ANALISI DI CORRELAZIONE

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Rosalinda Castelli
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1 ANALISI DI CORRELAZIONE Esempio: Dati raccolti da n = 129 studenti di Pavia (A.A. 21/2) Altezza (cm) Peso (Kg) Voto Algebra e Geometria Voto Fisica I Valutare la correlazione delle seguenti coppie: Peso - Altezza Algebra e Geometria - Fisica I Peso - Algebra e Geometria

2 Innanzi tutto, esaminiamo gli scatter plot: Pavia students 9 8 weight height fisica algebra & geometria algebra & geometria weight Correlazione 2

fisica 1 26 24 22 2 18 15 2 25 3 35 algebra & geometria

3 A prima vista si nota che: Chiara correlazione positiva tra peso e altezza Leggera correlazione positiva tra Algebra e Fisica Dubbia correlazione negativa (incorrelazione?) tra peso e Geometria. Indice quantitativo di correlazione: Coefficiente di correlazione r XY := Cov[X,Y ] Var[X ] Var[Y ] = σ XY σ X σ Y Per stimarlo, facciamo ricorso alla Correlazione campionaria: R XY := S xy S x S y S xy := n i=1 (x i - X )(y i - Ȳ) n - 1 Nota: Se V = ax+b, W = cy+d: r VW = r XY R VW = R XY Correlazione 3

Indice quantitativo di correlazione: Coefficiente di correlazione r XY := Cov[X,Y ] Var[X ] Var[Y ] = σ XY σ X σ Y Per

4 Tabella: Medie, varianze, SD variabile media varianza SD altezza peso algebra fisica I Tabella: Correlazioni stimate variabili correlazione campionaria altezza-peso.67 algebra-fisica.38 peso-algebra -.25 Correlazione 4

5 Commenti: Come previsto, c'è una buona correlazione tra altezza e peso. La correlazione non molto alta tra algebra e fisica significa che gli esami sono una "lotteria"? La correlazione negativa tra peso e algebra significa che perdere peso aiuta ad alzare la media? Problema: come decidere se la correlazione è "significativamente diversa da zero"? Approccio: Prendere le parti dell'avvocato del diavolo, fare l'ipotesi nulla che la coppia di variabili sia incorrelata (r XY = ) e verificare se è sufficientemente screditata dai dati. Per verificare se l'ipotesi nulla è screditata, ho bisogno di una "distribuzione di riferimento". Correlazione 5

La correlazione negativa tra peso e algebra significa che perdere peso aiuta ad alzare la media?

6 Esperimento: (che mostra in che modo la distribuzione di riferimento di R xy dipende dalla numerosità n del campione) 1) Usando un generatore di numeri casuali estraggo n coppie di variabili casuali indipendenti ( r XY = ), distribuite entrambe come normali standard 2) Calcolo la correlazione campionaria R xy. 3) Ripeto l'estrazione ed il calcolo di R xy altre 999 volte. 4) Costruisco l'istogramma delle 1 correlazioni campionarie R xy così ottenute L'istogramma approssima la distribuzione di riferimento per R xy sotto l'ipotesi nulla che le variabili siano incorrelate Correlazione 6

correlazione campionaria R xy. 3) Ripeto l'estrazione ed il calcolo di R xy altre 999 volte.

7 Distribuzioni di riferimento approssimate per diverse numerosità n del campione: 3 n =5 3 n = n =2 3 n = n =6 3 n = correlation coeff correlation coeff. Correlazione 7

5.5 1-1 -.5.5 1 3 n =6 3 n =12 25 25 2 2 15 15 1 1 5 5-1 -.5.5 1 correlation coeff.

8 Osservazione: Se n non è abbastanza grande risulta relativamente facile ottenere valori di R xy molto maggiori di zero anche se le variabili sono incorrelate. Esempio: Se n 2, un valore R xy =.4 non è una buona garanzia che esista correlazione (a differenza di quanto accade per n 6). Diamo ora una valutazione quantitativa della significatività di R xy. Proprietà: Si considerino n coppie (x,y) dove x ed y sono congiuntamente gaussiane e indipendenti. Allora: t = R xy 2 n - 2 = t n R xy (t n-2 : t di Student a n-2 gradi di libertà) Test di correlazione (significatività α): Avendo calcolato t t > t α/2 respingo l'ipotesi nulla R xy è significativamente t t α/2 non respingo l'ipotesi nulla R xy non è significativamente Correlazione 8

Diamo ora una valutazione quantitativa della significatività di R xy. Proprietà: Si considerino n coppie (x,y) dove x ed y sono congiuntamente gaussiane e indipendenti.

