Statistica. Alfonso Iodice D Enza

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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 16

2 Outline 1 () Statistica 2 / 16

3 Outline 1 2 () Statistica 2 / 16

4 Outline 1 2 () Statistica 2 / 16

5 La media geometrica La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini, definendo f(.) come prodotto delle modalità x 1, x 2,..., x n. Ricordando la relazione generale f(x 1, x 2,..., x n ) = f(µ g, µ g,..., µ g ) in questo caso risulta essere () Statistica / 16

6 La media geometrica La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini, definendo f(.) come prodotto delle modalità x 1, x 2,..., x n. Ricordando la relazione generale f(x 1, x 2,..., x n ) = f(µ g, µ g,..., µ g ) in questo caso risulta essere n n (x i ) = (x 1 x 2... x n ) = (µ g ) = µ n g i=1 i=1 () Statistica / 16

7 La media geometrica La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini, definendo f(.) come prodotto delle modalità x 1, x 2,..., x n. Ricordando la relazione generale f(x 1, x 2,..., x n ) = f(µ g, µ g,..., µ g ) in questo caso risulta essere n n (x i ) = (x 1 x 2... x n ) = (µ g ) = µ n g i=1 i=1 da cui µ g = n n (x i ) i=1 () Statistica / 16

8 Esempio di calcolo della media geometrica Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun anno sono rispettivamente i 1 = 0.08, i 2 = 0.0, i = 0.06, i 4 = 0.07, i 5 = 0.05 () Statistica 4 / 16

9 Esempio di calcolo della media geometrica Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun anno sono rispettivamente i 1 = 0.08, i 2 = 0.0, i = 0.06, i 4 = 0.07, i 5 = 0.05 Rendita del capitale Capitale inizio primo anno: 1 Capitale fine primo anno: i 1 = 1 + i 1 () Statistica 4 / 16

10 Esempio di calcolo della media geometrica Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun anno sono rispettivamente i 1 = 0.08, i 2 = 0.0, i = 0.06, i 4 = 0.07, i 5 = 0.05 Rendita del capitale Capitale inizio primo anno: 1 Capitale fine primo anno: i 1 = 1 + i 1 Capitale inizio secondo anno: 1 + i 1 Capitale fine secondo anno: (1 + i 1 ) + (1 + i 1 ) i 2 = (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) () Statistica 4 / 16

11 Esempio di calcolo della media geometrica Rendita del capitale Capitale inizio terzo anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) Capitale fine terzo anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) () Statistica 5 / 16

12 Esempio di calcolo della media geometrica Rendita del capitale Capitale inizio terzo anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) Capitale fine terzo anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) Capitale inizio quarto anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) Capitale fine quarto anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) (1 + i 4 ) () Statistica 5 / 16

13 Esempio di calcolo della media geometrica Rendita del capitale Capitale inizio quinto anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) (1 + i 4 ) Capitale fine fine anno: (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) (1 + i 4 ) (1 + i 5 ) () Statistica 6 / 16

14 Esempio di calcolo della media geometrica Il problema trovare il tasso di interesse i costante tale da produrre la stessa rendita di capitale. Formalmente (1+i 1 ) (1+i 2 )... (1+i 5 ) = (1+i) (1+i)... (1+i) che equivale al criterio di Chisini con f(.) funzione moltiplicativa, con x j = (1 + i j ). () Statistica 7 / 16

15 Esempio di calcolo della media geometrica Il problema trovare il tasso di interesse i costante tale da produrre la stessa rendita di capitale. Formalmente (1+i 1 ) (1+i 2 )... (1+i 5 ) = (1+i) (1+i)... (1+i) che equivale al criterio di Chisini con f(.) funzione moltiplicativa, con x j = (1 + i j ). 1 + i = 5 (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i 5 ) = 5 ( ) ( )... ( ) = = = = essendo (1 + i) = , il tasso fisso da noi cercato i = () Statistica 7 / 16

