Indici (Statistiche) che esprimono le caratteristiche di simmetria e

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1 Indici di sintesi

2 Indici (Statistiche) Gran parte della analisi statistica consiste nel condensare complessi pattern di osservazioni in un indicatore che sia capace di riassumere una specifica caratteristica di tutte le rilevazioni in un singolo numero In statistica descrittiva distinguiamo: Indici di tendenza centrale (o indici di posizione) che esprimono il valore tipico Indici di dispersione (o indici di variabilità) che esprimono quanto i dati si raggruppano strettamente intorno al valore tipico Indici di forma che esprimono le caratteristiche di simmetria e curvatura della distribuzione dei dati

3 Indici di tendenza centrale Moda Mediana Media Indici di dispersione Range Range interquartile Percentili Deviazione standard, varianza Indici (Statistiche)

4 Indici di tendenza centrale

5 Moda, media e mediana

6 Moda È il valore che si verifica più frequentemente Per quale tipologia di dati è calcolabile? dati categorici binomiali, nominali e ordinali Dati numerici discreti (quando le modalità osservate siano poche) dati numerici continui è la classe di valori osservata più frequentemente..è quindi necessario prima raggruppare in classi le osservazioni

7 Moda Si determina contando la frequenza delle modalità Non tiene conto di tutte le altre modalità, utilizza un solo elemento della distribuzione Ci può essere più di un valore modale in una distribuzione Due valori con la stessa frequenza Due valori con frequenze simili

8 Moda Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Si costruisce una tabella di frequenza Il valore 2.8 si presenta tre volte, i valori 2.6 e 4.0 si presentano 2 volte ciascuno, tutti gli altri valori si presentano una volta sola 2.8 è la moda della distribuzione N.B. La moda si riferisce al valore più frequente (2.8), non alla frequenza di tale valore (3)

9 Mediana Il valore, che, dopo aver posto le osservazioni in ordine crescente, divide il campione in due gruppi di eguale numerosità Per quale tipologia di dati è calcolabile? dati categorici ordinali dati numerici discreti dati numerici continui

10 Mediana Si calcola individuando Nelle serie dispari il valore al centro della distribuzione ordinata (valore nella (n+1)/2 esima posizione) Nelle serie pari è la media dei due valori al centro della distribuzione ordinata (media tra il valore nella n/2 esima e il valore nella (n/2)+1 esima posizione) E detta anche 50 percentile Utilizza le relazioni di posizione dei dati (>,<) Non è sensibile ai valori estremi E il migliore indice di sintesi nelle distribuzioni asimmetriche

11 Mediana Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Ordina i 13 valori x i 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.6, 2.8, 2.8, 2.8, 3.0, 3.3, 3.5, 4.0, 4.0 Calcolo: Nelle serie dispari (N=13 è dispari) è il valore al centro della distribuzione ordinata valore nella (n+1)/2 esima posizione = 7a posizione 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.6, 2.8, 2.8, 2.8, 3.0, 3.3, 3.5, 4.0, 4.0

12 Media aritmetica La somma di tutti i valori rilevati in un campione divisa per la numerosità Utilizza le proprietà delle relazioni aritmetiche (quantità, operazioni) Esiste solo per i dati numerici continui e discreti Sintetizza tutti i dati: è il valore più vicino a tutte le singole osservazioni E invariante per trasformazioni affini +k, - k, *k, /k sui dati spostano nello stesso senso la media E valida soprattutto per i dati che seguono una distribuzione di frequenza normale E sensibile ai valori estremi

13 La Media aritmetica Significato: Quanto sarebbero alti i soggetti che abbiamo studiato, se fossero tutti uguali? x i n i= 1 x i x n i= = 1 n x i x1 x2 x3 x x x

14 Media aritmetica Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Somma dei 13 valori x i = 38 Divisione per n=13 38 / 13 = 2.9 x n i= = 1 n x i

15 Valutare una distribuzione di frequenza Simmetrica Unimodale Media = Mediana = Moda Simmetrica Bimodale Moda1 < Media = Mediana < Moda2 Asimmetrica a destra Moda < Mediana < Media Asimmetrica a sinistra Media < Mediana < Moda

16 Media per dati raggruppati La media aritmetica si può calcolare anche senza avere i valori di ogni singola osservazione, basandosi su dati aggregati Es. consideriamo la seguente tabella, che riporta la distribuzione di frequenza del n di sigarette fumate ogni giorno da un campione di 20 persone N sig. Frequenza

17 Media per dati raggruppati La media aritmetica può essere calcolata come media pesata dei diversi valori I pesi sono rappresentati dalla frequenza di ciascun valore N sig. medio=(0*6+5*8+10*5+20*1)/20=5.5

