4)= ; P(=0)=0.74] Esercizio 3.26 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una normale con µ = 1600 e σ 2 = Essa risarcisce un milione di lire all acquirente se la durata della macchina acquistata è inferiore a Calcolare la probabilità che: a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire; b) su 100 macchine la ditta debba risarcire più di un milione. [R: P(N 1)=0.9996; P(N>1)=0.1219] Esercizio 3.27 Il numero di viaggi venduti in una settimana da ciascun agente dell agenzia Kalimera, specializzata in viaggi verso la Grecia, si distribuisce come una Poisson con valore atteso λ=3. Il titolare dell agenzia decide di dare un premio ai dipendenti che in una settimana vendono almeno 4 viaggi. a) Quale è la probabilità che un dipendente vinca il premio? b) Supposto che non esista nessuna relazione tra il numero di viaggi venduti dai diversi dipendenti dell agenzia, calcolare la probabilità che non più di 3 dei 10 operatori complessivi ricevano il premio. c) Calcolare quanti viaggi vengono venduti mediamente in un mese. [R: P( 4)=0.35; P(N 3)=0.513; E(Y)=130] Esercizio 3.28 Il diametro interno delle guarnizioni prodotte dalla ditta Fido è di cm e la deviazione standard è di cm. Gli scopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima del diametro fra e cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sono considerate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri Normale: a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina; b) determinare quale è la probabilità di trovarne almeno 2 difettose in un campione casuale di 10 guarnizioni; c) determinare quale è la probabilità di trovarne più di 22 difettose in un campione casuale di 100 guarnizioni. [R: P(D)=0.23; P(N 2)=0.71; P(N>22)=0.5948]

17 Statistica n.o. - II canale 17 Esercizio 3.29 Una coppia di dadi è lanciata 100 volte. Utilizzando l approssimazione della Binomiale con la Normale, calcolare la probabilità di ottenere non più di 15 volte un numero pari come somma dei risultati dei due lanci. [R: P(N 15) 0].

18 Statistica n.o. - II canale 18 4 Esercizi di inferenza Esercizio 4.1 Le cinque unità che compongono una popolazione presentano per la i seguenti valori: 3,4,6,12,17. Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratti con ripetizione da questa popolazione. Calcolare: a) la media della popolazione; b) lo scarto quadratico medio della popolazione; c) la distribuzione della media campionaria; d) verificare che la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione; e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie è in accordo con il risultato teorico.[r: µ = 8.4; σ = 5.31] Esercizio 4.2 Sia 1, 2,..., n un campione di ampiezza n (n 4) estratto da una popolazione con E () = µ e varianza σ 2. Si considerino i seguenti stimatori alternativi per µ: S 1 = 2 1 n e S 2 = n n a) Lo stimatore S 1 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S 1 ; b) lo stimatore S 2 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S 2 ; c) calcolare l errore quadratico medio di S 1 e di S 2 ; d) S 1 e di S 2 sono consistenti in media quadratica? [R: S 1 non distorto; S 2 distorto, ns 2 /(n-1) non distorto; MSE(S 1 )=σ 2 ( 6/n ), MSE(S 2 )=σ 2 ( 3/n ) + µ 2 /n 2 ; S 1 e S 2 non sono consistenti in media quadratica] Esercizio 4.3 Sia 1, 2, 3 un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione di Poisson di parametro λ. Dati i due stimatori di λ: T 1 = e T 2 = a) stabilire se sono non distorti; b) ricavare l errore quadratico medio di T 1 e di T 2 ; c) quale tra i due stimatori è preferibile, e perchè? [R: T 1 e T 2 non distorti; MSE(T 1 )=9λ/25, MSE(T 2 )=λ/2; è preferibile T 1 ] Esercizio 4.4 Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto da una variabile casuale con distribuzione di Poisson di parametro λ. Verificare se la media campionaria e uno stimatore consistente in media quadratica di λ. [R: lo stimatore è consistente in media quadratica]

