CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi

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1 CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione di frequenze relative degli abbonati alla pay per view per squadra di calcio: Squadra Bari Bologna Lecce Milan Piacenza Roma Sampdoria Vicenza f i rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Milan]. Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice: Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen n i rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = F iat]. Esercizio 1.3 Data la seguente distribuzione dei medici a tempo definito secondo la qualifica degli Istituti generali regionali di cura pubblica 1991: Qualifica Direttori Vice-direttori Primari Aiuti Assistenti n i rappresentarla graficamente e calcolare la moda e la mediana [R: Mo = Aiuti, Me = Aiuti]. 1

2 Statistica n.o. - II canale 2 Esercizio1.4 Data la seguente distribuzione di un insieme di scuole per tipo (Compendio 1996): Tipo materna elementare media secondaria tot n i rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = materna, Me = elementare, Q 1 = materna, Q 3 = media]. Esercizio1.5 Data la seguente distribuzione dei suicidi per il titolo di istruzione (Compendio 1996): Tipo analfabeta elementare media superiore tot n i rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = media, M e = media, Q 1 = elementare, Q 3 = media]. Esercizio 1.6 Data la seguente distribuzione delle vendite di auto per tipo (Quattroruote, aprile 1996): X utilitaria media super lusso n(x) rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: M o = utilitaria, M e = utilitaria, Q 1 = utilitaria, Q 3 = media]. Esercizio 1.7 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa a tempi tra sbuffi di Geyser: X n(x) e individuare classe modale, mediana e media aritmetica. [R: µ = 72.7; Me = 75]. Esercizio 1.8 Data la seguente distribuzione degli appartamenti dichiarati abitabili a Milano nel 1932 secondo l ampiezza: n. vani n(x) rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana e quartili [R: Mo = 2, Me = 3, Q 1 = 2, Q 3 = 3].

3 Statistica n.o. - II canale 3 Esercizio 1.9 Data la seguente distribuzione di un collettivo di 15 studenti secondo il voto ottenuto all esame di Statistica: voto n(x) a) rappresentare graficamente la distribuzione e la funzione di ripartizione; b) calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana; c) utilizzando i dati della tabella, costruire una distribuzione di frequenza in classi, con classi 18-20, 21-23, 24-26, 27-30, rappresentarla graficamente, e calcolare la media aritmetica, la classe modale e la mediana nell ipotesi di uniforme distribuzione del carattere all interno delle classi; confrontare i risultati con quelli del punto b). [R: b) µ = 25.4, Mo = 27, Me = 26; c) µ = 25.63, Me = 26]. Esercizio 1.10 Data la seguente distribuzione di pontefici secondo la durata del pontificato (in anni): durata (anni) e più tot n i a) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l ultima classe a 28; b) calcolare la mediana e la media aritmetica chiudendo l ultima classe a 40, e commentare; c) calcolare lo scostamento quadratico medio (chiudendo l ultima classe a 28); d) senza rifare tutti i calcoli, calcolare la mediana, la media aritmetica, lo scostamento quadratico medio della durata del pontificato in mesi (chiudendo l ultima classe a 28). [R : a) µ = 7.37, Me = 6; b) µ = 7.46, Me = 6; c) σ = 5.8; d) µ = 88.44, Me = 72, σ = 69.6]. Esercizio 1.11 Data la seguente distribuzione secondo il reddito (in milioni), per cui per ogni classe è noto l ammontare di reddito posseduto dagli individui della classe: reddito >100 tot n i ammontare a) calcolare la media aritmetica utilizzando l informazione sull ammontare di reddito per ogni classe; b) calcolare la media aritmetica ipotizzando l uniforme distribuzione del reddito nelle classi; [R : a) µ = 4.73; b) µ = 4.81].

