Alcuni probelmi risolti

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1 Alcuni probelmi risolti Esercizio 1: Svolgere l esempio 3 a p.115 del testo. Esercizio (Consideriamo nuovamente i dati dell esempio 3 p. 115 del testo.) Il prezzo P unitario ottenuto da un impresa nella produzione e vendita di Q unità di un certo bene è P = 10 Q; il costo di produzione e vendita di Q unità è C = Q + 1 Q. a) Scrivere il profitto π in funzione del prezzo P ; b) Calcolare il massimo profitto π ed il prezzo P che lo rende massimo; c) Calcolare la quantità Q associata al prezzo P e confrontare il risultato con quello dell esempio 3 a p.115. a) E vero in generale che il profitto π dalla vendita di un certo bene è dato dal ricavo R meno il costo C, e inoltre che il ricavo è dato dal prezzo unitario P moltiplicato per la quantità Q del bene che viene venduta. In simboli π = R C = P Q C. Nel caso dell esercizio, viene anche specificato che P e Q variano congiuntamente secondo la legge P = 10 Q. Se vogliamo scrivere il profitto in funzione di P, sostituiamo a Q la sua espressione in funzione di P che ricaviamo invertendo la precedente relazione: P = 10 Q Q = 10 P Q = 10 P = 51 P Otteniamo allora il costo in funzione del prezzo ( C = 51 P ) + 1 ( 51 P ) = 1 8 P 53 P e il ricavo in funzione del prezzo R = P Q = P ( 51 P ) = 51P 1 P e quindi il profitto in funzione del prezzo π(p ) = R C = 51P 1 P = 5 8 P P 805 ( 1 8 P 53 P ) b) Come funzione del prezzo P, il profitto π risulta essere una funzione quadratica, che ha come grafico una parabola con la concavità rivolta verso il basso. Dobbiamo 1

2 individuarne il massimo (anzi, il massimo per P che varia sulla semiretta [0, + ), se vogliamo che il risultato abbia significato economico: un prezzo negativo avrebbe poco senso). Il punto in cui il massimo di π è raggiunto corrisponde al vertice di detta parabola che ha ascissa 155 P = ( ) 5 = 6 > 0 8 che effettivamente giace sulla semiretta [0, + ). Il massimo profitto è dunque π = π(p ) = = 1000 c) La quantità associata al prezzo P è Q = 51 P = 51 6 = 0 Il risultato ottenuto coincide, non sorprendentemente, con la risposta dell esempio 3 p. 119 del libro: anche in quel caso il massimo profitto è 1000, associato alla quantità Q = 0. Osservazioni Il senso della relazione P = 10 Q è il seguente: il prezzo unitario è dato dalla quantità fissata 10 che diminuisco a seconda di quanto prodotto Q il mercato assorbe. Come a dire: se un impresa vende una quantità Q maggiore, può permettersi di praticare un prezzo P inferiore, proporzionalmente alla quantità Q venduta. In linea di principio, nei modelli economici P e Q possono essere legati da diverse relazioni, o anche essere indipendenti tra loro (per esempio, il prezzo unitario può essere fissato). Esercizio 3 [Esercizio 8 p.119 con testo riformulato] Se un impresa di spedizioni di cocco vende Q tonnellate di cocco in Inghilterra, il prezzo (per tonnellata) che può applicare è dato da P 1 = α 1 1 3Q. D altra parte, se acquista Q tonnellate di cocco in Ghana, il prezzo unitario che deve pagare è dato da P = α + 1 6Q. Inoltre, costa γ alla tonnellata spedire cocco dall unico fornitore ghanese ai clienti in Inghilterra (il suo unico mercato di sbocco). I numeri α 1, α, γ sono tutti positivi. a) Esprimere il profitto Π dello spedizioniere di cocco come funzione di Q, il numero di tonnellate spedite. b) Assumendo che α 1 α γ > 0, trovare le quantità spedite di cocco Q che massimizzano il profitto. Cosa succede se α 1 α γ 0? c) Si supponga che il governo ghanese imponga una tassa sull esportazione del cocco di t alla tonellata. Determinare la nuova espressione del profitto Π t dello spedizionere e la nuova quantità Q t spedita che lo massimizza, nell ipotesi α 1 α γ t > 0.