18 Media per dati raggruppati La media aritmetica può essere calcolata, con una certa approssimazione, anche quando, invece dei singoli valori, sono riportati degli intervalli di valori della variabile di interesse Es. consideriamo la seguente tabella, che riporta la distribuzione di frequenza dei valori di frequenza cardiaca a riposo in un campione di 20 persone Freq. Card. Frequenza

19 Media per dati raggruppati In questo caso, si prende il valore centrale di ogni intervallo e si usa la formula descritta in precedenza Freq. Card. media = (45*2+55*4+65*6+75*4+85*3+95*1)/20=67.5

20 Esercitazione Di un gruppo di atleti raccogliamo delle informazioni relative al tipo di sport praticato, al peso, all'altezza ed al numero di infortuni subiti Calcolare: L'altezza media e mediana Lo sport più praticato La media, la mediana e la moda del numero di infortuni

21 Il dataset

22 Esercitazione Calcolare il valore medio del n di sit-ups effettuati da un campione di 30 atleti in un giorno N sit-ups Frequenza

23 Esercitazione Calcolare il valore medio della Pressione Arteriosa Sistolica negli stessi atleti N sit-ups Frequenza <

24 Hai raccolto i valori del peso (espresso in libbre) dei canottieri di Oxford e Cambridge Esercitazione

25 Esercitazione Di seguito sono riportati i valori medi e mediani (in libbre) per i due equipaggi Cambridge: media=182, mediana=186 Oxford: media=180, mediana=185 Ti aspetti che la distribuzione sia simmetrica?

26 Esercitazione La distribuzione del peso dell equipaggio di Cambridge (9 canottieri) 1** 09 1** 1** 1** 79 1** 83, 85, 86, 89, 95 2** 04, 14

27 Esercitazione La distribuzione del peso dei due equipaggi (18 canottieri) Frequency weight

28 Indici di variabilità

29 La variabilità

30 Misurare la variabilità di una distribuzione Distribuzione A Distribuzione B x i n i f i tot Moda(A)= 30 Mediana(A)=30 Media (A) =30 x i n i f i tot Moda(B)= 30 Mediana(B)=30 Media (B) =30 Le due distribuzioni si possono dire uguali?

31 Misurare la variabilità di una distribuzione distribuzione frequenze A e B distribuzione A distribuzione B Le osservazioni della distribuzione A sono per la maggior parte in corrispondenza del valore medio Le osservazioni della distribuzione B sono più disperse rispetto al valore medio

32 Misurare la variabilità di una distribuzione I dati delle due distribuzioni hanno un diverso livello di dispersione I dati delle due distribuzioni sono differentemente distribuiti intorno al loro valore medio Le due distribuzioni hanno una diversa variabilità

33 Indici di variabilità La variabilità o dispersione è un concetto chiave in statistica Molte analisi vengono condotte allo scopo di studiare le cause della variabilità di un fenomeno Indici di variabilità sono: Il range, o intervallo massimo-minimo Il range inter-quartile La varianza La deviazione standard

34 Il range Il range, o intervallo massimo-minimo, individua le due osservazioni estreme di una distribuzione, ovvero la più grande e la più piccola È quindi molto facile calcolare il range Il limite di questa misura è che è facilmente influenzabile da osservazioni anomale, cioè molto più grandi o molto più piccole della maggior parte delle osservazioni

35 Il Range Campo di variazione R = Max - Min Distribuzione A x i n i f i tot R = 50-10

36 Esercitazione Hai raccolto i valori del peso (espresso in libbre) dei canottieri di Oxford e Cambridge Calcola il range di valori, per i due team

37 Quantili Per QUANTILI si intende la suddivisione di una distribuzione in gruppi ordinati e di eguale numerosità Decili: dieci gruppi Quintili: cinque gruppi Quartili: quattro gruppi Centili (o percentili): cento gruppi Per PERCENTILE si intende la suddivisione in 100 parti uguali di una serie di valori continui ad esempio pesi o altezze di bambini Un bambino che superi il 90% percentile avrà dunque un valore (es. di altezza) superiore al 90% di tutti i bambini considerati

38 Percentili Consideriamo una variabile Y, ordinabile, con modalità: y 1, y 2, y 3,, y k 1 percentile= valore di y che separa il primo 1% delle osservazioni 2 percentile= valore di y che separa il primo 2% delle osservazioni n percentile= valore di y che separa il primo n% delle osservazioni

39 Calcolo del p-esimo Percentile Considerando n osservazioni ordinate ed intendendo calcolare il valore del p- esimo percentile valutiamo l espressione (n*p)/100 se NON è un intero il p-esimo percentile sarà l osservazione che si trova alla posizione data da np/100 approssimato per eccesso se è un intero Percentili il p-esimo percentile sarà la media tra l osservazione che si trova nella posizione np/100 e l osservazione che si trova nella posizione successiva

