f il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f).

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1 Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia. Classe 5A - Anno Scolastico 2014/ Prof. Simone Alghisi 1 Le funzioni (1.1) Denizione Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B é una legge che ad ogni elemento x A associa uno ed un solo elemento y B. Solitamente, la variabile x é detta variabile indipendente mentre la y é la variabile dipendente. Chiamiamo immagine di x A l'elemento y = f(x) B associato ad x tramite la funzione f. Chiamiamo controimmagine di y B l'elemento x A che ha come immagine, tramite la funzione f, l'elemento y = f(x) B. (1.2) Denizione Siano A e B due insiemi e f : A B una funzione. Chiamiamo dominio di f il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f). Chiamiamo codominio di f l'insieme f(a) B costituito da tutte le immagini di x A tramite la funzione f, cioè f(a) = {y B : ( x A : f(x) = y)}. Per denizione, ogni x A ha la propria immagine in uno ed un solo elemento y B. Tuttavia, non è vero il viceversa, ovvero non è detto che ogni elemento y B abbia una controimmagine in A. Possono esistere quindi elementi di B che non sono immagini di alcun elemento di A. In generale, dunque, si ha f(a) B, cioè il codominio della funzione f è un sottoinsieme proprio di B 1. (1.3) Esempio Sia f : R R la funzione denita da f(x) = x 2. L'immagine di tale funzione é l'intervallo [0; + [. Il dominio é dom (f) = R. (1.4) Esempio Si consideri la funzione g : Z Z denita da g(x) = x Risulta dom (g) = Z. Ogni coppia di numeri opposti ha, tramite la funzione g, la stessa immagine in Z e quindi il codominio f(z) è un particolare sottoinsieme di Z formato da numeri interi maggiori di 1. Pertanto si ha f(z) Z. (1.5) Denizione Sia f : A B una funzione. Chiamiamo graco della funzione f il sottoinsieme G f di A B delle coppie ordinate (a; b) con a A e b B tali che b = f(a). 1 Questa è la terminologia utilizzata da molti autori (e anche da noi). Altri autori indicano come codominio l'insieme B e f(a) è detto immagine di A mediante f. 1

2 Pertanto G f = {(a; b) A B : b = f(a), a A}. Due funzioni f : A B e g : C D sono uguali se A = C, B = D e f(x) = g(x) per ogni x A. Ad esempio, le funzioni f(x) = ln x 2 e g(x) = 2 ln x non sono uguali perchè dom (f) = R \ {0} mentre dom (g) =]0; + [. Le funzioni F (x) = ln x 2 e G(x) = 2 ln x sono uguali. Le funzioni h(x) = x e k(x) = ( x) 2 non sono uguali, poichè dom (h) = R e dom (k) = [0; + [. Anche le funzioni H(x) = x e K(x) = e ln x non sono uguali perchè hanno domini dierenti (si ricordi che per x > 0 si ha x = e ln x ). (1.6) Denizione Siano A e B due insiemi non vuoti e f : A B una funzione. Diciamo che f é: iniettiva se per ogni x 1, x 2 A con f(x 1 ) = f(x 2 ) si ha necessariamente che x 1 = x 2 ; suriettiva se f(a) = B; biiettiva se f é iniettiva e suriettiva. (1.7) Denizione Siano D R e f : D R una funzione. Diciamo che f è pari se dispari se x D : x D e f( x) = f(x). x D : x D e f( x) = f(x). (1.8) Denizione Sia f : A B una funzione. Diciamo che f è crescente in A se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 risulta f(x 1 ) f(x 2 ); strettamente crescente in A se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 risulta f(x 1 ) < f(x 2 ); decrescente in A se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 risulta f(x 1 ) f(x 2 ); strettamente decrescente in A se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 risulta f(x 1 ) > f(x 2 ). (1.9) Denizione Siano f : A B e g : C D due funzioni con f(a) C. Chiamiamo funzione composta di f e g la funzione h : A D che fa corrispondere ad ogni elemento x A l'elemento g(f(x)) D. La funzione composta viene indicata con g f (e si legge g composto f). 2

3 (1.10) Esempio Si considerino le funzioni f : R R e g : R R denite da f(x) = x e g(x) = e 6x. Allora (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 + 7) = e 6(x2 +7) = e 6x (f g)(x) = f(g(x)) = f(e 6x ) = ( e 6x) = e 12x + 7. Si noti che in generale f g g f. (1.11) Denizione Una funzione f : A R é periodica (di periodo T > 0) se per ogni x A si ha (x + T ) A e f(x + T ) = f(x). Il più piccolo numero positivo per cui vale la precedente relazione è detto periodo principale (o periodo minimo). (1.12) Osservazione La funzione f(x) = A sin(ωx + k) con A, ω, k R e ω > 0, ha come periodo minimo T = 2π ω. La funzione contenuta nell'osservazione (1.12) è molto importante in Fisica. La funzione f(x) = A sin(ωx + k) è detta armonica di ampiezza A, pulsazione ω e fase iniziale k. Non esistono purtroppo regole generali per la determinazione del periodo di funzioni ottenute mediante somma e/o dierenza di altre funzioni periodiche. Possiamo dire che valgono almeno i seguenti accorgimenti: (a) se una funzione f(x) è periodica di periodo p la funzione f(kx), con k 0, è periodica di periodo p/ k ; (b) se due funzioni f(x) e g(x) sono periodiche di periodi diversi p 1 e p 2, le funzioni f(x) + g(x), f(x) g(x) e f(x)/g(x) sono periodiche di periodo p = mp 1 = np 2 se e solo se p 1 /p 2 = n/m, con m ed n interi positivi primi fra loro; in altri termini, tali funzioni sono periodiche se e solo se i periodi p 1 e p 2 sono commensurabili, cioè hanno un rapporto razionale, diverso da 1: il periodo delle funzioni somma, prodotto, quoziente è il minimo comune multiplo dei periodi p 1 e p 2 ; (c) nel caso f(x) e g(x) abbiano periodi uguali p 1 = p 2, il periodo p delle funzioni somma, prodotto, quoziente è minore o uguale al periodo comune. (1.13) Esercizio Determinare il periodo T della funzione ( ) 2 y = sin 3 x 1 + cos(8x) tan(20x) + ln(sin x). 3

