STATISTICA PER L INNOVAZIONE

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Serafina Miele
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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE D.I.A.S. STATISTICA PER L INNOVAZIONE a.a. 2007/2008 TRASFORMAZIONI DI VARIABILI ALEATORIE TVE: Gumel dei valori minimi Modello Weiull Pro. Antonio Lanzotti A cura di: Ing. Andrea Colini [email protected]

a. 2007/2008 TRASFORMAZIONI DI VARIABILI ALEATORIE TVE: Gumel dei valori

2 Trasormazioni di Variaili Aleatorie Una variaile casuale può essere trasormata mediante una unzione g( ) per deinire una nuova variaile casuale g() detta Trasormata della Questa relazione esprime il atto che, quando la v.a. assume il valore x la v.a. assumerà il valore y g(x) Indicando con: (x) la unzione densità di proailità (pd) della v.a. la unzione densità di proailità (pd) della v.a., (y) verrà determinata dalla trasormazione g( ) e dalla densità (x) di

a. assumerà il valore y g(x) Indicando con: (x) la unzione densità di proailità (pd) della v.a. la unzione densità di proailità (pd) della v.a., (y) verrà determinata dalla trasormazione g( ) e dalla densità (x) di

3 Variaili aleatorie Discrete Se è una variaile aleatoria discreta con punti di massa allora la distriuzione di g( ) si determina direttamente dalle leggi di proailità x ( x) x2 ( x2)... x ( x ) n n x, x2,..., xn I valori possiili di vengono determinati sostituendo i diversi valori di in g( ) ESEMPIO: () Pr{ } 2 (2) Pr{ 2} 3 (3) Pr{ 3} 4 (4) Pr{ 4} 5 (5) Pr{ 5} () Pr{ } g( ) ( ) { } { } (0) Pr 0 Pr 2 (2) 2 () () + (3) + (4) (4) (9) (5) () ()

.., xn I valori possiili di vengono determinati sostituendo i diversi valori di in g( ) ESEMPIO: () Pr{ } 2 (2)

4 Variaili aleatorie Continue () Supponendo che la g( ) sia tale da stailire una corrispondenza iunivoca tra e avremo due possiili situazioni: g( ) strettamente crescente L evento E { y} si veriica quando si veriica E 0 { x}; risultando così uguali le relative proailità: Pr { y} F (y) Pr { x} F (x); x g (y) Da cui derivando rispetto a y, otteniamo la corrispondente densità della : ( y) ( x) ; > 0 g( ) strettamente decrescente L evento E { y} si veriica quando si veriica E 0 { > x}; risultando così: Pr { y} F (y) Pr { > x} F (x); x g (y) Da cui derivando rispetto a y, otteniamo la pd di : dx dy dx dy ( ) ( ) ; < 0 y x dx dy dx dy

derivando rispetto a y, otteniamo la corrispondente densità della : ( y) ( x) ; > 0 g( ) strettamente decrescente L evento E { y} si veriica quando si veriica

5 Variaili aleatorie Continue (2) Unendo i due risultati precedenti otteniamo: dx ( y) ( x) dy *Sempre nell ipotesi in cui g( ) stailisca una corrispondenza iunivoca tra e Dove: { : ( ) 0} x x > g ( y) è la unzione inversa di gx ( ) dx d g y dy dy ( ( )) è continua e diversa da zero

una corrispondenza iunivoca tra e Dove: { : ( ) 0} x x > g ( y) è la

6 Esempio Ex: Supponiamo che aia una distriuzione Esponenziale. 2 Qual è la distriuzione di? ( x) λ exp( λx) quando x 0 0 altrove Poiché: x y /2 dx dy 2 y (/ 2) Segue: dx ( y) x y λexp( λ y) y dy 2 deinita ovviamente per y 0 (/ 2)

7 v.a. Continue GUMBEL DEI VALORI MINIMI a+ ln( λ ) Supponiamo che aia una distriuzione Esponenziale. Qual è la distriuzione di? La v.a. risultante è detta Gumel dei valori minimi ed ha Cd: ( x) λ exp( λx) quando x 0 F ( x) exp( λx) y a ln( x) x exp y λ a λ dx d g y y a exp dy dy λ ( ( )) y a y a y a y a ( y) x exp exp exp exp λ λ y y a F( y) ( y) dy exp exp 0 < x <, β > 0

8 v.a. Continue WEIBULL Supponiamo che aia una distriuzione Gumel dei valori minimi. Qual è la distriuzione di exp[ ]? x a x a ( x) exp exp y exp( x) x ln( y) F x a ( x) exp exp < x < dx d( g ( y)) dy dy y ln( y) a ln( y) a ( y) [ x ln( y) ] exp exp y β β y y ( y) exp α α α β β, α exp( a)

x a x a ( x) exp exp y exp( x) x ln( y) F x a ( x) exp exp < x < dx d(

9 Modello Weiull La trasormazione generalmente indicata con W e Z m Della v.a. Gumel Z m dei valori minimi, deinisce la v.a. Weiull W. Il parametro α è detto di posizione e β di orma (per β la Weiull coincide con l Esponenziale) β β y y ( y) exp α α α β β, α exp( a)

Il parametro α è detto di posizione e β di orma (per β la Weiull

10 Modello Weiull α parametro di posizione β parametro di orma y F( y) ( y) dy exp 0 y α β L ampia gamma di orme della pd garantite dal parametro β ha garantito l enorme successo di tale modello, soprattutto in campo aidailistico. β β y y ( y) exp α α α β β, α exp( a)

dal parametro β ha garantito l enorme successo di tale modello,

11 Modello Weiull - Applicazioni La Weiull è un modello matematico molto utilizzato in studi di interesse aidailistico, inatti permette di descrivere tutti i tratti della curva a vasca da agno che caratterizza la vita di un componente, a seconda del valore del suo parametro di orma : 0 < β < β β > il meccanismo di guasto del processo è dovuto a dietti di aricazione; il meccanismo di guasto del processo è dovuto a dietti randomici o accidentali; il meccanismo di guasto del processo è dovuto ad usura. Tasso decrescente Tasso costante Tasso crescente Densità di rischio (di guasto) Guasti inantili Densità di rischio osservata Guasti randomici Guasti per usura Vita operativa [tempo]

dovuto a dietti di aricazione; il meccanismo di guasto del processo è dovuto a dietti randomici o accidentali; il meccanismo di guasto del processo è dovuto ad usura.

12 Rierimenti sul Liro Pasquale Erto Proailità e statistica per le scienze e l ingegneria McGraw Hill seconda edizione Capitolo 3 Trasormazioni di variaili aleatorie 3.5 pagg Metodo dei minimi quadrati 3.9. pagg Capitolo 5 Modelli Gumel e Weiull 5.2. pagg Capitolo 9 Metodo dei graici di proailità 9..3 pagg

aleatorie 3.5 pagg. 55-3 Metodo dei minimi quadrati 3.9. pagg. 70-73 Capitolo 5 Modelli Gumel e Weiull 5.

13 Per eventuali comunicazioni: Orario di ricevimento: Giovedì ore :30-8:30 P.le Tecchio piano Stanza Dottorandi DIAS

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