Funzioni composte pag 1 Adolfo Scimone

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1 Funzioni composte pa 1 Adolo Scimone Appunti elaborati dalle lezioni del Pro. Boieri PROPRIETA' DELLE FUNZIONI La unzione composta Consideriamo due unzioni e di variabile reale e indichiamo : A = dom B = im C = dom D = im Voliamo studiare la possibilità di costruire la unzione composta di e. Possiamo porre il problema nei seuenti termini : Supponiamo di considerare un elemento x d om, voliamo vedere se è possibile calcolare la unzione (x) x ( x) e poi calcolare dal valore così ottenuto ottenendo un nuovo numero reale. Ciò può essere possibile oppure no. Nel caso in cui è possibile, risulta deinita una nuova unzione che opera da A a D che è la composizione di e di ; Questa nuova unzione viene indicata con ( composta con ) Assenato x nel dominio di si ha quindi per deinizione ( )( x) = ( x) ( ) Si applica la x ad e sul risultato ottenuto si applica. Indichiamo con x l'elemento di A, (x) è l'immaine di x che chiamiamo y ; ad y applichiamo la unzione e indichiamo con z = ( y) l'immaine di y. Otteniamo : x y = ( x) z = ( y) Esempio 1 - Determinare la unzione composta di ( x) = x + 1 e ( y) = y Consideriamo alcuni punti nel dominio di ad esempio, 1, 0, 1, per onuno di essi calcoliamo (x) ottenendo così i numeri 1, 0, 1,, 3. Calcoliamo inine il valore di in questi punti. Riassumiamo i passai in un unico quadro tale che ad x corrisponda ( )( x). Avremo la tabella x (x) (x) ((x)) x ( )( x)

2 Funzioni composte pa Adolo Scimone Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 1 Il procedimento visto si può applicare ad oni punto x del dominio di. Calcoliamo prima ( x) ; otteniamo y = x +1, a questo numero applichiamo la unzione. Si ha : z = ( y) = y = ( x + 1 ) Abbiamo quindi una unzione che ad x associa ( x +1) x ( x + 1) ( x + 1) L'eetto lobale è quello di passare da x ( x + 1) La unzione composta sarà ( )( x) = ( x + 1) I raici di, di e di sono

3 Funzioni composte pa 3 Adolo Scimone Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. Studiamo il dominio e l'immaine delle tre unzioni, e. Per la unzione si ha A = d om = R B = im = R Per la unzione si ha C = d om = R [ 0, [ D = im = + Vediamo il dominio della unzione composta e la sua immaine. Si parte da un x reale enerico, tramite la si arriva ad un enerico valore reale, a partire da questo valore calcoliamo la. Il risultato è un numero reale al quadrato, cioè [ 0,+ [. Per cui avremo : dom ( ) = R che coincide con A, mentre im ( 0,+ che coincide con D. L'operazione di calcolo di e poi di è quindi eseuibile senza limitazioni. ) = [ [ Esempio - Determinare la unzione composta di ( x) = x e ( y) = y + 1 Avremo x y = x z = x + 1 ( z = ( y) = y + 1= x + 1) per cui ( )(x) si ottiene partendo da x, calcolando x e, sostituendo al posto di y x otteniamo ( )( x) = x + 1

4 Funzioni composte pa 4 Adolo Scimone Si ha A = dom = R 0,+ C = dom = R B = im = [ [ Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 3 D = im = R La ha come dominio R e come immaine [ 0,+ [, mentre la ha come dominio R e come immaine R. Partendo da un x reale, applichiamo, calcolando il quadrato otteniamo un x non neativo ; ci chiediamo se è possibile applicare la nuova operazione : ciò è possibile perché [ 0,+ [ R. Si ha quindi dom ( ) = R e im( che non coincide con D. ) = [ 1,+ [ Notiamo che nell'esempio )sono composte le stesse unzioni dell'esempio 1) ma in ordine inverso : Si ottenono come risultati due unzioni diverse. Vale quindi la seuente Proposizione 1 - La composizione di unzioni non è operazione commutativa. Il risultato dipende, in enerale, dall'ordine in cui sono applicate le unzioni. Esempio 3 - Studiare la composizione delle unzioni ( x) = x + 5 ( y) = 1 y Si ha A = dom = R

