CENNI DI METODI STATISTICI

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Cornelio Mancini
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1 Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale CENNI DI METODI STATISTICI Docente: Page 1

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4 Due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non influisce sulla probabilità di accadimento dell altro. P( A e B) = P( A) xp( B) ovvero: P( E e E e E e E ) = P( E ) n n i = 1 i Due eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno influisce sulla probabilità di accadimento dell altro P ( A e B ) P ( A / B ) = e P ( B / A ) = P ( B ) P ( A e B ) P ( A ) P( A e B) = P( A) P( B / A) = P( B) P( A / B) Page 4

P( A e B) = P( A) xp( B) ovvero: P( E e E e E e E ) = P( E ) 1 2 3 n n i = 1 i Due eventi si dicono

5 Grandezze tipiche in analisi statistica Funzione di Distribuzione Cumulativa Una Funzione di Distribuzione Cumulativa, F(t), è definita come la probabilità che una variabile stocastica, T, assuma un valore inferiore od uguale ad un certo valore specifico t. Probabilità che un componente o sistema si guasti al di là di un certo tempo t F( t) = P( T t) 0 F( t) 1 F( t): monotona crescente funzione di densità di probabilità f ( t ) = d t F( t) + f ( u) du = 1 f ( t) 0 d t F( t) = f ( u) du P( t T t ) = f ( u) du 1 2 t2 t1 Page 5

Probabilità che un componente o sistema si guasti al di là di un certo tempo t F( t) = P( T t) 0 F( t) 1 F( t): monotona crescente

6 Media In statistica la media è un insieme di indicatori di posizione, anche se spesso con questo termine si intende la media aritmetica. Si hanno ad esempio: la media aritmetica, la media geometrica, la media armonica, la media di potenza ecc. x = µ = 1 n n i= 1 x µ = b 1 a b a f ( x) dx Page 6

Si hanno ad esempio: la media aritmetica, la media geometrica, la media

7 Mediana In statistica descrittiva, data una distribuzione X di un carattere quantitativo oppure qualitativo ordinabile (ovvero le cui modalità possano essere ordinate in base a qualche criterio), si definisce la mediana come il valore/modalità (o l'insieme di valori/modalità) assunto dalle unità statistiche che si trovano nel mezzo della distribuzione. Me f ( x) dx = 0,5 Page 7

qualche criterio), si definisce la mediana come il valore/modalità (o l'insieme di

8 Moda In statistica, la moda o norma di una distribuzione è la modalità (o la classe di modalità) caratterizzata dalla massima frequenza e viene spesso rappresentata con la simbologia ν0. In altre parole, è il valore che compare più frequentemente Page 8

frequenza e viene spesso rappresentata con la simbologia ν0.

9 Varianza La varianza è un indice di dispersione che serve per descrivere sinteticamente una distribuzione statistica quantitativa, e, in modo particolare, la misura con la quale i suoi valori sono distanti da un valore centrale. σ 2 1 = n ( x µ ) i n i= 1 2 Page 9

quantitativa, e, in modo particolare, la misura con la quale i

10 Deviazione standard La deviazione standard o scarto quadratico medio è un indice di dispersione (vale a dire una misura di variabilità di una popolazione o di una variabile casuale) derivato direttamente dalla varianza, ha la stessa unità di misura dei valori osservati (mentre la varianza ha come unità di misura il quadrato dell'unità di misura dei valori di riferimento). La deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al valore atteso. Page 10

stessa unità di misura dei valori osservati (mentre la varianza ha come unità di misura il quadrato dell'unità di

11 Alberi di probabilità e distribuzioni Page 11

12 Distribuzione Binomiale : rappresenta processi stocastici i cui risultati sono ripetitivi, indipendenti e a due sole alternative per selezione (processi dicotomici) la cui probabilità di occorrenza rimane costante (processi bernoulliani ). n P r r p r p n r ( ) = ( ), 1 r = 0,1,2, n dove: n n = Cr = r n! ( n r)! r! Page 12

dicotomici) la cui probabilità di occorrenza rimane costante (processi

13 Distribuzione Binomiale : Esempio di sistema di trasporto con probabilità di incidente del 10% per viaggio. Caso 1: Probabilità di due viaggi Caso 2: Probabilità su 10 viaggi P(0 incid.) = 0.81 P(1 incid.) = 0.18 P(2 incid.) = P(0 incid.) = P(1 incid.) = P(2 incid.) = P(3 incid.) = P(4 incid.) = P(5 incid.) = P(5 incid.) = P(6 incid.) = P(7 incid) P(8 incid)... P(10 incid) 0 Page 13

) = 0.01.9.1.9.1.9.1.81.09.9.09.01 P(0 incid.) = 0.3487 P(1 incid.) = 0.3874 P(2 incid.) = 0.1937 P(3 incid.) = 0.0574 P(4 incid.

14 Distribuzione di Poisson : si applica, come la distribuzione binomiale, a processi dicotomici, stazionari ed indipendenti, per i quali non si considera (perché nonmisurabile od illogico) l evento di non-occorrenza. P( r) µ r µ e = con r = r! 0, 1, 2, 3, r = numero di eventi nel tempo di esposizione μ = λ t; λ = valore medio di eventi per unità di tempo; t = tempo di esposizione Page 14

evento di non-occorrenza. P( r) µ r µ e = con r = r!

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17 Distribuzioni Collegate alla distribuzione esponenziale: Gamma, Γ POLITECNICO DI MILANO Quando r è un intero, la distribuzione gamma è il risultato della somma di r variabili casuali esponenziali indipendenti e identicamente distribuite, ciascuna di parametro λ Page 17

è il risultato della somma di r variabili casuali esponenziali

18 Distribuzioni Collegate alla distribuzione esponenziale: Weibull POLITECNICO DI MILANO Quando β = 1, la distribuzione Weibull si reduce alla distribuzione esponenziale. Page 18

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20 Distribuzioni Collegate alla Normale: Distribuzione Log-normale POLITECNICO DI MILANO La distribuzione log-normale, rappresenta la trasformata logaritmica della distribuzione normale relativamente alla variabile t. 1 f ( t) = exp 1 / 2 ln x 2 xσ 2π x = variabile aleatoria [( µ ) ] 1 σ 1 μ 1 = media del logaritmo della variabile x σ 1 = deviazione standard del logaritmo di x E (x) = Media E( x) = exp( µ + 1 2σ ) V (x) = Varianza 2 σ V( x) = exp( 2µ + σ ) ( e 1) 2 Page 20

1 f ( t) = exp 1 / 2 ln x 2 xσ 2π x = variabile aleatoria [( µ ) ] 1 σ 1 μ 1 = media del logaritmo della variabile x σ 1

21 Distribuzioni Collegate alla Normale: χ 2 Page 21

22 Distribuzioni Collegate alla Normale: T di Student Page 22

23 Distribuzioni Collegate alla Normale: F Page 23

24 Cenni di Algebra Booleana Un supporto fondamentale alla comprensione dei principi dell algebra booleana sono i diagrammi di Venn, che sono una forma di rappresentazione graficageometrica degli insiemi di eventi e delle loro probabilità. C A B Figura 1. Diagramma di Venn Page 24

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27 Grazie per la Vostra attenzione Page 27

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