19 Statistica n.o. - II canale 19 Esercizio 4.5 In un campione di 100 piccole imprese si sono rilevate le seguenti spese annue per energia elettrica (in milioni): tot n i a) Costruire un intervallo di confidenza per la spesa media annua µ al livello di confidenza 0.90, sapendo che la varianza della popolazione risulta essere σ 2 = 9. b) Quale deve essere la numerosità n del campione affinché l intervallo calcolato al punto a) abbia lunghezza minore di 0.8? [R: (9.618; 10, 602) ; n 152] Esercizio 4.6 Per un campione casuale di 14 ragazzi, sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg): 48, 46, 45, 47, 53, 50, 38, 49, 40, 43, 46, 38, 50, 41. Nell ipotesi che tale campione provenga da una Normale, trovare l intervallo di confidenza per la media µ (incognita) dell intera popolazione, con 1 α=0.95. [R: (42.6; 47.98)] Esercizio 4.7 Supponiamo che 1, 2,..., n sia un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione Normale di media µ incognita e varianza σ 2 nota. Quale deve essere la numerosità n del campione affinché sia possibile individuare un intervallo di confidenza per µ, al livello di confidenza 0.95, di lunghezza minore di 0.01σ? [R: n ] Esercizio 4.8 In un campione di 500 famiglie, l intervallo al 99% del reddito mensile medio (in milioni di lire) è dato da 2<µ<4. Se si fosse calcolato l intervallo di confidenza al 90%, questo sarebbe stato: a) più stretto ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ; b) più largo, ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ; c) piu stretto, ma con rischio minore di non comprendere il valore vero di µ; d) non si può dire nulla sull ampiezza dell intervallo. Esercizio 4.9 Su un campione casuale di n=300 individui è stato rilevato un carattere, con distribuzione normale. Al livello di confidenza del 95% si è costruito l intervallo di confidenza per la media di, i cui estremi sono risultati pari a 54 e 56. Quanto valgono la media aritmetica campionaria e la varianza campionaria corretta? [R: = 55; S 2 = 78.12] Esercizio 4.10 Si determini l intervallo di confidenza al 90% per la percentuale di voti che in una circoscrizione elettorale otterrà un certo partito politico, sapendo che dopo lo spoglio delle prime 200 schede questo ha ottenuto 70 voti, e che i votanti nel loro complesso sono stati Come si modifica l intervallo se, a metà spoglio, quel partito ha ottenuto 175 voti? [R: (0.295; 0.405); (0.315; 0.385)] Esercizio 4.11 Per 100 incidenti stradali nella provincia Gonzales, una compagnia di assicurazioni ha pagato un risarcimento medio di L , con uno s.q.m. di L Per la totalità dei sinistri ha invece pagato un risarcimento medio pari a L Verificare se il risarcimento nella provincia Gonzales puo essere assunto uguale a quello della media nazionale, contro l alternativa unidirezionale piu opportuna. Usare un livello di significatività del 5%. [R: rifiuto l ipotesi nulla]

20 Statistica n.o. - II canale 20 Esercizio 4.12 Sia il ritardo con cui il treno Romolo arriva alla stazione di Roma Termini. Durante 5 controlli effettuati a caso in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19. Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una v. c. Normale: a) verificare l ipotesi che il ritardo medio sia uguale a 15 minuti, contro l alternativa unidirezionale piu opportuna, usando α=0.05; b) calcolare il livello di significativita osservato; c) calcolare l intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio. [R: non rifiuto H 0 ; 0.05 < p < 0.10; (12.02; 35.18)] Esercizio 4.13 Supponendo di voler verificare al livello α=0.10 l ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell esame di Statistica sia pari a 27 contro l ipotesi alternativa che sia pari a 25.5, quale dovrà essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test risulti almeno pari a 0.95? Ai fini della soluzione si assume che il voto all esame di Statistica abbia una distribuzione Normale con varianza pari a 9. [R: n 35] Esercizio 4.14 Una società telefonica dichiara che nel 1990 l importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati privati ebbe una distribuzione con media Lire e s.q.m. di Lire. a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990, quale è approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia maggiore di ? b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a) sarebbe maggiore o minore? Perchè? c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza 100 ed osserva una media campionaria degli importi pari a Si può concludere che l importo medio bimensile pagato nel 1990 sia stato uguale a ? Usare un livello di significatività del 5%. d) Calcolare il livello di significativita osservato. [R: P(>100000) ; la probabilità al punto a) sarebbe minore; non rifiuto l ipotesi nulla; p = ] Esercizio 4.15 Per una popolazione Normale(µ,1), si vuole sottoporre a test l ipotesi H 0 : µ=0 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ<0 attraverso un campione casuale di 50 osservazioni. a) Individuare la regione critica del test per α= b) Calcolare la potenza del test per µ=-0.5. [R: R(α)= { : < 0.28 } ; 1 β = ] Esercizio 4.16 I pesi degli alunni di una scuola si distribuiscono normalmente con varianza pari a 36 (Kg 2 ). a) Per α=0.07 e n=14, determinare la regione critica del test: H 0 : µ=50; H 1 : µ 50. b) Sia =46. A favore di quale ipotesi si conclude? c) Calcolare il livello di significativita osservato. d) Calcolare la potenza del test per µ=45. [R: { : ( > ) ( < 47.1 )} ; H 1 ; p = ; 1 β = ]