4 Soluzione. L'addendo sin(2x/3) ha periodo T 1 = 3π, mentre l'addendo cos(8x) tan(20x) ha periodo T 2 = π/4, infatti cos(8x) ha periodo p 1 = π/4, mentre tan(20x) ha periodo p 2 = π/20, per cui, essendo p 1 /p 2 = 5, si ha T 2 = 5p 2 = p 1 = π/4. L'ultimo termine ha periodo T 3 = 2π, ed è denito solamente per 2kπ < x < π + 2kπ, che è anche il dominio dell'intera funzione. In conclusione, il periodo T della funzione è il minimo comune multiplo tra 3π, π/4 e 2π, cioè T = 6π. (1.14) Esercizio Si consideri la funzione g : R R denita da g(x) = il dominio della funzione e il suo segno. 2x x2 x 2 1. Determinare Soluzione. Si ha dom (g) = { x R : x } = R \ { 1, 1}. Per la determinazione del segno della funzione, é suciente risolvere la disequazione g(x) 0. g(x) 0 1 < x < 0 1 < x < 2. (1.15) Esercizio Sia f : R R la funzione denita da f(x) = log 2 (1 x). Determinare il dominio della funzione e stabilire se essa é pari o dispari. Soluzione. Per quanto riguarda il dominio, si ha dom (f) = {x R : log 2 (1 x) 0, 1 x > 0}. Risolvendo il sistema { 1 x > 0 log 2 (1 x) 0 sia ha dom (f) = {x R : x 0}. Per quanto riguarda le simmetrie della funzione, si ha f( x) = log 2 (1 ( x)) = log 2 (1 + x), quindi la funzione non é pari e nemmeno dispari. Questa conclusione la si poteva intuire poiché il dominio della funzione non risulta essere simmetrico. 4

5 2 Funzioni e simmetrie Abbiamo visto nella Denizione (1.7) cosa signica aermare che una funzione è pari o dispari. Consideriamo ora due funzioni y = f(x) e y = g(x). a. Esse sono simmetriche rispetto all'asse y se g(x) = f( x). b. Esse sono simmetriche rispetto all'origine O se g(x) = f( x). c. Esse sono simmetriche rispetto all'asse x se g(x) = f(x). d. Valgono inoltre le seguenti proprietà: il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari; il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari; il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari. Possiamo riassumere i casi precedenti considerando la funzione y = f(x) in forma implicita. Data la funzione F (x; y) = 0, si verica che la sua simmetrica: 1. rispetto all'asse delle y (x = 0) è F ( x; y) = 0, ossia si dovrà mutare la x in x lasciando inalterata la y; 2. rispetto all'asse delle x (y = 0) è F (x; y) = 0, ossia si dovrà mutare la y in y lasciando inalterata la x; 3. rispetto all'origine è F ( x; y) = 0, ossia sia la x sia la y dovranno essere mutate, rispettivamente, in x e y; 4. rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante (y = x) è F (y; x) = 0, ossia la x dovrà essere mutata in y e viceversa; 5. rispetto alla bisettrice del II e del IV quadrante (y = x) è F ( y; x) = 0, ossia la x dovrà essere mutata in y e viceversa; 6. rispetto ad una retta parallela all'asse x (y = h) è F (x; 2h y) = 0, ossia si dovrà mutare la y in 2h y lasciando inalterata la x; 7. rispetto ad una retta parallela all'asse y (x = k) è F (2k x; y) = 0, ossia si dovrà mutare la x in 2k x lasciando inalterata la y. 5

6 Esercizi 1. Determinare il dominio ed il segno delle seguenti funzioni. f(x) = x 2 3x 2 x, g(x) = x 2 x+1 x 3, h(x) = log10 ( 3 2x 3 x+1). 2. Vericare che le funzioni sotto riportate hanno come periodo il numero indicato a anco. f(x) = cos x sin x 4, T = 8π, g(x) = tan(2πx), T = 1 2, h(x) = sin 2 x, T = π. 3. Determinare il dominio delle seguenti funzioni. ( ln x 1 f(x) = x 2 3x, g(x) = 4x2 log 3 x 2 x ), h(x) = 3 x x e x2 4 ln x. 6