Statistica (Prof. Capitanio) Slide n. 1. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

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1 Statistica (Prof. Capitanio) Slide n. 1 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

2 MEDIA GEOMETRICA M g = x g = n n x i i=1 1

3 PROPRIETA 1) Identità di prodotto ( ) n n M = x g i i=1 2

4 10000 investiti nell acquisto di obbligazioni a tasso variabile Anno Esempio del libro di testo (Borra-Di Ciaccio, pag. 57) Tasso di interesse Tasso di interesse % Capitale a fine anno (in ) I II III IV V VI Qual è il tasso di interesse medio annuo? Tasso fisso che permette di avere a fine periodo lo stesso capitale ( ) 3

5 = Media geometrica degli incrementi annui: = Un investimento a tasso fisso annuo pari al 5.23% porta al capitale finale: = =

6 La media aritmetica dei tassi di interesse sovrastima il tasso medio X = = 5.27 Se applichiamo questo tasso fisso il capitale finale è diverso da quello che si ottiene con l investimento a tasso variabile. 5

7 MISURE DI VARIABILITA VARIABILITA Tendenza delle unità del collettivo ad assumere diverse modalità di un carattere Campo di variazione R = x max x min 6

8 Un indicatore della variabilità deve: RAGGIUNGERE IL SUO VALORE MINIMO QUANDO TUTTE LE MODALITÀ SONO UGUALI AUMENTARE DI VALORE ALL AUMENTARE DELLA DIVERSITÀ FRA LE MODALITÀ 7

9 La Media Aritmetica X rappresenta l ipotesi di equidistribuzione del carattere EQUIDISTRIBUZIONE TUTTE LE MODALITA SONO UGUALI ASSENZA DI VARIABILITA Misuriamo la variabilità in termini di allontanamento dall equidistribuzione 8

10 VARIANZA σ 2 =Var(X ) = 1 n n i=1 (x i X ) 2 MEDIA DELLE DIFFERENZE AL QUADRATO FRA CIASCUNA MODALITA E LA MEDIA ARITMETICA 9

11 σ 2 = 1 n n i=1 (x i X ) 2 Var(X ) = 0 tutte le modalità sono uguali (e quindi coincidono con la media aritmetica) 10

12 Distribuzione di numerosità Var(X ) = 1 n k j =1 (x j X ) 2 n j x j Distribuzione di frequenza Var(X ) = (x j X ) 2 f j j =1 k 11

13 DEVIANZA n Var(X ) = Dev(X ) i=1 n Dev(X ) = (x i X ) 2 Proprietà n Dev(X ) = 2 x nx 2 = x 2 n nx 2 i j j i=1 k j =1 12

14 Inoltre si ha: 1 n Dev (X ) = 1 n 2 x nx 2 n i = M(X 2 ) X 2 i =1 75

15 SCARTO QUADRATICO MEDIO (Deviazione standard) σ = σ(x ) = Var(X ) E espresso nella stessa unità di misura di X σ 2 =Var(X ) = n i=1 x i 2 nx 2 n Unità di misura di X al quadrato σ(x ) fornisce una indicazione riguardo a quanto mediamente ciascuna modalità dista dalla media aritmetica 13

16 X n j x j x j 2 n j X = Totale Dev(X ) = k x 2 n nx 2 = = j j j=1 14

17 X n j x j x j 2 n j X = Totale Dev(X ) = k x 2 n nx 2 = = j j j=1 Var(X ) = Dev(X ) n = =

18 X n j x j x j 2 n j Totale Var(X ) = Dev(X ) n = = σ(x ) = Var(X ) = =

19 X n q j j x = X x 2 n j j j j Totale Come valore rappresentativo di ciascuna classe scegliamo la media aritmetica Dev(X ) = k x 2 n nx 2 = = j j j=1 17

20 PROPRIETA 1) Se le modalità sono tutte uguali Var(X ) = 0 e σ(x ) = 0 2) Var(aX ) = a 2 Var(X ) La Varianza non è espressa nella stessa unità di misura del carattere, ma del suo quadrato. 18

21 3) σ(ax ) = aσ(x ) Lo Scarto quadratico medio è espresso nella stessa unità di misura del carattere. Es.: Var(X ) = σ(x ) = Var(X ) = Varianza e sqm in decine di migliaia di euro 1 Var 10 X = Var(X ) = = σ 1 10 X = σ(x ) = =

22 Se aggiungiamo alle osservazioni un valore costante, la varianza resta inalterata Var(b + ax ) = a 2 Var(X ) La stessa proprietà vale per lo scarto quadratico medio. σ(b + ax ) = aσ(x ) Aggiungere un valore costante traslazione La distanza di ciascuna modalità dalla media non cambia 20

23 CONFRONTO TRA 2 COLLETTIVI IN TERMINI DI VARIABILITA Sia Var(X ) che σ(x ) risentono dell unità di misura e dell ordine di grandezza del carattere non possono essere usati per confrontare la variabilità di due collettivi 21