16 Indici di e tipo di caratteri la moda si applica a tutte le tipologie di caratteri la mediana (quartili, quantili in generale) si applica a tutte le tipologie di caratteri le cui modalità sono ordinabili (mutabili rettilinee e variabili) la media aritmetica si applica alle sole variabili quantitative () Statistica 8 / 16

17 Il concetto di variabilità si definisce come l attitudine di un fenomeno ad assumere modalità differenti. può essere misurata in diversi modi: () Statistica 9 / 16

18 Il concetto di variabilità si definisce come l attitudine di un fenomeno ad assumere modalità differenti. può essere misurata in diversi modi: variabilità delle singole modalità x 1, x 2,..., x n rispetto ad un indice di mutua variabilità variabilità delle modalità x 1, x 2,..., x n ordinate in modo crescente (usando la f. di ripartizione) variabilità delle frequenze relative (applicabile anche a mutabili) () Statistica 9 / 16

19 Requisiti per variabilità Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche () Statistica 10 / 16

20 Requisiti per variabilità Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 () Statistica 10 / 16

21 Requisiti per variabilità Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di costanti ugulae a 0 () Statistica 10 / 16

22 Requisiti per variabilità Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti caratteristiche un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di costanti ugulae a 0 aggiungendo una costante alla variabile osservata, il valore dell indice non deve cambiare () Statistica 10 / 16

23 Definizione di varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) () Statistica 11 / 16

24 Definizione di varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 = n = 1 n (x i µ) 2 n i=1 () Statistica 11 / 16

25 Definizione di varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 = n = 1 n (x i µ) 2 n i=1 per dati organizzati in frequenze (seriazione) σ 2 = (x 1 µ) 2 n 1 + (x 2 µ) 2 n (x k µ) 2 n k = n 1 + n n k = 1 k (x i µ) 2 n i n i=1 () Statistica 11 / 16

26 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti () Statistica 12 / 16

27 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti () Statistica 12 / 16

28 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti sar dunque σ 2 = 1 n (x i µ) 2 = 50.8 n 6 i=1 = () Statistica 12 / 16

29 Massima variabilità () Statistica 1 / 16

30 Massima variabilità può crescere indefinitamente perchè gli scarti delle modalità dalla media possono essere illimitatamente grandi () Statistica 1 / 16

31 Massima variabilità può crescere indefinitamente perchè gli scarti delle modalità dalla media possono essere illimitatamente grandi La situazione di massima variabilità per un collettivo con media µ, si ha quando su n modalità, n 1 sono nulle ed una sola modalità x 0 i = nµ σ 2 1 n (x i µ) 2 = 1 n n ((n 1)(0 µ)2 + (nµ µ) 2 ) = i=1 = 1 n ((n 1)µ2 + µ 2 (n 1) 2 ) = = 1 n ((n 1)µ2 + µ 2 (n n)) = = 1 n (µ2 n(n 1)) = µ 2 (n 1) () Statistica 1 / 16

32 Le propriet della varianza gode di alcune importanti propriet di seguito riportate: () Statistica 14 / 16

33 Le propriet della varianza gode di alcune importanti propriet di seguito riportate: 1 di X sempre un numero non negativo ( 0) 2 di X pari a 0 se e solo se X una costante Se alla variabile X si aggiunge una costante, σ x non cambia 4 Se si moltiplica la variabile X per una costante b, si avr σ x = b 2 σ 2 x () Statistica 14 / 16

34 Le propriet della varianza Le propriet e 4 dipendono dalla propriet di linearit della media aritmetica: si consideri Y = a + bx, con a e b costanti. Dalla propriet risulta che µ y = a + bµ x. Calcolando la varianza di Y si avr: σy 2 = 1 n (y i µ y ) 2 = n = 1 n = 1 n = b 2 1 n 1=1 n (y i (a + bµ x )) 2 = 1 n 1=1 n (bx i bµ x ) 2 = 1 n 1=1 n (a + bx i a bµ x ) 2 = 1=1 n b 2 (x i µ x ) 2 = 1=1 n (x i µ x ) 2 = b 2 σx 2 i=1 () Statistica 15 / 16

