La dissomiglianza tra due distribuzioni normali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "La dissomiglianza tra due distribuzioni normali"

Transcript

1 Annali del Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi Università degli Studi di Bari Aldo Moro - Vol. X (2011): Editore CLEUP, Padova - ISBN: La dissomiglianza tra due distribuzioni normali Angela Maria D'Uggento Università degli Studi di Bari Aldo Moro, Macro Area Controllo strategico, analisi statistica e programmazione Francesco Girone Università degli Studi di Bari Aldo Moro, Dipartimento di Studi aziendali e giusprivatistici Riassunto: La presente nota si propone di illustrare il procedimento mediante il quale ottenere l espressione compatta dell indice di dissomiglianza di Gini come misura globale della distanza tra distribuzioni normali, di medie diverse e di varianze diverse. L applicazione dimostra come tale formula dell indice semplice di dissomiglianza per distribuzioni normali sia di agevolissimo calcolo. Keywords: indice di dissomiglianza, distribuzione normale I paragrafi 1 e 2 sono dovuti a F. Girone e i paragrafi 3 e 4 ad A.M. D'Uggento. Autore di riferimento: Angela M. D Uggento, Università degli studi di Bari Aldo Moro, Palazzo Ateneo, p.za Umberto I, Bari;

2

3 D Uggento A.M., Girone F. La dissomiglianza tra due distribuzioni normali PREMESSA Gini (1914) ha proposto come misura della divergenza tra due distribuzioni l indice semplice di dissomiglianza. Tale indice è pari alla media delle differenze in valore assoluto tra modalità cograduate o anche all area contenuta tra le corrispondenti funzioni di ripartizione (Girone, 2009). Nel caso di caratteri continui, pertanto, l indice di dissomiglianza è pari all integrale della differenza in valore assoluto tra le due funzioni di ripartizione. Il pregio dell'indice di dissomiglianza sta nel fatto che esso è una misura globale della divergenza tra due distribuzioni che considera la totalità degli aspetti (medie, variabilità, forma ecc.) e, come tale, può essere utilizzato per misurare la distanza tra distribuzioni, godendo delle tre proprietà della distanza. In questa nota ci proponiamo di ottenere una formula chiusa dell indice di dissomiglianza nel caso di due distribuzioni normali di medie diverse e di varianze diverse. 2. DEFINIZIONI Siano X₁ e X₂ due caratteri distribuiti normalmente con medie µ₁ e µ₂ e varianze σ₁² e σ₂² e quindi con funzioni di densità definite su tutto l asse reale ₁ σ₁² σ₁ 2π e σ ² σ 2π e funzioni di ripartizione σ₁ 2

4 46 Annali del Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi, Vol. X (2011) e 1 σ. L indice semplice di dissomiglianza di Gini è dato dalla seguente formula: X X Non è facile ottenere il valore di tale indice sia per la presenza di quattro parametri che per la presenza del valore assoluto. Possiamo traslare le due funzioni di ripartizione in maniera da porre uguale a 0 la media più piccola, denominando la differenza tra la più grande e la più piccola con µ= µ₂ - µ₁. Questa traslazione lascia invariato l indice di dissomiglianza. Possiamo, poi, trasformare le due variabili dividendole per lo scarto quadratico medio più piccolo, in maniera da rendere unitario tale scarto quadratico medio più piccolo e indicare semplicemente il rapporto tra lo scarto quadratico medio più grande a quello più piccolo con /. Anche tale trasformazione lascia invariato l'indice di dissomiglianza. Con le suddette trasformazioni le due variabili normali hanno medie 0 e µ e varianze 1 e σ². L indice di dissomiglianza, utilizzando le variabili trasformate, quindi, dipende solo da detti due parametri. Le funzioni di ripartizione delle variabili trasformate sono: 1 e 1 σ È facile dimostrare che esse hanno il solo punto di intersezione per = a sinistra del quale F(x) G(x) e a destra del quale F(x) G(x). L indice di dissomiglianza X X si può spezzare eliminando il valore assoluto X X.