5 Funzioni composte pa 5 Adolo Scimone B = im =R C = dom = R \ { 0} D = im = R \ { 0} Inoltre 1 x y = x + 5 z = x + 5 Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 4 Se, dopo aver calcolato, voliamo applicare, ci troviamo di ronte ad una diicoltà, per x = 5 non si può applicare la perché x = 5 ha come immaine, tramite il punto y = 0, nel quale la unzione non è deinita. Quindi è impossibile calcolare ( ( 5 )), mentre in tutti li altri punti non ci sono problemi. La unzione composta 1 ( )( x) = x + 5 risulta deinita in R \ { 5 } ed a valori in R \ { 0} Esempio 4 - Studiare la unzione composta di ( x) = x + x 3 e di ( y) = y. Utilizzando il completamento dei quadrati, possiamo scrivere la unzione nella orma : ( x) = x + x 3 = ( x x + 1 1) 3 = ( x x + 1) cioè ( x) = ( x 1) Il raico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice nel punto ( 1, ) e asse la retta x = 1. Il dominio di è R e l'immaine è ], ]. Risulta quindi : A = dom = R, B = im = ] ] C = dom = [ 0,+ [ D = im = [ 0,+ [ - 1

6 Funzioni composte pa 6 Adolo Scimone Pertanto non si può deinire la unzione composta in nessun punto di A : la ornisce solo valori strettamente neativi, di cui non si può calcolare la radice quadrata. x y = ( x 1) z = ( x 1) Gli esempi trattati ponono alcuni problemi : i)quali condizioni devono soddisare e ainché sia possibile deinire la unzione composta Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 5 ii) Se è deinita la unzione composta, quali sono le relazioni tra il dominio e l'immaine di e di e il dominio dell'immaine di. Dali esempi visti, la condizione che ci permette di calcolare la unzione composta in un punto x 0 ( x 0 dom) è che partendo da un x 0 si arriva ad un valore ( x0 ) che sta nell'immaine di, che deve appartenere al dominio di. La condizione è quella che l'insieme S = im dom. Supponiamo di avere assenata la unzione dom im e la unzione dom im

7 Funzioni composte pa 7 Adolo Scimone im im dom dom im Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 6 La ha come immaine un insieme che è incluso nel dominio di, cioè su tutti i valori ottenuti come im, possiamo calcolare la unzione. im dom Applicando la all'immaine di otteniamo un sottoinsieme di im. L'operazione di composizione, in questo caso è sempre possibile e il risultato dell'operazione è un sottoinsieme di im. Nel caso seuente (es.3) si ha im im dom dom im Partendo dal dom vediamo che im dom ma non coincide con B = im, vi sono dei punti da cui non si può proseuire e dei punti da cui si può proseuire, si può applicare la sui punti che sono contemporaneamente nell'immaine di e nel dominio di. Otterremo quindi im ( )

8 Funzioni composte pa 8 Adolo Scimone per cui è possibile l'operazione di composizione. Nel caso seuente im dom im dom Si ha im dom = Gli insiemi im e dom sono disiunti, non esiste nessun punto x nel dominio di su cui possiamo calcolare la, arrivare su un punto su cui applicare la e arrivare su un punto di im. Quindi, il dominio della unzione composta è un sottoinsieme di A (dom ), esso coincide con l'insieme dei punti di A su cui assume valori contenuti in S = im dom L'immaine della unzione composta è invece il sottoinsieme D = im costituito dai punti che sono immaine di un elemento di S tramite. Possiamo concludere con la seuente : Proposizione - La unzione composta è deinita se e solo se S = im dom Il suo dominio è il sottoinsieme di A = im costituito da tutti i punti in cui assume valori contenuti in S = im dom ; la sua immaine è il sottoinsieme deli elementi di D = im ottenuti tramite a partire da S. Osservazione : Esaminiamo li esempi visti alla luce di quanto detto. Nell'esempio 1 : ( x) = x + 1 :R R y y : R 0, + risulta im dom = im, per cui il dominio della unzione composta coincide con dom. Essendo im = dom ( ) = [ [ l'immaine della unzione composta coincide con im = [ 0, + [. Si ha

9 Funzioni composte pa 9 Adolo Scimone dom( ) = R im( 0,+ Nell'esempio risulta ) = [ [ Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 8 im dom im = = [ 0,+ [ per cui dom( ) = R = dom In questo caso S 0,+ è un sottoinsieme proprio di dom = R. L'immaine della unzione composta è l'insieme in cui viene trasormato S mediante la. Si ha im( ) = [ 1,+ [ Nell'esempio 3 : ( x) = x + 5 :R R = im =[ [ ( y) = 1 : R \ { 0} R \ { 0} y S = im dom è un sottoinsieme proprio di B = im. Il dominio della unzione è ormato da quei punti che hanno come immaine S. Dobbiamo escludere da A = = dom i punti tali che ( x) = 0, cioè x 0 = 5. Poiché S coincide con C = = dom = R \ { 0 }, l'immaine di coincide con im = R \ { 0 }.

10 Funzioni composte pa 10 Adolo Scimone Nell'esempio 4 S = e quindi non è possibile deinire. Adolo Scimone anno scolastico 1997/98 pa. 9