35 Lo scarto quadratico medio (standard deviation) Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto che tale indice espresso nell unità di misura al quadrato della variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da () Statistica 16 / 16

36 Lo scarto quadratico medio (standard deviation) Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto che tale indice espresso nell unità di misura al quadrato della variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da σ = 1 n (x i µ) n 2 i=1 () Statistica 16 / 16

37 Lo scarto quadratico medio (standard deviation) Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto che tale indice espresso nell unità di misura al quadrato della variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da σ = 1 n (x i µ) n 2 i=1 dall esempio precedente risulta dunque σ = = () Statistica 16 / 16

38 Il coefficiente di variazione (CV è un indice assoluto, dipende quindi dall unità di misura della variabile. Un indice relativo di variabilità è il coefficiente di variazione CV. E dato da CV = σ µ essendo un numero puro consente il confronto fra fenomeni rilevati in momenti diversi o espressi in unità di misura diverse () Statistica 17 / 16

39 Il coefficiente di variazione (CV è un indice assoluto, dipende quindi dall unità di misura della variabile. Un indice relativo di variabilità è il coefficiente di variazione CV. E dato da CV = σ µ essendo un numero puro consente il confronto fra fenomeni rilevati in momenti diversi o espressi in unità di misura diverse Limiti di utilizzo del CV è defnito solo se µ > 0 se µ 0 il CV tende a diventare molto grande () Statistica 17 / 16

40 Variabilità e modalità ordinate In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire degli variabilità derivati dalla funzione di ripartizione empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità {1, 5, 7, 1, 14, 15, 18, 18, 22, 2, 24, 25, 27, 28, 29} () Statistica 18 / 16

41 Variabilità e modalità ordinate In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire degli variabilità derivati dalla funzione di ripartizione empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità {1, 5, 7, 1, 14, 15, 18, 18, 22, 2, 24, 25, 27, 28, 29} il range (o campo di variazione) è dato da R(X) = max(x i ) min(x i = 29 1 = 27 il range inter-quartile (o campo di variazione interquartile) è dato da IQR(X) = Q Q 1 = 25 1 = 12 () Statistica 18 / 16

42 Variabilità e modalità ordinate In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire degli variabilità derivati dalla funzione di ripartizione empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità {1, 5, 7, 1, 14, 15, 18, 18, 22, 2, 24, 25, 27, 28, 29} il range (o campo di variazione) è dato da R(X) = max(x i ) min(x i = 29 1 = 27 il range inter-quartile (o campo di variazione interquartile) è dato da IQR(X) = Q Q 1 = 25 1 = 12 () Statistica 18 / 16

43 Mutua variabilità In presenza di caratteri trasferibili (reddito, risorde energetiche, consumo di beni) è di maggior interesse lo studio della variabilità tra le singole unità statistiche piuttosto che la variabilità rispetto a un centro. () Statistica 19 / 16

44 Mutua variabilità In presenza di caratteri trasferibili (reddito, risorde energetiche, consumo di beni) è di maggior interesse lo studio della variabilità tra le singole unità statistiche piuttosto che la variabilità rispetto a un centro. Differenza media semplice tale indice rappresenta la media dei valori assoluti delle differenze calcolate rispetto a tutte le possibili coppie di modalità. Esso corrisponde a = n i j=1 x i x j n(n 1) la quantità al denominatore (n(n 1)) rappresenta il numero di possibili coppie di n osservazioni. () Statistica 19 / 16

45 Mutua variabilità Dato un carattere X osservato su n = 4 osservazioni {7, 14, 18, 24} () Statistica 20 / 16

46 Mutua variabilità Dato un carattere X osservato su n = 4 osservazioni {7, 14, 18, 24} Differenza media semplice Il valore di sarà in questo caso = = = () Statistica 20 / 16 =