5 D Uggento A.M., Girone F. La dissomiglianza tra due distribuzioni normali 47 Con semplici artifici di calcolo abbiamo ottenuto il risultato X X [1]. La suddetta funzione, in termini di µ e σ, è rappresentata graficamente nella Fig.1 dalla quale emerge chiaramente che l indice semplice di dissomiglianza per due distribuzioni normali cresce al crescere di µ, ossia al crescere della differenza delle medie e al crescere di σ, ossia al crescere del rapporto tra i due scarti quadratici medi. Figura 1. Indice semplice di dissomiglianza tra due distribuzioni normali di medie 0 e µ e s.q.m. 1 e σ. 3. APPLICAZIONE La formula proposta nel presente lavoro consente di calcolare l indice semplice di dissomiglianza per due distribuzioni normali. Per una sua applicazione sono stati utilizzati i dati delle stature osservate su 172 studenti universitari, di cui 94 maschi e 78 femmine (Tab.1).

6 48 Annali del Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi, Vol. X (2011) Tabella 1. Stature osservate su 172 studenti universitari, per sesso Stature (cm) Maschi Femmine Stature (cm) Maschi Femmine Totale Medie 178,70 165, s.q.m. 7,65 6,51 Indichiamo con N=3.666 il minimo comune multiplo tra il numero dei maschi e quello delle femmine e con e con, per i=1,2,,n, le graduatorie ampliate, ossia moltiplicate per.. 39 e 47, rispet- tivamente per i maschi e per le femmine. L indice di dissomiglianza delle due distribuzioni, calcolato utilizzando la media delle differenze in valore assoluto tra osservazioni cograduate, risulta: ,53.

7 D Uggento A.M., Girone F. La dissomiglianza tra due distribuzioni normali 49 Atteso che la distribuzione delle stature in gruppi omogenei è approssimativamente normale, abbiamo sostituito alle distribuzioni empiriche le curve normali con medie e varianze stimate rispettivamente per gli studenti e per le studentesse: 178,70, 165,17 e 7,65, 6,51. La differenza delle medie risulta 178,70 165,17 13,53, il rapporto tra gli scarti quadratici medi risulta 7,65 6,51 1,175. Possiamo applicare, pertanto, la formula [1] dell'indice di dissomiglianza tra due distribuzioni normali ricavata nel paragrafo precedente: , Figura 2. Funzioni di ripartizione empiriche e teoriche delle distribuzioni delle stature di 94 studenti e 78 studentesse universitari.

8 50 Annali del Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi, Vol. X (2011) L'identità dei risultati consente di fare le seguenti considerazioni: - le osservazioni delle stature per i maschi e per le femmine sono ben rappresentate dalle curve normali, la qual cosa viene confermata dalla vicinanza dalle funzioni di ripartizione empiriche e teoriche rappresentate nella Fig.2; - il calcolo dell'indice di dissomiglianza risulta più agevole laddove si utilizzi la formula [1]; - il contributo all'indice di dissomiglianza è dovuto principalmente alla differenza delle medie e non alla differenza tra gli scarti quadratici medi. 4. CONSIDERAZIONI FINALI In questa nota abbiamo ottenuto l espressione in forma compatta dell indice di dissomiglianza per due variabili normali con medie e varianze diverse. Il risultato si rivela particolarmente utile quando, in varie discipline (indagini sociali, indagini di marketing, analisi dei gruppi ecc.), occorre stratificare un collettivo senza voler privilegiare i singoli aspetti (medie, variabilità, asimmetria ecc.) ma tenendo conto della distanza globale tra le distribuzioni stesse. Può essere interessante, infatti, usare il risultato dell indice di dissomiglianza globale tra le coppie di distribuzioni normali delle variabili oggetto di studio quale criterio di selezione e aggregazione delle unità statistiche. BIBLIOGRAFIA GINI C. (1914) Di una misura della dissomiglianza tra due gruppi di quantità e delle sue applicazioni allo studio delle relazioni statistiche, Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Venezia. GIRONE G. (2009) Statistica, Cacucci Editore, Bari.