24 COEFFICIENTE DI VARIAZIONE Reddito annuo per CV = σ(x) X 200 operai: σ(x ) = 200 X = CV = = dirigenti: σ(x ) = 1000 X = CV = =

25 SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 n = 12 = 2.5 = 15 Se suddividiamo i dati in gruppi, la media aritmetica complessiva può essere calcolata come media pesata delle medie di ciascun gruppo. 23

26 Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Gruppo 4 1, 1, 1 2, 2, 2 3, 3, 3 4, 4, 4 Se vogliamo quantificare la variabilità le cose cambiano. 24

27 Sappiamo che = 15 Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Gruppo 4 1, 1, 1 2, 2, 2 3, 3, 3 4, 4, 4 = 0 = 0 = 0 = 0 A partire dalle devianze dei 4 gruppi non riusciamo a ricostruire la devianza complessiva. 25

28 n unità k gruppi ciascuno di numerosità devianza del gruppo j-esimo media del gruppo j-esimo Devianza ENTRO (variabilità interna ai gruppi) Devianza TRA (variabilità fra i gruppi) 26

29 gruppo tutte le unità sono uguali è zero quando all interno di ciascun è zero quando le medie di ciascun gruppo sono uguali (fra le medie dei gruppi non c è variabilità) 27

30 Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Gruppo 4 1, 1, 1 2, 2, 2 3, 3, 3 4, 4, 4 = 0 = 0 = 0 = 0 Dev TOT (X ) = Dev TRA (X ) = (1 2.5) (2 2.5) (3 2.5) (4 2.5) 2 3 =

31 Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 29

32 Nell azienda A lavorano 105 impiegati; la media e la devianza degli anni di servizio sono rispettivamente e. Per i 90 impiegati che lavorano nell azienda B si ha invece e. Calcolare la media e la devianza degli anni di servizio per gli impiegati delle due aziende nel loro complesso. 110

33 SCARTO INTERQUARTILE Q 1, Q 2 e Q 3 dividono la distribuzione in 4 parti di uguale numerosità Tra Q 1 e Q 3 c è il 50% delle unità SCARTO INTERQUARTILE W = Q 3 Q 1 Indica quanto è ampio l intervallo che contiene il 50% delle unità le cui modalità sono attorno alla mediana 31

34 BOX PLOT Q 1 Q 3 Fatturato (X) Totale 35 25% 50% 75% 32

35 Me=1000 R = x max x min = = 9050 W = Q 3 Q 1 = = 750 baffo superiore = valori anomali: 7000 e 9500 baffo inferiore =

36 36

37 OMOGENEITA ED ETEROGENEITA Minima ETEROGENEITA (massima OMOGENEITA ) Tutte le unità del collettivo presentano la stessa modalità f 1 = f 2 = = f j 1 = f j +1 = = f k = 0 e f j = 1 Massima ETEROGENEITA (minima OMOGENEITA ) Tutte le modalità sono presenti con la stessa frequenza f 1 = f 2 = = f j = = f k = 1 k 37

38 Esempio (pag. 94) del libro di testo (Borra, Di Ciaccio) Distribuzione di frequenza dei viaggi per vacanza degli italiani nel 2005, rispetto alla tipologia di alloggio. Tipologia di alloggio f j Alberghi Altre strutture collettive Abit./stanze in affitto Abitazioni di proprietà Abitazioni di parenti/amici Altri alloggi privati Totale Osserviamo una situazione intermedia. 38

39 Indice di ETEROGENEITA di Gini k j =1 E 1 = 1 f j 2 0 E 1 k 1 k Indice relativo: E 1 max(e 1 ) = k k 1 E 1 39

40 k j =1 E 1 = 1 f j 2 Minima eterogeneità: f 1 = f 2 = = f j 1 = f j +1 = = f k = 0 e f j = 1 E 1 = = 0 Massima eterogeneità: f 1 = f 2 = = f j = = f k = 1 k E 1 = 1 k 1 = 1 1 k = k 1 k j =1 k 2 40

41 ENTROPIA k j =1 E 2 = f j log(f j ) 0 E 2 log(k) Indice relativo: E 2 max(e 2 ) = E 2 log(k) [assumiamo 0log(0)=0] 41

42 Distribuzione di frequenza dei viaggi per vacanza degli italiani nel 2005, rispetto alla tipologia di alloggio. Tipologia di alloggio f j f j 2 Alberghi Altre strutture collettive Abit./stanze in affitto Abitazioni di proprietà Abitazioni di parenti/amici Altri alloggi privati Totale E 1 max(e 1 ) = k k 1 (1 k f 2 ) = 6 j j =1 ( ) = (89.8% della massima eterogeneità possibile) 42

43 Tipologia di alloggio f j f j 2 f j log(f j ) Alberghi Altre strutture collettive Abit./stanze in affitto Abitazioni di proprietà Abitazioni di parenti/amici Altri alloggi privati Totale E 2 max(e 2 ) = k j =1 f j ln(f j ) ln(k) = = (84.7% della massima eterogeneità possibile) 43