47 mutua variabilità: minimo e massimo l indice assume il valore minimo ( = 0) quando tutte le modalità coincidono: in questo caso le differenze semplici sono nulle l indice assume il valore massimo quando tutte le modalità tranne una sono nulle: in tal caso si ha che = 2µ Dunque assume valore nell intervallo [0, 2µ]: è possibile ottenere una versione normalizzata: R = 2µ tale indice viene denominato rapporto di concentrazione di Gini () Statistica 21 / 16

48 La concentrazione In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, () Statistica 22 / 16

49 La concentrazione In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la concentrazione è massima se l intero ammontare del carattere è detenuto da una sola osservazione () Statistica 22 / 16

50 Indice di concentrazione Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n q i = i j=1 x j n j=1 x j () Statistica 2 / 16

51 Indice di concentrazione Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n q i = i j=1 x j n j=1 x j p i è la frazione cumulata dei primi i redditieri q i, ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri () Statistica 2 / 16

52 Indice di concentrazione Le differenze (p i - q i ) 0, sono misure dirette della concentrazione. La media aritmetica della versione normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di concentrazione di Gini. n 1 i=1 ( p i q i p i n 1 i=1 p i )p i = n 1 i=1 (p i q i ) n 1 i=1 p i () Statistica 24 / 16

53 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende prodottrici di componenti per auto () Statistica 25 / 16

54 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende prodottrici di componenti per auto () Statistica 25 / 16

55 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende prodottrici di componenti per auto NOTA: le modalità (X) sono state ordinate in modo crescente () Statistica 25 / 16

56 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende prodottrici di componenti per auto NOTA: le modalità (X) sono state ordinate in modo crescente n 1 i=1 (p i q i ) n 1 = = i=1 p i () Statistica 25 / 16

57 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 26 / 16

58 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 26 / 16

59 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 26 / 16

60 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 26 / 16

61 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). () Statistica 26 / 16

62 Il concetto di mutabilità In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. () Statistica 27 / 16

63 Il concetto di mutabilità In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la stessa modalità del carattere qualitativo massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno tutte la stessa frequenza assoluta (relativa) () Statistica 27 / 16

64 Il concetto di mutabilità In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere espressa in termini di mutabilità, definita come l attitudine di un carattere ad assumere differenti modalità qualitative. perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la stessa modalità del carattere qualitativo massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno tutte la stessa frequenza assoluta (relativa) Le situazioni intermedie sono caratterizzate da un diverso grado di eterogeneità. () Statistica 27 / 16

65 eterogeneità L eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative (f 1, f 2,..., f k ) delle k modalità del carattere. () Statistica 28 / 16

66 eterogeneità L eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative (f 1, f 2,..., f k ) delle k modalità del carattere. minima eterogeneità: si manifesta una sola modalità j la cui frequenza relativa f j = 1: un indice di eterogeneità deve avere valore 0 in questo caso massima eterogeneità: Le frequenze relative sono tutte uguali: f i = 1 k, con i = 1,..., k e k numero di modalità del carattere () Statistica 28 / 16

67 Indici di eterogeneità: l indice di Gini (G) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k G = 1 i=1 f 2 i () Statistica 29 / 16

68 Indici di eterogeneità: l indice di Gini (G) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k G = 1 i=1 in caso di minima eterogeneità, G = 0 in caso di massima eterogeneità l indice assume valore G = 1 1 k f 2 i () Statistica 29 / 16

69 Indici di eterogeneità: l indice di Gini (G) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato da k G = 1 i=1 in caso di minima eterogeneità, G = 0 in caso di massima eterogeneità l indice assume valore G = 1 1 k Avendo definito il valore massimo dell indice, possibile ottenerne la versione normalizzata G f 2 i G = k G k 1 () Statistica 29 / 16

70 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) Una nuova azienda informatica immette sul mercato una gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la seguente distribuzione di frequenze: () Statistica 0 / 16