4 Statistica n.o. - II canale 4 Esercizio 1.12 Data la seguente distribuzione relativa ai gradi di nuvolosità registrati presso un osservatorio di Parigi in 2192 giorni: gradi tot n i a) calcolare la classe modale; b) calcolare la media aritmetica e la varianza; c) calcolare la mediana e i quartili. [R : a) Mo = (80 100) ; b) µ = 60.5, σ 2 = ; c) Me = 70.3, Q 1 = 32.2, Q 3 = 88.0]. Esercizio 1.13 Consideriamo le temperature massime registrate a Catania negli anni : Anno Temperatura a) Calcolare media e lo scostamento quadratico medio. b) Senza rifare tutti i calcoli, calcolare media e scostamento quadratico medio delle temperature misurate in Farenhait (nota: F = 32 + C 9/5). [R: a) µ = 40.2; σ = 2.94; b) µ = ; σ = 5.292] Esercizio 1.14 In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(x) a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione; b) calcolarne la media, la mediana e lo scostamento quadratico medio. [R: µ = 3.84; Me = 3; σ 2 = 4.47]

5 Statistica n.o. - II canale 5 Esercizio 1.15 In una classe di 24 studenti i voti riportati all esame di maturità sono stati i seguenti: a) calcolare la mediana e la media aritmetica; b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza (modalità per modalità), e su di essa calcolare: mediana, media aritmetica, primo e terzo quartile, decimo e settantesimo percentile; c) dopo aver effettuato una suddivisione in classi di ampiezza 4, calcolare nuovamente gli indici del punto b) ipotizzando l uniforme distribuzione del carattere nelle classi. Esercizio 1.16 Lungo una strada statale vi sono 7 distributori di benzina: due al km 8, tre al km 40, uno al km 61 e uno al km 106. I distributori hanno uguale capienza, vengono riforniti uno alla volta e richiedono rifornimenti con uguale frequenza. A quale km della strada si dovrà costruire un deposito di benzina da cui partano le autobotti con i rifornimenti per i distributori se si vogliono minimizzare i costi di trasporto, supposti proporzionali alle distanze? Perchè? [R: Me = km 40] Esercizio 1.17 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivo rispetto al carattere X: X F(X) a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione; b) individuare la classe modale; c) calcolare mediana e media aritmetica; d) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X; e) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di X 12. [R: b) classe modale: (4-6); c) µ = 11.4, Me = 8.25; d) µ z = 33.2, σ 2 z = ; e) F (12) = 0.684] Esercizio 1.18 Una sessione è costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari a Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l intera sessione il voto medio risulta pari a 27. a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello. b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello. [R: µ 3 = 27.56; σ 2 = 6.36]

6 Statistica n.o. - II canale 6 Esercizio 1.19 In una popolazione di 1000 alberghi a tre stelle in località di montagna, mare e città, si è rilevato il prezzo medio (in migliaia di lire) di una stanza doppia per una notte (per il mese di settembre). I prezzi medi e gli scostamenti quadratici medi di ciasun gruppo e dell intera popolazione sono stati i seguenti: Ubicazione n. alberghi prezzo medio sqm Montagna Mare Città tot ricavare lo scostamento quadratico medio del prezzo degli alberghi in città. [R: σ città = 14.09] Esercizio 1.20 Sia data la seguente distribuzione delle aziende per numero di addetti, per la quale siano note le medie e gli scostamenti quadratici medi delle classi: Classi di addetti Aziende N. medio addetti S.q.m. fino a più di a) Calcolare la media del n. di addetti per azienda. b) Calcolare la varianza del n. di addetti per azienda. [R: µ = ; σ 2 = ;] Esercizio 1.21 Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti (X) sono risultate così distribuite: X e più n(x) a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e della funzione di ripartizione. b) Calcolare moda, mediana e media aritmetica. c) Calcolare i quartili e il decimo e il trentesimo percentile. [R: b) Mo = 2, Me = 3, µ = 2.985; c) Q 1 = 2, Q 3 = 4, P 10 = 1, P 30 = 2]