21 Statistica n.o. - II canale 21 Esercizio 4.17 Per una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 12.7 H 1 : µ = 12 Si decide di procedere nel seguente modo: si estrae un campione casuale di numerosità n=16 e se ne calcola la media campionaria. Se la media campionaria risulta minore di 12.2 si rifiuta l ipotesi H 0. a) Calcolare α. b) Calcolare β. c) Supponendo di volere 1 β 0.9, quale dovrà essere la numerosità campionaria? [R: α = ; β = ; n 42] Esercizio 4.18 per verificare: Per una popolazione Normale di varianza 2 si vuole fare un test d ipotesi H 0 : µ = 8 H 1 : µ = 8.5 a) Posto α=0.07, sulla base di una numerosità campionaria n=25, trovare la regione critica. b) Supponendo di aver osservato una media campionaria pari a 8.2, cosa si conclude? c) Calcolare la potenza del test. d) Trovare la numerosità campionaria tale che la potenza risulti almeno pari a [R: R: { : > } ; non rifiuto H 0 ; 1 β = ; n 1306]. Esercizio 4.19 Data una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : µ=10 contro H 1 : µ 10, attraverso un campione casuale di n = 4 unità. Si adotta la seguente regola di decisione: a) calcolare α. b) Calcolare la potenza del test per µ=11. [R: α = ; 1 β = 0.5] A : si accetta H 0 se Esercizio 4.20 In un campione di 1000 famiglie con 5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi è la seguente: n. maschi tot n. famiglie a) Sul totale dei figli, quale è la percentuale di femmine? b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : p=0.5 contro l alternativa H 1 : p 0.5, con α=0.05. Individuare la regione di accettazione (A) del test, e indicare se si rifiuta o meno l ipotesi H 0. c) Calcolare il livello di significativita osservato. [R: p = 0.506; A={ p : < p < 0.514} ; non si rifiuta H 0 ; p = ]

22 Statistica n.o. - II canale 22 Esercizio 4.21 La società Broglio decide di lanciare sul mercato un nuovo tipo di detersivo. A questo scopo ne viene inviato gratuitamente un flacone a 150 persone chiedendo loro di dichiarare se sono favorevoli all acquisto. Di queste, solo 30 si dichiarano favorevoli. a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.7 per la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto; b) verificare al livello α = 0.05 l ipotesi nulla che la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto sia uguale al 30%. c) calcolare il livello di significativita osservato. [R: (0.166; 0.234) ; p = ] Esercizio 4.22 La seguente tabella riporta i furti commessi scoperti in un grande magazzino in un anno, a seconda del settore merceologico e dell età del colpevole. Settore Età Abbigliamento Bigiotteria Profumi Sia p la probabilità che se un furto viene compiuto nel settore abbigliamento, l età del colpevole sia Costruire un intervallo di confidenza per p al 95%.[R: (0.0606; ) ; ] Esercizio 4.23 In un campione di 100 studenti maschi si sono rilevati i seguenti pesi: Peso (Kg) N. di studenti Sottoporre a test l ipotesi che i dati provengano da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla] Esercizio 4.24 La distribuzione dei pesi () dei portieri che hanno giocato nel campionato di calcio di serie A e B del è risultata la seguente: n() < > Si sottoponga a test l ipotesi che i dati provengono da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l ipotesi nulla]

23 Statistica n.o. - II canale 23 Esercizio 4.25 La distribuzione dei matrimoni celebrati in Italia secondo lo stato civile è risultata la seguente: Stato civile delle spose Stato civile degli sposi Nubili Vedove Divorziate Celibi Vedovi Divorziati Si controlli l esistenza di una dipendenza assoluta fra i due caratteri e si commenti il risultato ottenuto. [R: si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza]. Esercizio 4.26 Ad un campione di 80 giovani in età compresa tra 25 e 35 anni è stato chiesto se sono laureati e se hanno un occupazione. Il risultato della rilevazione è contenuto nella tabella seguente: Stato occupazionale Titolo di studio Occupato Disoccupato Laureato Non laureato Si controlli l esistenza di una dipendenza assoluta fra i due caratteri e si commenti il risultato ottenuto. [R: χ 2 = ; si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza]