71 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) Una nuova azienda informatica immette sul mercato una gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la seguente distribuzione di frequenze: La colonna promo riguarda le frequenze delle vendite per categoria di prodotto dopo una politica di promozioni sui diversi prodotti () Statistica 0 / 16

72 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) () Statistica 1 / 16

73 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) k G = 1 fi 2 = 1 [(0.2094) 2 + i=1 + (0.55) 2 + (0.17) (0.1071) 2 + (0.1964) 2 ] = = = 0.76 () Statistica 1 / 16

74 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) k G = 1 fi 2 = 1 [(0.2094) 2 + i=1 + (0.55) 2 + (0.17) (0.1071) 2 + (0.1964) 2 ] = = = 0.76 l indice in versione normalizzata G dato da G = k G k 1 = =.8165/4 = () Statistica 1 / 16

75 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) () Statistica 2 / 16

76 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) k G promo = 1 fi 2 = 1 [(0.045) 2 + i=1 + (0.1824) 2 + (0.0074) (0.281) 2 + (0.1777) 2 ] = = = () Statistica 2 / 16

77 Esempio di applicazione dell indice di Gini (G) k G promo = 1 fi 2 = 1 [(0.045) 2 + i=1 + (0.1824) 2 + (0.0074) (0.281) 2 + (0.1777) 2 ] = = = l indice in versione normalizzata G dato da G promo = k G k 1 = =.678/4 = Risultando essere G > G promo si pu concludere che la politica di promozioni ha fatto diminuire l eterogeneità (aumentare l omogeneità) delle vendite nelle diverse categorie di prodotti () Statistica 2 / 16

78 Indici di eterogeneità: l indice di Shannon (H) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon k H = f i log(f i ) i=1 () Statistica / 16

79 Indici di eterogeneità: l indice di Shannon (H) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon H = k f i log(f i ) i=1 in caso di minima eterogeneità, H = 0 in caso di massima eterogeneità l indice assume valore H = log(k) () Statistica / 16

80 Indici di eterogeneità: l indice di Shannon (H) L indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon H = k f i log(f i ) i=1 in caso di minima eterogeneità, H = 0 in caso di massima eterogeneità l indice assume valore H = log(k) Avendo definito il valore massimo dell indice, possibile ottenerne la versione normalizzata H H = H log(k) () Statistica / 16

81 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) () Statistica 4 / 16

82 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) k H = f i log(f i ) = i=1 = 0, 2094 log(0, 2094)+ + 0, 55 log(0, 55)+ + 0, 17 log(0, 17)+ + 0, 1071 log(0, 1071) log(0, 1964) = = () Statistica 4 / 16

83 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) k H = f i log(f i ) = i=1 = 0, 2094 log(0, 2094)+ + 0, 55 log(0, 55)+ + 0, 17 log(0, 17)+ + 0, 1071 log(0, 1071) log(0, 1964) = = l indice in versione normalizzata H dato da H = H log(k) = = () Statistica 4 / 16

84 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) () Statistica 5 / 16

85 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) k H promo = f i log(f i ) = i=1 = log(0.045)+ + 0, 1824 log(0.1824) log(0.0074) log(0.281) log(0.1777) = = 1.81 () Statistica 5 / 16

86 Esempio di applicazione dell indice di Shannon (H) k H promo = f i log(f i ) = i=1 = log(0.045)+ + 0, 1824 log(0.1824) log(0.0074) log(0.281) log(0.1777) = = 1.81 l indice in versione normalizzata H promo dato da H promo = H log(k)) = = () Statistica 5 / 16

87 La forma di una distribuzione Due distribuzioni aventi stessa e variabilità possono differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale della distribuzione. () Statistica 6 / 16

88 La forma di una distribuzione Due distribuzioni aventi stessa e variabilità possono differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale della distribuzione. Aspetti che caratterizzano la forma di una distribuzione sono asimmetria curtosi () Statistica 6 / 16