7 Statistica n.o. - II canale 7 Esercizio 1.22 Data la seguente tabella: X n(x) a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della sua funzione di ripartizione. b) Calcolare: la mediana, il primo e il terzo quartile. [R: Me = 3.67; Q 1 = 1.64; Q 3 = 10.5; ] Esercizio 1.23 Sia data la seguente distribuzione dei redditi: Classi di reddito (milioni) Frequenze relative fino a oltre Totale Calcolare media, s.q.m., un indice di asimmetria e la proporzione di unità con reddito compreso nell intervallo (µ σ, µ + σ). Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41; F (µ + σ) F (µ σ) = 0.725] Esercizio 1.24 Data la seguente distribuzione di frequenza: X n i a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione; c) calcolare la mediana e la media aritmetica; d) calcolare lo scostamento quadratico medio; e) calcolare un indice di asimmetria. [R: c) Me = 4.8, µ = 13.26; d) σ = 17.61; e) γ = 2.006]

8 Statistica n.o. - II canale 8 Esercizio 1.25 In una cittadina degli Stati Uniti è stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra l 1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(x) a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulate. b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria a vostra scelta. c) Calcolare la proporzione di giorni con concentrazione media compresa nell intervallo (µ σ, µ + σ). d) Calcolare media e scostamento quadratico medio della variabile Z = 2X 150. [R: b) µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78; c) F (µ + σ) F (µ σ) = 0.672; d) µ z = 27.94, σ z = ] Esercizio 1.26 In un campione di 100 aziende della provincia di Milano è stata rilevata la superficie, ottenendo i seguenti risultati: Classe di superficie Numero di aziende a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene più opportuno. b) Si determini la classe modale. c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria. d) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie 50. e) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie 40. f) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie >60 [R: b) classe modale: (0-10); c) Me=25.814, µ Me = 0.33; d) F (50) = 0.76; e) F (40) = 0.65; σ f) 1 F (60) = 0.22]

9 Statistica n.o. - II canale 9 2 Esercizi su concentrazione e numeri indici Esercizio 2.1 Data la seguente distribuzione unitaria: i a i a) calcolare un indice di concentrazione; b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza e su di essa calcolare un indice di concentrazione. [R: a) R = 0.4; b) R = 0.4] Esercizio 2.2 Data la seguente distribuzione per superficie ( in m 2) degli appartamenti esistenti nel comune di Bologna al 30/06/57: classi di superf. < >95 tot n i superf. tot calcolare un indice di concentrazione [R: R = 0.315] Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione del reddito familiare (X) in Italia nel 1977 (in milioni): X f i calcolare un indice di concentrazione [R: R = 0.34] Esercizio 2.4 Data la seguente distribuzione di 9 emittenti radio secondo gli introiti pubblicitari: i X i calcolare un indice di concentrazione [R: R = ]

10 Statistica n.o. - II canale 10 Esercizio 2.5 La distribuzione dei redditi di 150 famiglie è risultata la seguente: Classe di reddito N.di famiglie Reddito medio della classe Rappresentare la spezzata di concentrazione e calcolare il rapporto di concentrazione di Gini. [R: R = ] Esercizio 2.6 La tabella seguente riporta le distribuzioni degli investimenti in termini percentuali in due industrie A e B: Classe di inv. A B tot Calcolare, sia per A che per B, il rapporto di concentrazione di Gini. [R: R A = ; R B = 0.222] Esercizio 2.7 I seguenti dati esprimono il fatturato annuo (in migliaia di euro) di 8 imprese: Calcolare un indice di concentrazione Esercizio 2.8 La distribuzione percentuale di lavoratori autonomi in 10 circoscrizioni romane è risultata la seguente: I II III IV V VI VII VIII IX X Calcolare un indice per misurare la concentrazione dei lavoratori autonomi [R: R = 0.278]