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 5-Indici di variabilità (vers. 1.0c, 20 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

Misure della dispersione o della variabilità

Misure della dispersione o della variabilità QUARTA UNITA Misure della dispersione o della variabilità Abbiamo visto che un punteggio di per sé non ha alcun significato e lo acquista solo quando è posto a confronto con altri punteggi o con una statistica.

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

Statistica. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it

Statistica. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 16 Outline 1 () Statistica 2 / 16 Outline 1 2 () Statistica 2 / 16 Outline 1 2 () Statistica 2 / 16

Dettagli

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale)

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale) Esercizio 1. Un azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose, indipendentemente l una dall altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla produzione

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica Un po di statistica Christian Ferrari Laboratorio di Matematica 1 Introduzione La statistica è una parte della matematica applicata che si occupa della raccolta, dell analisi e dell interpretazione di

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Capitolo 6. Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico

Capitolo 6. Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico Capitolo 6 Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico Esercizio 6.1 Dopo aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la formula per il calcolo della media si semplifica,

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata. Prof. Massimo Aria

Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata. Prof. Massimo Aria Lezione 6: Forma di distribuzione Corso di Statistica Facoltà di Economia Università della Basilicata Prof. Massimo Aria aria@unina.it Standardizzazione di una variabile Standardizzare una variabile statistica

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stima puntuale per la proporzione Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Metodologia per l analisi dei dati sperimentali L analisi di studi con variabili di risposta multiple: Regressione multipla

Metodologia per l analisi dei dati sperimentali L analisi di studi con variabili di risposta multiple: Regressione multipla Il metodo della regressione può essere esteso dal caso in cui si considera la variabilità della risposta della y in relazione ad una sola variabile indipendente X ad una situazione più generale in cui

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia Lezione 2: Analisi descrittiva dei dati

Statistica Applicata all edilizia Lezione 2: Analisi descrittiva dei dati Lezione 2: Analisi descrittiva dei dati E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 1 marzo 2011 Prograa 1 Analisi grafica dei dati 2 Indici di posizione Indici di dispersione Il boxplot 3 4 Prograa Analisi grafica

Dettagli

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007 A STATISTICA (A-K) a.a. 007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 007 STESS N.O. RD 00 GORU N.O. RD 006 ) La distribuzione del numero degli occupati (valori x 000) in una provincia

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Corso di Psicometria Progredito

Corso di Psicometria Progredito Corso di Psicometria Progredito 3.1 Introduzione all inferenza statistica Prima Parte Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico 2013-2014

Dettagli

Capitolo 26: Il mercato del lavoro

Capitolo 26: Il mercato del lavoro Capitolo 26: Il mercato del lavoro 26.1: Introduzione In questo capitolo applichiamo l analisi della domanda e dell offerta ad un mercato che riveste particolare importanza: il mercato del lavoro. Utilizziamo

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Grafici delle distribuzioni di frequenza

Grafici delle distribuzioni di frequenza Grafici delle distribuzioni di frequenza L osservazione del grafico può far notare irregolarità o comportamenti anomali non direttamente osservabili sui dati; ad esempio errori di misurazione 1) Diagramma

Dettagli

Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica

Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Serie Storiche Trasformazioni e Aggiustamenti

Serie Storiche Trasformazioni e Aggiustamenti Serie Storiche Trasformazioni e Aggiustamenti Per facilitare l interpretazione dei dati, si ricorre spesso a trasformazione della serie originale. I principali tipi di aggiustamenti che consideriamo sono:.