89 La forma di una distribuzione Due distribuzioni aventi stessa e variabilità possono differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale della distribuzione. Aspetti che caratterizzano la forma di una distribuzione sono asimmetria curtosi () Statistica 6 / 16

90 Asimmetria distribuzione simmetrica rettangolare () Statistica 7 / 16

91 Asimmetria distribuzione simmetrica campanulare () Statistica 7 / 16

92 Asimmetria distribuzione asimmetrica positiva () Statistica 7 / 16

93 Asimmetria distribuzione asimmetrica negativa () Statistica 7 / 16

94 Indici di asimmetria indice normalizzato di asimmetria A Tale indice la versione normalizzata della differenza tra media e mediana, dal momento che σ risulta essere in qualunque caso tale che σ µ Me A = µ Me σ Tale indice varia nell intervallo [ 1, 1]. () Statistica 8 / 16

95 Indici di asimmetria indice normalizzato di asimmetria A Tale indice la versione normalizzata della differenza tra media e mediana, dal momento che σ risulta essere in qualunque caso tale che σ µ Me A = µ Me σ Tale indice varia nell intervallo [ 1, 1]. se A > 0 allora la distribuzione asimmetrica positiva se A < 0 allora la distribuzione asimmetrica negativa se A = 0 allora la distribuzione simmetrica () Statistica 8 / 16

96 Indice normalizzato di asimmetria Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} () Statistica 9 / 16

97 Indice normalizzato di asimmetria Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} A (A) = µ Me σ = = () Statistica 9 / 16

98 Indice normalizzato di asimmetria Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} A (A) = µ Me σ = = A (B) = µ Me σ = = () Statistica 9 / 16

99 Indice normalizzato di asimmetria Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} A (A) = µ Me σ = = A (B) = µ Me σ = = A (C) = µ Me σ = = 0 () Statistica 9 / 16

100 Indici di asimmetria Standardizzazione di una variabile L operazione di standardizzazione consiste nel sottrarre a ciascuna modalita x i la media µ, dividendo poi per lo scarto quadratico medio σ. Tale operazione consente il confronto tra distribuzioni con medie e varianze diverse. z i = x i µ σ () Statistica 40 / 16

101 Indici di asimmetria () Statistica 41 / 16

102 Indici di asimmetria () Statistica 42 / 16

103 Indici di asimmetria () Statistica 4 / 16

104 Indici di asimmetria indice di asimmetria di Fisher γ γ = 1 n (z i ) = 1 n n i=1 n ( xi µ i=1 σ ) () Statistica 44 / 16

105 Indici di asimmetria indice di asimmetria di Fisher γ γ = 1 n (z i ) = 1 n n i=1 n ( xi µ i=1 σ ) se γ > 0 allora la distribuzione asimmetrica positiva se γ < 0 allora la distribuzione asimmetrica negativa se γ = 0 allora la distribuzione simmetrica () Statistica 44 / 16

106 Indice di asimmetria di Fisher γ Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} () Statistica 45 / 16

107 Indice di asimmetria di Fisher γ Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami hanno riportato i seguenti voti: A = {18, 20, 21, 2, 25, 26, 27, 27, 0} B = {22, 2, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 0} C = {21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29} n n ( ) xi µ ( ) = + γ (A) = 1 (z i ) = 1 n n σ.887 i=1 i=1 ( ) ( ) = () Statistica 45 / 16

108 Indice di asimmetria di Fisher γ γ (B) = 1 n (z i ) = 1 n ( ) xi µ ( ) = + n n σ i=1 i=1 ( ) ( ) = () Statistica 46 / 16

109 Indice di asimmetria di Fisher γ γ (B) = 1 n (z i ) = 1 n ( ) xi µ ( ) = + n n σ i=1 i=1 ( ) ( ) = γ (C) = 1 n (z i ) = 1 n ( ) xi µ = n n σ i=1 i=1 ( ) ( ) = ( ) () Statistica 46 / 16

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