11 Statistica n.o. - II canale 11 Esercizio 2.9 La distribuzione per continente dei casi accertati di AIDS nel 1982 e nel 1987 era la seguente: Continente Africa America Asia Europa Oceania Valutare se la concentrazione della malattia nelle diverse aree geografiche sia variata tra il 1982 e il [R: R 82 = ; R 87 = ]. Esercizio 2.10 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità vendute di due merci A e B in 4 anni: A B anni P i Q i P i Q i a) costruire i numeri indici semplici dei prezzi per le due merci, sia a base fissa all anno 1 che a base mobile b) calcolare i numeri indici sintetici dei prezzi con i metodi di Laspeyres, Paasche e Fisher con base l anno 1. [R : 2 I L = 1.083, 2 I P = 1.063; 3 I L = 0.917, 3 I P = 0.911; 4 I L = 0.80, 4 I P = 0.797]. Esercizio 2.11 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità vendute di tre beni in due tempi diversi: tempo 0 tempo 1 beni P i Q i P i Q i Calcolare i numeri indici sintetici dei prezzi (con base il tempo 0). [R: I L = 1.018, I P = 0.883]

12 Statistica n.o. - II canale 12 Esercizio 2.12 Data la serie dei prezzi di un certo bene dal periodo 1 al periodo 6: anno prezzi a) determinare la serie dei numeri indici con base 2 b) a partire dalla serie del punto a), determinare la serie dei numeri indici con base 4 c) a partire dalla serie del punto b), determinare la serie dei numeri indici a base mobile. d) cosa è accaduto al prezzo del bene tra il periodo 3 e il periodo 6? Calcolare la variazione percentuale del prezzo e valutare se vi è stata una perdita del potere di acquisto della moneta. Esercizio 2.13 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità vendute di due merci A e B in 4 anni: A B anni P i Q i P i Q i a) costruire la serie dei numeri indici dei prezzi di Laspeyres e di Paasche con base 1989; b) calcolare la serie dei numeri indici dei prezzi di Fisher e confrontarla con le due precedenti. [R : 90 I L = 0.87, 90 I P = 0.87; 91 I L = 0.85, 91 I P = 0.84; 92 I L = 0.80, 92 I P = 0.76]. Esercizio 2.14 La tabella seguente riporta una serie di numeri indici dei prezzi al consumo: Anno Base Base ricondurli tutti (dal 1993 al 1997) a base Esercizio 2.15 Per tre diversi titoli azionari, T1, T2 e T3, quotati alla borsa di milano in due diverse giornate (G1 e G2), disponiamo delle seguenti informazioni: G1 G2 Quotazioni in euro Valore scambiato Quotazioni in euro T T T Calcolare l indice sintetico dei prezzi di Laspeyres.

13 Statistica n.o. - II canale 13 Esercizio 2.16 Con riferimento al prezzo delle ciliegie, la serie dei numeri indici a base mobile è la seguente: a) ricavare la serie a base fissa con base 1996 per gli anni ; b) cosa è accaduto al prezzo delle ciliege tra il 1996 e il 2000? Calcolare la variazione percentuale del prezzo e valutare se vi è stata una perdita del potere di acquisto della moneta. c) ricavare la serie a base fissa con base 1998 per gli anni d) cosa è accaduto al prezzo delle ciliege tra il 1998 e il 2000? Calcolare la variazione percentuale del prezzo e valutare se vi è stata una perdita del potere di acquisto della moneta. [R : 96 I 97 = 1.08, 96 I 98 = 1.18, 96 I 99 = 1.29, 96 I 00 = 1.36, 96 I 01 = 1.50; 98 I 97 = 0.92, 98 I 98 = 1, 98I 99 = 1.10, 98 I 00 = 1.15, 98 I 01 = 1.27]. Esercizio 2.17 Data la seguente serie di numeri indici a base fissa (1990): a) ricavare la serie a base mobile; b) ricavare la serie a base fissa con base 1996 per gli anni [R : I 91 = 0.95, I 92 = 0.95, I 93 = 1.06, I 94 = 1.00, I 95 = 0.96, I 96 = 0.97, I 97 = 0.97, I 98 = 0.98, I 99 = 0.98, I 00 = 0.89, I 01 = 1.00; 96 I 97 = 0.97, 96 I 98 = 0.96, 96 I 99 = 0.94, 96 I 00 = 0.84, 96I 01 = 0.83]. Esercizio 2.18 La serie degli indici a base mobile degli occupati nell industria manifatturiera in 5 anni successivi è stata la seguente: a) determinare la variazione percentuale tra il quarto ed il quinto anno del numero degli occupati; b) costruire la serie degli indici a base fissa con base al tempo zero. Esercizio 2.19 La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità scambiate di tre merci (A, B, C) in 3 anni: A B C anni P i Q i P i Q i P i Q i Calcolare sia per il 1996 che per il 1997 gli indici dei prezzi di Laspeyres e di Paasche prendendo il 1995 come anno base. [R : 96 I L = 0.93, 96 I P = 0.93; 97 I L = 0.96, 97 I P = 0.96].