9 Tabella: Valori di t α/2 P(t n-1 t α/2 ) = α/2 ovvero P( t n-1 t α/2 ) = α n α =.2 α =.1 α= Correlazione 9

341 1.753 2.131 16 1.337 1.746 2.12 17 1.333 1.74 2.11 18 1.33 1.734 2.11 19 1.328 1.729 2.93 2 1.325 1.725 2.86 21 1.323 1.721 2.8 22 1.321 1.717 2.74 23 1.319 1.714 2.69 24 1.318 1.711 2.

10 Metodo più comodo: Se fisso α = 5% posso calcolare i valori critici di R xy per diversi valori di n. Tabella: Valori di r 2.5% R xy è significativamente se R xy > r 2.5% n r 2.5% Correlazione 1

5% 3.997 4.95 5.88 6.81 7.75 8.71 9.67 1.63 11.6 12.58 13.55 14.53 15.51 16.5 17.48 18.

11 Torniamo all'esempio: Tabella: Correlazioni stimate (n = 129) variabili correlaz. camp. altezza-peso.67 significativamente algebra-fisica.38 significativamente peso-algebra -.25 significativamente! Domanda: Cosa c'entra il peso con il voto di Algebra e Geometria?? Correlazione 11

12 "BEWARE THE LURKING VARIABLE!" Attenzione alla variabile nascosta ("in agguato")! Il fatto che due variabili siano correlate non implica l'esistenza di una relazione causale: Esempio #1: numero di scarpe - capacità di lettura. Esempio #2: titolo di studio - durata disoccupazione negli USA durante la Grande Depressione In molti casi la correlazione può essere spiegata perché entrambe la variabili sono correlate con una terza variable (the lurking variable). Esempio #1: l'età. Esempio #2: ancora l'età perché i giovani erano più istruiti. Bisogna stare molto attenti, specialmente quando la popolazione è composta di sottopopolazioni. Nel nostro caso gli studenti si suddividono in maschi e femmine Correlazione 12

Esempio #2: titolo di studio - durata disoccupazione negli USA durante la Grande Depressione In molti casi la correlazione può essere spiegata perché entrambe la variabili sono

13 Rivediamo lo scatter plot distinguendo maschi e femmine: (n M = 14, n F = 25) 32 male female 3 28 algebra & geometria weight Congettura: C'è correlazione tra peso e algebra perché le femmine hanno (mediamente) voti più alti e (mediamente) pesano di meno Correlazione 13

weight Congettura: C'è correlazione tra peso e algebra perché le femmine

14 Istogrammi 3 male 25 male weight algebra & geometria 8 female 8 female weight algebra & geometria Correlazione 14

8 female 8 female 6 6 4 4 2 2 4 6 8 1 weight

15 Tabella: Medie, varianze, SD variabile media varianza SD peso (femmine) peso (maschi) algebra (femmine) algebra (maschi) Tabella: Correlazioni stimate variabili correlazione campionaria peso-algebra -.17 (femmine) peso-algebra -.11 (maschi) Correlazione 15

16 Commenti: Analizzando separatamente le due sottopopolazioni (maschi e femmine) la correlazione peso-algebra torna in entrambi i casi sotto il limite di significatività. E' ragionevole pensare che il sesso funga da variabile nascosta. Per qualche ragione, le femmine sembrano ottenere (mediamente) voti più alti in algebra rispetto ai maschi. Come valutare la significatività della superiorità femminile? 1) Tecniche per testare le differenze tra due gruppi. 2) Vedi più avanti ("Valutare l'influenza di una variabile"). Correlazione 16

Per qualche ragione, le femmine sembrano ottenere (mediamente) voti più alti in algebra rispetto ai maschi.

17 Considerazioni finali sull'analisi di correlazione Attenzione! Gli outlier possono falsare le correlazioni R xy =.8 Attenzione! Ci sono legami tra le variabili che non sono rivelati dal coefficiente di correlazione R xy = 3.774e-17 Correlazione 17

18 Morale: Il coefficiente di correlazione misura l'associazione lineare e non l'associazione in generale. In generale il suo uso è appropriato quando lo scatter plot è circa ovale. I migliori risultati si hanno per variabili congiuntamente gaussiane (per le quali incorrelazione indipendenza). Correlazione 18

In generale il suo uso è appropriato quando lo scatter plot è circa ovale.

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