Dettagli

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile Lenti sottili/1 La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

p atm 1. V B ; 2. T B ; 3. W A B 4. il calore specifico a volume costante c V

p atm 1. V B ; 2. T B ; 3. W A B 4. il calore specifico a volume costante c V 1 Esercizio (tratto dal Problema 13.4 del Mazzoldi 2) Un gas ideale compie un espansione adiabatica contro la pressione atmosferica, dallo stato A di coordinate, T A, p A (tutte note, con p A > ) allo

Dettagli

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. I Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 9 maggio 2013

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. I Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 9 maggio 2013 Politecnico di Milano - Scuola di Ineneria Industriale I Prova in Itinere di Statistica per Ineneria Eneretica 9 maio 013 c I diritti d autore sono riservati. Oni sfruttamento commerciale non autorizzato

Dettagli

Statistica inferenziale

Statistica inferenziale Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo

Dettagli

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 TEST D IPOTESI Partiamo da un esempio presente sul libro di testo.

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici Università degli Studi di Bari Aldo Moro Corso di Macroeconomia 2014 1. Assumete che = 10% e = 1. Usando la definizione di inflazione attesa

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso di Statistica medica e applicata Dott.ssa Donatella Cocca 1 a Lezione Cos'è la statistica? Come in tutta la ricerca scientifica sperimentale, anche nelle scienze mediche e biologiche è indispensabile

Dettagli

Titolo della lezione. Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza

Titolo della lezione. Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza Titolo della lezione Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza Introduzione Analisi univariata, bivariata, multivariata Analizzare le relazioni tra i caratteri, per cercare

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Anno Accademico 2010 2011 Rev 30/03/2011

Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Anno Accademico 2010 2011 Rev 30/03/2011 Università degli Studi di Padova Facoltà di Psicologia, L4, Psicometria, Modulo B Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Anno Accademico 2010 2011 Rev 30/03/2011 Statistica descrittiva e inferenziale

Dettagli

DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1

DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1 DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1 Marta Desimoni**, Daniela Pelagaggi**, Simona Fanini**, Loredana Romano**,Teresa Gloria Scalisi* * Dipartimento

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 14 marzo 2013 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2013.html IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1)

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento e distribuzione campionaria della media Corsi di laurea triennale di area tecnica -

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che Statistica Cognome: Laurea Triennale in Biologia Nome: 26 luglio 2012 Matricola: Tema A 1. Parte A 1.1. Sia x 1, x 2,..., x n un campione di n dati con media campionaria x e varianza campionaria s 2 x

Dettagli

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) 1 CONCETTI GENERALI Finora abbiamo descritto test di ipotesi finalizzati alla verifica di ipotesi sulla differenza tra parametri di due popolazioni

Dettagli

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Alfonso Iodice D Enza April 26, 2007 1...prima di cominciare Contare, operazione solitamente semplice, può diventare complicata se lo scopo

Dettagli

Metodi Matematici e Informatici per la Biologia----31 Maggio 2010

Metodi Matematici e Informatici per la Biologia----31 Maggio 2010 Metodi Matematici e Informatici per la Biologia----31 Maggio 2010 COMPITO 4 (3 CREDITI) Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI Gli esercizi che seguono sono di tre tipi: Domande Vero/Falso: cerchiate V o

Dettagli

Prof.ssa Paola Vicard

Prof.ssa Paola Vicard Questa nota consiste perlopiù nella traduzione da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 2000, University of Plymouth Consideriamo come esempio il data set contenuto nel foglio excel esercizio2_dati.xls.

Dettagli

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza.