24 Statistica n.o. - II canale 24 5 Esercizi sulla regressione Esercizio 5.1 In 5 famiglie sono stati rilevati i seguenti redditi () e risparmi (Y): Y a) stimare i parametri della retta di regressione di Y su ; b) sulla base della retta individuata al punto a), calcolare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a 50: Ŷ(50); c) determinare il valore del coefficiente di correlazione r xy. [R: Ŷ= ; Ŷ(50)=31.5; r xy = 0.75] Esercizio 5.2 Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = età e = voto all esame di statistica Y stimare i parametri della retta di regressione che esprime il voto in funzione dell età e valutarne la bontà di adattamento.[r: ˆγ=19.9, ˆδ=0.25, R 2 =0.12] Esercizio 5.3 Per due variabili statistiche e Y si hanno le seguenti coppie di osservazioni: Y a) Stimare i parametri della retta di regressione di Y su e valutarne la bontà di adattamento tramite l indice R 2. b) Posto poi che si osservi =12, sulla base della retta stimata qual è il presumibile valore della Y? [R: α = 5.75, β = 0.39; R 2 = 0.94; Ŷ(12)=1.07] Esercizio 5.4 Su un collettivo di lavoratori sono stati rilevati i caratteri Y = reddito annuo da lavoro dipendente (in migliaia di euro) e = reddito annuo da fabbricati (in migliaia di euro) Y a) stimare i parametri della retta di regressione che esprime il reddito annuo da lavoro dipendente in funzione del reddito annuo da fabbricati e valutarne la bontà di adattamento; b) sulla base del modello stimato al punto a) prevedere il reddito annuo da lavoro dipendente per un individuo il cui reddito da fabbricati è 250 mila euro. [R: ˆα = 9.75, ˆβ = 0.80, R 2 = 0.59, Ŷ (250) = ]

25 Statistica n.o. - II canale 25 Esercizio 5.5 Per una distribuzione doppia si è stimata la retta di regressione i =10-2Y i. Individuare quale, fra le seguenti, è la possibile equazione della retta di regressione di Y su e motivare la scelta: a) Ŷi= i b) Ŷi= i c) Ŷi= i d) Ŷi= i. Esercizio 5.6 Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = reddito mensile (in euro) e = spesa mensile per alimenti (in euro) Y < a) stimare i parametri della retta di regressione che esprime la spesa in funzione del reddito, e valutarne la bontà di adattamento; b) valutare se la relazione tra e Y è meglio rappresentata dalla retta calcolata al punto a) o dalla retta di regressione di su log(y ). [R: a) γ=63.4, δ=0.10, R 2 =0.37; b) anche in questo caso R 2 =0.37] Esercizio 5.7 Si siano osservate le seguenti coppie di valori per le variabili e Y: Y stimare i parametri della retta di regressione di Y su. [R: α = 0.548, β = 0.636] Esercizio 5.8 Data la seguente distribuzione di un insieme di viaggiatori secondo i caratteri Y = spesa per vacanze estive 2007 (in migliaia di euro) e = età Y e + tot tot a) riempire la tabella sotto l ipotesi di massima dipendenza tra e Y; b) valutare se la relazione tra spesa ed età è meglio rappresentata dalla retta di regressione di Y su o dalla retta di regressione di Y su e stimarne i parametri. [R: si adatta meglio la retta di Y su con R 2 = 0.88; ˆα = 1.06; ˆβ = 0.08]

26 Statistica n.o. - II canale 26 Esercizio 5.9 Su un collettivo di lavoratori sono stati rilevati i caratteri Y = reddito annuo da lavoro dipendente (in migliaia di euro) e = reddito annuo da fabbricati (in migliaia di euro) Y e e a) stimare i parametri della retta di regressione di Y su e valutarne la bontà di adattamento; b) sulla base della retta individuata al punto a), prevedere il reddito annuo da lavoro dipendente per un individuo il cui reddito da fabbricati è 200 mila euro. [R: ˆα = 11.46, ˆβ = 0.77, R 2 = 0.51, Ŷ (200) = Esercizio 5.10 Per le seguenti 5 coppie di osservazioni: Y a) stimare i parametri della retta di regressione di Y su 2 ; b) valutare la bontà di adattamento di tale funzione. [R: α = 0.546, β = 1.086; R 2 = 0.98] Esercizio 5.11 Date le seguenti coppie di osservazioni: Y stimare i parametri della retta di regressione di Y su 2. [R: α = 2.078, β = 3.54] Esercizio 5.12 Per un campione di 8 famiglie con i seguenti redditi Y (in euro): 3.000; 3.250; 3.500; 3.750; 4.000; 4.250; 4.500; si sono riscontrate, rispettivamente, le seguenti spese per il vestiario (in euro): 285; 320; 350; 380; 415; 450; 455; 485 a) si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario () in funzione del reddito (Y), e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) senza rifare tutti i calcoli, si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario in lire in funzione del reddito in lire. [R: a) R 2 = 0.986, γ = , δ = 0.115; b) γ = , δ = 0.115]