14 Statistica n.o. - II canale 14 Esercizio 2.20 Le quotazioni del prezzo del petrolio brent ($ al barile) in 10 giorni successivi sono state le seguenti: giorni quotazioni a) determinare la serie dei numeri indici a base mobile; b) a partire dalla serie del punto a), determinare la serie dei numeri indici a base fissa con base 4. Esercizio 2.21 La seguente tabella riporta la serie trimestrale del Prodotto Interno Lordo (in milioni di euro) nel 2003 e 2004 (a prezzi costanti 1995): Anno Trimestre PIL 2003 I II III IV I II III IV Calcolare la variazione congiunturale (variazione percentuale rispetto al periodo precedente) e la variazione tendenziale (variazione percentuale rispetto allo stesso periodo dell anno precedente) nel secondo trimestre Esercizio 2.22 Sapendo che il valore dell Indice dei prezzi al consumo per l intera collettivita a marzo 2005 era 1.264, a febbraio 2006 era 1.287, a marzo 2006 era 1.290, calcolare il tasso di inflazione congiunturale e tendenziale a marzo [R : +0.2%, +2.1%].

15 Statistica n.o. - II canale 15 3 Esercizi sulle distribuzioni doppie Esercizio 3.1 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire (X) e numero di weekend dedicati a viaggiare (Y): Y X calcolare: a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y), il coefficiente di correlazione di Bravais; b) la media di X quando Y è tra 2 e 3 weekend; c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y. [R: a) µ x = 1.98, σ 2 x = 1.01, µ y = 1.83, σ 2 y = 1.67, σ xy = 0.11, r = 0.08; b) µ x y (2 3) = 1.86; c) µ z = 3.81; σ 2 z = 2.9; µ w = 0.15; σ 2 w = 2.46] Esercizio 3.2 Data la seguente distribuzione doppia: Y X a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficiente di correlazione di Bravais. b) determinare la distribuzione del rapporto W=X/Y e calcolarne media e varianza. [R: a) µ x = 14.25, µ y = 2.125, σ 2 x = 44.44, σ 2 y = 0.61, σ xy = 3.47, r = 0.67; b) µ w = 6.75; σ 2 w = 4.937] Esercizio 3.3 Data la seguente distribuzione doppia: Y X a) calcolare la media delle due distribuzioni marginali, le varianze, la covarianza, il coefficiente di correlazione di Bravais; b) calcolare la media di X quando Y cade nella terza classe; c) determinare la distribuzione della combinazione lineare Z=X+Y e calcolarne media e varianza; d) verificare le proprietà delle combinazioni lineari. [R: a) µ x = 7.2, µ y = 3.4, σ 2 x = 9.76, σ 2 y = 1.44, σ xy = 0, r = 0; b) µ x y (4 6) = 7.2]