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza. VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD Si definisce varianza campionaria l indice s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 n x 2) Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità... Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

LA STATISTICA NEI TEST INVALSI

LA STATISTICA NEI TEST INVALSI LA STATISTICA NEI TEST INVALSI 1 Prova Nazionale 2011 Osserva il grafico seguente che rappresenta la distribuzione percentuale di famiglie per numero di componenti, in base al censimento 2001. Qual è la

Dettagli

Appunti di complementi di matematica

Appunti di complementi di matematica Appunti di complementi di matematica UITA STATISTICA: è l unità su cui si raccolgono le informazioni oggetto dell indagine e possono essere individui, famiglie, oggetti. UIVERSO STATISTICO O POLAZIOE STATISTICA

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 3 A. Sia una variabile casuale che si distribuisce secondo

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 10-Il test t per un campione e la stima intervallare (vers. 1.1, 25 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,

Dettagli

Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica. Indici di Affidabilità

Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica. Indici di Affidabilità Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica Indici di Affidabilità L Attendibilità È il livello in cui una misura è libera da errore di misura È la proporzione di variabilità della misurazione

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

FONDO PENSIONE PER I DIRIGENTI IBM STIMA DELLA PENSIONE COMPLEMENTARE (PROGETTO ESEMPLIFICATIVO STANDARDIZZATO)

FONDO PENSIONE PER I DIRIGENTI IBM STIMA DELLA PENSIONE COMPLEMENTARE (PROGETTO ESEMPLIFICATIVO STANDARDIZZATO) FONDO PENSIONE PER I DIRIGENTI IBM Iscritto all Albo tenuto dalla Covip con il n. 1070 STIMA DELLA PENSIONE COMPLEMENTARE (PROGETTO ESEMPLIFICATIVO STANDARDIZZATO) (AGGIORNAMENTO DEL 19 DICEMBRE 2014)

Dettagli

19txtI_BORRA_2013 18/11/13 10:52 Pagina 449 TAVOLE STATISTICHE

19txtI_BORRA_2013 18/11/13 10:52 Pagina 449 TAVOLE STATISTICHE 19txtI_BORRA_2013 18/11/13 10:52 Pagina 449 TAVOLE STATISTICHE Nell inferenza è spesso richiesto il calcolo di alcuni valori critici o di alcune probabilità per le variabili casuali che sono state introdotte

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p. Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

Ottimizazione vincolata

Ottimizazione vincolata Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l

Dettagli

Secondo Rapporto sulla Previdenza Privata I giovani. A cura del centro studi AdEPP

Secondo Rapporto sulla Previdenza Privata I giovani. A cura del centro studi AdEPP Secondo Rapporto sulla Previdenza Privata I giovani A cura del centro studi AdEPP Il Centro Studi AdEPP All interno dell Associazione degli Enti di Previdenza Privati è operativo il Centro Studi AdEPP

Dettagli

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009 Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati nell A.S. 2008 2009 Presentazione a cura di Roberta Michelini Casalpusterlengo, 8 gennaio 2010 http://www.invalsi.it/esamidistato0809/

Dettagli

IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE.

IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. Lezione 5 Castellanza, 17 Ottobre 2007 2 Summary Il costo del capitale La relazione rischio/rendimento

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

Le scale di riduzione

Le scale di riduzione Le scale di riduzione Le dimensioni di un oggetto, quando sono troppo grandi perché siano riportate sul foglio da disegno, si riducono in scala. Scala 1 a 200 (si scrive 1 : 200) rappresenta una divisione.

Dettagli

2. GLI INTERNATIONAL STUDENT A MILANO: QUANTI SONO

2. GLI INTERNATIONAL STUDENT A MILANO: QUANTI SONO CAPITOLO 2 indagine QuAntitAtivA Maria Teresa Morana 1. INTRODUZIONE Gli studenti stranieri che decidono di studiare nel Comune di per un breve o lungo periodo possono scegliere tra i corsi di istruzione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Curriculum Vitae Antonella Nannavecchia. Esperienza professionale

Curriculum Vitae Antonella Nannavecchia. Esperienza professionale Curriculum Vitae Antonella Nannavecchia Esperienza professionale Date Anno Accademico 2012-2013 e 2013-2014 Lavoro o posizione ricoperti Docente a contratto per l insegnamento di Matematica Generale e

Dettagli