27 Statistica n.o. - II canale 27 Esercizio 5.13 Al fine di stabilire se esiste una relazione statistica tra l altezza degli alberi di ciliegie () ed il diametro medio delle ciliegie prodotte (Y), si considerino le osservazioni della seguente tabella: Diametro (cm.) Altezza (m.) a) Si stimino i parametri della retta di regressione di Y su. b) Si calcoli l indice di bontà di adattamento R 2. c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie prodotte da un albero di altezza 3.5. d) Si costruisca l intervallo di confidenza per β con livello di confidenza del 95% e si verifichi l ipotesi H 0 :β=0 contro l alternativa H 1 :β 0 (con un livello di significatività del 5%). e) Si esprima l altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente variabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di regressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di Y su W. [R: Ŷ = 1.26x 3.53, R2 = 0.82; Ŷ (3.5) = 0.88; (0.18; 2.34), si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza lineare; Ŷ = w 3.53] Esercizio 5.14 In un campione di 12 famiglie si sono rilevati i pesi del padre () e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati: Y a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla e calcolarne l R 2. b) Nell ipotesi di normalità della componente accidentale, sottoporre a test le due ipotesi α=0 e β=1 e commentare i risultati. [R: Ŷ = x, R2 = 0.46; si rifiuta l ipotesi nulla di assenza di intercetta, si rifiuta l ipotesi nulla di coefficiente di regressione unitario] Esercizio 5.15 In un campione di 15 famiglie si è rilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari: Reddito Spesa a) Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in funzione del reddito netto annuo e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) si verifichi l ipotesi di indipendenza lineare fra le due variabili ad un livello di significatività del 5%; c) si verifichi inoltre, per la retta stimata, l ipotesi di passaggio per l origine. [R: Ŷ = x, R2 = 0.93; si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare; si rifiuta l ipotesi di passaggio per l origine Esercizio 5.16 In una indagine campionaria si sono rilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari () e sul rendimento in q/ha (Y) di 10 aziende cerealicole: (3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32) (2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31) Si verifichi al livello di significatività del 5% l ipotesi di indipendenza lineare del rendimento dalla dimenzione aziendale contro l ipotesi alternativa più opportuna. [R: α = 25.64, β = 1.04; si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare]

28 Statistica n.o. - II canale 28 Esercizio 5.17 Si considerino i seguenti dati relativi al numero di ore di studio () di un campione casuale di 8 studenti per la preparazione dell esame di statistica ed il voto (Y) riportato: Y Nell ipotesi di normalità della componente accidentale: a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla ; b) sottoporre a test l ipotesi β = 0 contro l alternativa β > 0; c) trovare l intervallo di previsione per il punteggio di uno studente che abbia studiato 110 ore per la preparazione dell esame. [R: Ŷ = x; si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare; (21.02; 26.88)] Esercizio 5.18 I voti in Economia () ed in Statistica (Y) riportati da 10 studenti sono stati i seguenti: Y a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla. b) Determinare l intervallo di previsione per il voto in Statistica di uno studente che abbia preso 23 nell esame di Economia, sotto l assunzione di Normalità della componente accidentale. [R: α = 0.505, β = 0.975; (19.32; 26.54)] Esercizio 5.19 Date le seguenti coppie di valori (, Y): (3, 5) (6, 12.5) (9, 14) (15, 35) (25, 65) a) Determinare se la relazione esistente tra e Y è meglio approssimata dalla retta di regressione di Y su o dalla retta di regressione di Y su 2, e stimarne i parametri. b) Nell ipotesi di Normalità della componente accidentale, sottoporre a test l ipotesi β = 0. [R: si adatta meglio la retta di regressione di Y su, con R 2 = 0.984; α = 5.832, β = 2.77; si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza lineare]. Esercizio 5.20 Data la seguente distribuzione doppia relativa ad un insieme di grilli secondo il numero di trilli emessi al minuto (carattere Y) e la temperatura del suolo in gradi centigradi al momento dell osservazione (carattere ): Y tot tot a) si stimino i parametri della retta di regressione della temperatura del suolo () in funzione del numero di trilli al minuto (Y), e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) si determini inoltre l intervallo di previsione (con α = 0.05) per la temperatura del suolo in corrispondenza di un numero di trilli al minuto pari a 140. [R: ˆγ = 9.19, ˆδ = 0.22, R 2 = 0.71, (31.85; 48.13)]