16 Statistica n.o. - II canale 16 Esercizio 3.4 Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri spese mensili per generi alimentari (X) e per generi non alimentari (Y ) in milioni di lire (valori centrali delle classi) rilevate su un collettivo di 150 famiglie: Y X a) calcolare la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X, Y ), il coefficiente di correlazione di Bravais; b) calcolare la media e la varianza di X quando Y = 2.5; c) costruire la tabella relativa alla distribuzione della spesa complessiva familiare Z = X + Y, e calcolarne media e varianza; d) calcolare media e varianza di Z a partire dalle quantità calcolate al punto a) e verificare che si ottengono gli stessi risultati del punto c). [R: a) µ x = 0.782, µ y = 2.467, σ 2 x = 0.055, σ 2 y = 0.671, σ xy = 0.035, r = 0.183; b) µ x y=2.5 = 0.773, σ 2 x y=2.5 = 0.054; c) µ z = 3.249; σ 2 z = 0.796] Esercizio 3.5 In un collettivo di 50 famiglie è stata rilevata la distribuzione congiunta dei redditi mensili da lavoro del marito (X) e della moglie (Y ) espressi in migliaia di euro (valori centrali delle classi): Y X a) fare la rappresentazione grafica delle tre distribuzioni della X condizionate da Y = 0, Y = 1, Y = 2, e calcolarne le medie; b) calcolare Cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione di Bravais; c) calcolare il numero di famiglie per le quali il reddito del marito è pari ad almeno 2 mila euro e quello della moglie ad almeno mille; d) costruire la tabella relativa alla distribuzione del reddito complessivo familiare Z = X + Y, e calcolarne media e varianza. [R: a) µ x y=0 = 2.22, µ x y=1 = 1.92, µ x y=2 = 1.25; b) σ xy = 0.216, r = 0.369; c) 18; d) µ z = 2.72; σ 2 z = ] Esercizio 3.6 Per la seguente serie di coppie di valori: X X 5 Y Y 4 67 si sa che il coefficiente di correlazione r xy =1. Si determinino i due valori mancanti X 5 e Y 4. [R: X 5 = 13; Y 4 = 52]

17 Statistica n.o. - II canale 17 Esercizio 3.7 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Aziende di credito Amministrazioni postali Totale I due tipi di deposito sono così distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro- Nord e Mezzogiorno: Aziende di credito Amministrazioni postali Centro-Nord 79.9% 65.9% Mezzogiorno 20.1% 34.1% Totale 100% 100% a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R: χ 2 = ] Esercizio 3.8 Data la seguente tabella a doppia entrata: Y tot X tot completarla nell ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. aritmetica e la mediana di Y. [R: µ y = 4.4; Me y = 4] Calcolare poi la media Esercizio 3.9 Data la seguente tabella: a) riempirla in modo che risulti χ 2 rel =1; b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ 2? [R: χ 2 = 150] Y 1 6 tot X tot

18 Statistica n.o. - II canale 18 Esercizio 3.10 Data la seguente tabella a doppia entrata: a) riempirla in modo che risulti χ 2 rel = 1; b) calcolare poi χ 2. [R: χ 2 = 200] Y 1 3 tot X tot Esercizio 3.11 Per saggiare il giudizio sulla corrispondenza fra documentazione statistica e realtà dei medici, è stato chiesto a un campione di essi se le statistiche ufficiali italiane sulle malattie infettive rappresentino la situazione reale: Giudizio Ruolo Tutte Solo alcune Nessuna Tot Medico condotto Mutualistico Ospedaliero Altri Tot Valutare se vi è dipendenza tra giudizio e ruolo dei medici. [R: χ 2 = 1.74] Esercizio 3.12 In 115 supermercati sono stati rilevati il prezzo di vendita (X) ed il numero delle confezioni vendute (Y) di un certo tipo di prodotto ottenendo la seguente distribuzione doppia: Y X Tot Tot a) Valutare se vi è dipendenza assoluta e dipendenza lineare tra prezzo di vendita e numero di confezioni vendute. Commentare i risultati. b) Quanti supermercati hanno venduto almeno 170 confezioni ad un prezzo non superiore a 0.80?