3 d) Fissato Q = Q t, calcolare il ricavo T del governo ghanese derivante dalla tassa sull esportazione come funzione di t e indicare come può essere ottenuto il ricavo massimo dall imposizione della tassa. a) Il ricavo dell impresa in funzione della quantità è dato da R(Q) = P 1 Q = (α 1 13 ) Q Q mentre le spese sostenute dalla medesima impresa per acquistare il cocco dal Ghana e pagarne le relative spese di spedizione è C(Q) = (P + γ) Q = (α + 16 ) Q + γ Q = (α + γ) Q Q Dunque il profitto è dato da Π(Q) = (α 1 13 ) Q Q [(α + γ) Q + 16 ] Q = 1 Q + (α 1 α γ) Q Il grafico di tale funzione è una parabola con la concavità rivolta verso il basso e un massimo assoluto nel vertice (Q V, π V ). Il vertice ha coordinate Q V = α 1 α γ ( ) 1 = α 1 α γ π V = Π(Q ) = 1 (α 1 α γ) + (α 1 α γ) = 1 (α 1 α γ) (Le intersezioni della parabola con l asse delle ascisse Q avvengono per Q = 0 e per Q = (α 1 α γ).) b) Per rispondere alla domanda dobbiamo calcolare il punto Q [0, + ) in cui il profitto è massimo. La ricerca va ristretta alla semiretta positiva affinché la risposta abbia senso economico. Se α 1 α γ > 0, il punto Q = Q V = α 1 α γ calcolato in precedenza dà la quantità di cocco che realizza il maggior profitto. 3

4 Se invece α 1 α γ 0 il massimo del profitto si ottiene per Q = 0, come è facile convincersi osservando la figura. c) Stavolta il profitto è ulteriormente diminuito della tassa, applicata ad ogni tonnellata di cocco, ossia C(Q) = (α + γ t) Q Q, cosicché Π t (Q) = 1 Q + (α 1 α γ t) Q e se α 1 α γ t > 0, il massimo profitto è raggiunto in Q t = α 1 α γ t 4

5 d) La tassa complessiva riscossa dal governo ghanese è T = tq t = t(α 1 α γ t) = t + t(α 1 α γ) che è massima nel vertice della parabola che ne è grafico in funzione di t, e che ha coordinate t = α 1 α γ. ( ) T α1 α γ = + (α 1 α γ) Esercizio 4 log Calcolare il dominio della funzione f(x) = (x 5) x 8x+7 = (α 1 α γ) 4 Poiché la radice quadrata è definita se e solo se il suo argomento è positivo, il logaritmo è definito se e solo se il suo argomento è strettamente positivo e una funzione razionale se e solo se il suo denominatore è non nullo, il dominio di f è dato da { D f = x R : log } (x 5) x 8x + 7 0, x 5 > 0, x 8x Esplicitiamo le precedenti condizioni in modo da scrivere D f come unione di intervalli di R. Si può anche scrivere D f = {x R : ( ) e soddisfatto} dove ossia ( ) = log (x 5) x 8x+7 0 x 5 > 0 x 8x x (5, 6] [7, + ) x (5, + ) x 1, x 7 D f = (7, + ) log (x 5) x 8x+7 0 x (5, + ) x 1, x 7 x (7, + ) Esercizio 5 Considerate la funzione di legge f(x) = x 5 6 x 5

6 Determinarne dominio e immagine. calcolarne l inversa. Dire se f è invertibile sulla sua immagine e Le funzioni razionali sono definite per valori non nulli del denominatore quindi D f = {x R : 6 x 0} = R {6} = (, 6) (6, + ) Dobbiamo ora calcolare l immagine R f di f che è, per defnizione { } x 5 R f = 6 x : x R, x 6 o anche R f = { y R : y = x 5 } 6 x, x R, x 6 cioè è costituita da tutti gli y raggiunti tramite f, a partire da un elemento x del dominio D f. Consideriamo la relazione y = x 5 6 x e proviamo ad invertirla. Se x 6, y = x 5 6 x y (6 x) = x 5 ( + y)x = 6y + 5 Per y = la precedente relazione restituisce 0 = 1 + 5, che non ha soluzioni, mentre per y dà x = 6y + 5 (1) y + Cosa ne possiamo dedurre? - che - non proviene tramite f da alcun elemento x del dominio cioè che y non appartiene all immagine di f, mentre ogni y vi appartiene (proviene da x = 6y+5 y+ ); - ogni y proviene dall unico valore x = 6y+5 y+, (cioè f è iniettiva e quindi) f è invertibile sulla sua immagine. L inversa ha per dominio R f e per immagine D f ; per trovarne la legge basta scambiare i ruoli di x ed y in (1): f 1 : R { } R {6}, f 1 (x) = 6x + 5 x + 6