40 Calcolo del p-esimo Percentile Percentili 75 percentile nel nostro esempio di 13 osservazioni valutiamo l espressione (n*p)/100 75*13/100 = 9.75 NON è un intero il p-esimo percentile sarà l osservazione che si trova alla posizione data da np/100 approssimato per eccesso e cioè la 10a osservazione dopo aver ordinato i dati 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.6, 2.8, 2.8, 2.8, 3.0, 3.3, 3.5, 4.0, 4.0

41 Le curve di crescita Le curve riportate nel grafico rappresentano alcuni percentili del peso in bambine e ragazze (10-20 anni) negli USA

42 Quartili di una distribuzione 1 quartile = 25 percentile Mediana 2 quartile = 50 percentile 3 quartile = 75 percentile

43 Il range inter-quartile E la differenza tra il terzo quartile (75 percentile) e il primo quartile (25 percentile) E l ampiezza dell intervallo che contiene il 50% centrale dei dati Non è influenzato dai valori estremi N.B. sia il range che la differenza interquartile sono singoli numeri, non intervalli

44 Esercitazione Hai raccolto i valori del peso (espresso in libbre) dei canottieri di Oxford e Cambridge Calcola i quartili della distribuzione

45 Diagrammi a scatola Sono utili per verificare la asimmetria delle distribuzioni di frequenza La scatola centrale si estende dal 25 percentile al 75 percentile (i quartili dei dati) La linea dentro la scatola rappresenta la mediana Le linee al di fuori della scatola si estendono ai valori adiacenti, osservazioni più estreme che non superano più di 1,5 volte l altezza della scatola esternamente ad ognuno dei quartili

46 Diagrammi a scatola weight

47 Diagrammi a scatola Cambridge Oxford weight Graphs by team

48 Misurare la variabilità di una distribuzione Come migliorare ulteriormente le misura della variabilità? Utilizzare misure che tengano conto di tutti i termini della distribuzione in studio Calcolare lo scarto tra il valore di ciascuna osservazione ed il valore medio di tutte le osservazioni Calcolare la media di tutti gli scarti Distanza media dei punti della distribuzione dalla media della distribuzione stessa

49 E un valore sintetico che vuole esprimere la distanza media di ogni singola osservazione dalla media aritmetica del campione Idealmente, la distanza media delle osservazioni dalla media artimetica del campione si potrebbe studiare calcolando la media aritmetica dei semplici scarti. Tuttavia, per la stessa definizione della media aritmetica, la somma degli scarti è pari a zero Allora, per evitare l azzeramento della somma degli scarti, si calcola la media dei quadrati degli scarti per la varianza di una popolazione: 2 σ per la varianza in un campione si tende ad essere più conservativi: n i= = 1 n Varianza ( x µ) i s 2 2 = n i= 1 ( x i x) n 1 2

50 Varianza Utilizza le proprietà delle relazioni aritmetiche (quantità, operazioni) Esiste solo per i dati numerici continui e discreti E valida soprattutto per i dati che seguono una distribuzione di frequenza normale E sensibile ai valori estremi La sua unità di misura non è quella della media è al quadrato!

51 Esempio Varianza Si calcolano gli scarti 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, , , , -0.6, -0.8, +0.6, -0.3, -0.1, -0.1, +1.1, -0.7, -0.3, +0.1, +1.1, -0.1, +0.4 si calcolano i quadrati degli scarti 0.36, 0.64, 0.36, 0.09, 0.01, 0.01, 1.21, 0.49, 0.09, 0.01, 1.21, 0.01, 0.16 Si calcola la media dei quadrati degli scarti (con i gradi di libertà) /(13-1) = litri 2 attenzione: è in una scala al quadrato! s 2 = n i= 1 ( x i x) n 1 2

52 Deviazione standard E un valore sintetico che vuole esprimere la distanza media di ogni singola osservazione dalla media aritmetica del campione E la radice quadrata della varianza, e ne ha le stesse proprietà Ha la stessa unità di misura della media aritmetica

53 Deviazione standard Esempio Si calcolano gli scarti 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, , , , -0.6, -0.8, +0.6, -0.3, -0.1, -0.1, +1.1, -0.7, -0.3, +0.1, +1.1, -0.1, +0.4 si calcolano i quadrati degli scarti 0.36, 0.64, 0.36, 0.09, 0.01, 0.01, 1.21, 0.49, 0.09, 0.01, 1.21, 0.01, 0.16 Si calcola la media dei quadrati degli scarti (con i gradi di libertà) /(13-1) = litri 2 Sqrt(0.3875)=0.622 litri

54 Esercitazione Hai raccolto i valori del peso (espresso in libbre) dei canottieri di Oxford e Cambridge Calcola varianza e deviazione standard per l equipaggio di Cambridge Media=182