19 Statistica n.o. - II canale 19 Esercizio 3.13 Per la seguente tabella: X Y Y 1 Y 2 Y 3 Y senza svolgere i calcoli, determinare χ 2 e χ 2 rel. [R: χ2 = 47; χ 2 rel = 1] Esercizio 3.14 Data la seguente distribuzione doppia: Y X commentare i valori che si ottengono per il χ 2 e per r xy.[r: χ 2 rel = 0.5; r xy = 0] Esercizio 3.15 Valutare se vi è dipendenza tra la regione di provenienza e la facoltà di iscrizione per un campione di studenti iscritti al I anno dell Università di Bologna nel 1974: Facoltà Provenienza Sud-Isole Centro Nord Tot A B C D Tot [R: χ 2 = ]

20 Statistica n.o. - II canale 20 4 Esercizi sulla regressione Esercizio 4.1 In 5 famiglie sono stati rilevati i seguenti redditi (X) e risparmi (Y): X Y a) determinare l equazione della retta di regressione di Y su X; b) stimare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a 50: Ŷ(50); c) determinare il valore del coefficiente di correlazione r xy. [R: Ŷ= X; Ŷ(50)=31.5; r xy = 0.75] Esercizio 4.2 Per due variabili statistiche X e Y si hanno le seguenti coppie di osservazioni: X Y Determinare i parametri della retta di regressione Ŷ =â + bx e valutarne la bontà di adattamento tramite l indice R 2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata, qual è il presumibile valore della Y? [R: â = 5.75, b = 0.39; R 2 = 0.94; Ŷ(12)=1.07] Esercizio 4.3 Per una distribuzione doppia si è stimata la retta di regressione X i =10-2Y i. Individuare quale, fra le seguenti, è la possibile equazione della retta di regressione di Y su X e motivare la scelta: a) Ŷi= 4+0.4X i b) Ŷi= X i c) Ŷi= X i d) Ŷi= X i. Esercizio 4.4 Con riferimento ai dati dell esercizio 3.2, determinare i parametri della retta di regressione di X su Y. Esercizio 4.5 Con riferimento ai dati dell esercizio 3.3, determinare i parametri della retta di regressione di X su Y e quelli della retta di regressione di Y su X.

21 Statistica n.o. - II canale 21 Esercizio 4.6 Con riferimento ai dati dell esercizio 3.5, determinare i parametri della retta di regressione di Y su X. Esercizio 4.7 Con riferimento ai dati dell esercizio 3.12, determinare i parametri della retta di regressione di X su Y. Esercizio 4.8 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui è noto che var(x)=81var(y), indicare quali tra i seguenti valori del coefficiente angolare della retta di regressione di X su Y: 2, 0, 15 non sono accettabili, motivando la risposta fornita. [R: il valore 15 non è accettabile]. Esercizio 4.9 Al fine di stabilire se esiste una relazione statistica tra l altezza degli alberi di ciliegie (Y) ed il diametro medio delle ciliegie prodotte (X), si considerino le osservazioni della seguente tabella: Diametro (cm.) Altezza (m.) a) Calcolare la retta di regressione di X su Y. Stabilire se X e Y sono: incorrelate, correlate positivamente oppure correlate negativamente. b) Calcolare la varianza residua, la varianza spiegata e l indice di accostamento lineare. c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie prodotte da un albero di altezza 3.5. Commentare il risultato. d) Si esprima l altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente variabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di regressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di X su W. [R: X = 1.26y 3.53, σxy = 0.326; V ar res = , V ar tot = 0.5, R 2 = 0.82; X (3.5) = 0.88; X = w 3.53]

22 Statistica n.o. - II canale 22 Esercizio 4.10 In un campione di 12 famiglie si sono rilevati i pesi del padre (X) e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati: X Y Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l R 2. [R: Ŷ = x, R2 = 0.46] Esercizio 4.11 In un campione di 15 famiglie si è rilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari: Reddito Spesa Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in funzione del reddito netto annuo e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata. [R: Ŷ = x, R2 = 0.93] Esercizio 4.12 In una indagine campionaria si sono rilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10 aziende cerealicole: (3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32) (2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31) Si stimino i parametri della retta di regressione del rendimento in funzione della dimenzione aziendale. [R: â = 25.64, b = 1.04] Esercizio 4.13 Si considerino i seguenti dati relativi al numero di ore di studio (X) di un campione casuale di 8 studenti per la preparazione dell esame di statistica ed il voto (Y) riportato: X Y trovare la retta di regressione delle votazioni riportate sulle ore di studio [R: Ŷ = x] Esercizio 4.14 Si siano osservate le seguenti coppie di valori per le variabili X e Y: X Y Determinare l equazione della retta che esprime la Y in funzione della X. Rappresentare sul piano cartesiano i punti osservati e la retta interpolante. [R: β 0 = 0.548, β 1 = 0.636]

23 Statistica n.o. - II canale 23 Esercizio 4.15 I voti in Economia (X) ed in Statistica (Y) riportati da 10 studenti sono stati i seguenti: X Y Sapendo che Var(X)=15.16, Var(Y)=16.09, Cov(X,Y)=14.78, determinare l equazione della retta che esprime la Y in funzione della X. [R: â = 0.505, b = 0.975] Esercizio 4.16 Negli anni , l ascolto di televisione (Y) nella fascia ha avuto il seguente andamento (dati Auditel, in milioni di ascoltatori): Anno Y Interpolare tale distribuzione con una funzione di tipo Ŷ =â b t e sulla base di questo modello prevedere il numero di ascoltatori (in milioni) per l anno [R: â = 0.66, b = 1.20; Ŷ (1996) = 3.4] Esercizio 4.17 Per le seguenti 5 coppie di osservazioni: X Y si vuole interpolare la Y con la funzione Ŷ =ĉ 0+ĉ 1 X 2. a) determinare i parametri ĉ 0 e ĉ 1 ; b) valutare la bontà di adattamento di tale funzione. [R: ĉ 0 = 0.546, ĉ 1 = 1.086; R 2 = 0.98] Esercizio 4.18 Date le seguenti coppie di osservazioni: X Y a) interpolare con la funzione Ŷ =â+ bx 2 ; b) confrontare la varianza residua (cioè il danno) che si ha interpolando con tale parabola con quella che si ha interpolando con la retta Ŷ =â+ bx. Che cosa possiamo concludere? [R: â = 2.078, b = 3.54; V ar res ( X 2 ) = 0.81, V ar res (X) = 47.74] Esercizio 4.19 Date le seguenti coppie di valori (X, Y): (3, 5) (6, 12.5) (9, 14) (15, 35) (25, 65) sulla base dei quadrati dei coefficienti di correlazione individuare quale di queste due funzioni Ŷ=â 1 + b 1 X Ŷ=â 2 + b 2 X 2 approssima meglio la relazione esistente tra X e Y, e stimarne i parametri. [R: si adatta meglio la prima funzione, con R 2 = 0.984, â 1 = 5.832, b 1 = 2.77].

24 Statistica n.o. - II canale 24 Esercizio 4.20 Per un campione di 8 famiglie con i seguenti redditi Y (in euro): 3.000; 3.250; 3.500; 3.750; 4.000; 4.250; 4.500; si sono riscontrate, rispettivamente, le seguenti spese per il vestiario X (in euro): 285; 320; 350; 380; 415; 450; 455; 485 a) si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario (X) in funzione del reddito (Y), e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) senza rifare tutti i calcoli, si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario in lire in funzione del reddito in lire. [R: a) R 2 = 0.986, α = , β = 0.115; b) α = , β = 0.115]