La scelta in condizioni di incertezza

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1 La scelta in condizioni di incertezza 1

2 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo sceglie tra le diverse azioni; ma tra ciascuna azione e le relative conseguenze si interpone un altro soggetto che decide quale particolare evento o stato di natura si verificherà. Se indichiamo con a i le azioni e con s j gli stati, le conseguenze sono y ij = c ³ a i,s j. La matrice con due azioni e due stati. stati azioni s 1 s 2 (π 1 ) (π 2 ) a 1 y 11 y 12 a 2 y 21 y 22 2

3 Proprietà degli stati: gli stati descrivono una serie di circostanze che si trovano al di fuori del controllo individuale; almeno uno stato deve verificarsi: esaustività due o più stati non possono verificarsi simultaneamente: esclusività L individuo indica le probabilità che assegna alla realizzazione dei vari stati: π s 1. π s è un numero compreso nell intervallo unitario, ovvero 0 π s 1; 3

4 2. La somma delle probabilità è pari a uno, P s π s =1. Le conseguenze che derivano da ciascuna azione e le probabilità attribuite agli stati ci consentono di associare ad ogni azione una distribuzione di probabilità. La scelta tra le diverse azioni corrisponde così alla scelta di una distribuzione di probabilità. Se valgono gli assiomi della teoria dell utilità attesa, l utilità attesa della generica azione a E [U (a)] = π 1 U (y a1 )+ + π S U (y as )= X s π su (y as ) L azione a è preferita a b se e solo se la prima presenta una maggiore utilità attesa a  b X s π su (y as ) > X s π su (y bs ) 4

5 L ottimo individuale Beni contingenti e curve di indifferenza Un solo bene: tutte le conseguenze delle varie azioni espresse in termini di questo bene. Solo due stati del mondo, s =1, 2. L utilità di un azione E (U) =π 1 U (y 1 )+π 2 U (y 2 ) 5

6 Il bene è contingente o condizionale al verificarsi di un dato stato: y 1 èl ammontare del bene che si ottiene seesolosesi verifica lo stato 1; y 2 èl ammontaredelbene che si ottiene seesolosesi verifica lo stato 2. I due stati sono esclusivi: si otterrà y 1 oppure y 2 ma non entrambi. Curve di indifferenza: l insieme delle distribuzioni, cioè delle azioni, che danno al consumatore la stessa utilità attesa E (U) =una costante = π 1 U (y 1 )+π 2 U (y 2 ) Che forma hanno? Il saggio marginale di sostituzione de (U) =0=π 1 U 0 (y 1 ) dy 1 + π 2 U 0 (y 2 ) dy 2 = SMS = dy 2 = π 1U 0 (y 1 ) dy 1 π 2 U 0 (y 2 ) 6

7 Poiché U 0 ( ) > 0, la pendenza è negativa (il sms è positivo):curve di indifferenza decrescenti. Se ci muoviamo verso destra e y 1 aumenta, y 2 deve diminuire; altrimenti, ci si trova con distribuzione migliore (stocasticamente dominante al primo ordine). Differenziando ancora d 2 y 2 dy1 2 = π 1 U 00 (y 1 ) U 0 (y 2 ) U 0 (y 1 ) U 00 (y 2 )(dy 2 /dy 1 ) π 2 [U 0 (y 2 )] 2 > 0 Poiché U 0 ( ) > 0, il segno dipende dal segno di U 00 ( ). Per un individuo avverso al rischio, U 00 ( ) è negativa, sicché d 2 y 2 /dy1 2 è positiva: le curve di indifferenza sono convesse 7

8 Esempio. Curve di indifferenza e utilità logaritmica La funzione di utilità definita sulle conseguenze sia logaritmica, U (y) =lny. La famiglia delle curve di indifferenza è definita dalla seguente equazione E (U) = k = π 1 ln y 1 + π 2 ln y 2 =lny π 1 1 yπ 2 2 = ek = y π 1 1 yπ 2 2 = y 2 = eπ k 2 y π 1 π 2 La pendenza delle curve di indifferenza è (perché U 0 =1/y) dy 2 = π 1U 0 (y 1 ) dy 1 π 2 U 0 (y 2 ) = π 1y 2 < 0 π 2 y 1 mentre la convessità è confermata dalla derivata seconda 1 d 2 y 2 dy 2 1 = π dy 2 1 dy y 1 1 y 2 π 2 (y 1 ) 2 > 0 8

9 positiva perché dy 2 dy 1 < 0 Bene contingente nello stato exp k 1 π y 1 π 1 π Bene contingente nello stato 1 Figura 1: 9

10 Se l individuo è neutrale al rischio, U 00 ( ) =0elecurvediindifferenza sono delle rette inclinate negativamente. Se propenso al rischio, si ha U 00 ( ) > 0 elecurvedi indifferenza sono concave. y 2 E Linea di certezza B y* y y 1 y B E y 1 Figura 2: La linea di certezza è il luogo delle combinazioni di redditi contingenti per cui y 1 = y 2. 10

11 Poiché y 1 = y 2,eperciòU 0 (y 1 )=U 0 (y 2 ), la pendenza delle curve di indifferenza lungo la linea di certezza è sempre pari a π 1 /π 2. Il punto y delle dotazioni iniziali giace su di una lineadiugualevaloreattesocon equazione π 1 y 1 + π 2 y 2 = π 1 y 1 + π 2 y 2 Se indichiamo le variazioni che hanno luogo nelle disponibilità iniziali per effetto degli scambi con y i = y i y i,siha π 1 y 1 + π 2 y 2 =0 In tal modo l individuo prende parte ad un gioco equo perché il valore atteso di ciò che riceve è uguale al valore atteso di ciò che cede. La pendenza della EE è π 1 /π 2. 11

12 Quale delle combinazioni che si trovano sulla EE è preferita dall individuo? Quella per cui si ha tangenza tra curva di indifferenza e la retta EE. Quest ultima ha pendenza π 1 /π 2 ; lungo la linea di certezza le curve di indifferenza hanno pendenza pari a π 1 /π 2. Intuizione: muovendosi verso sinistra lungo la EE, l individuo si sposta verso combinazioni di redditi contingenti che hanno lo stesso valore atteso ma una minore variabilità. Essendo avverso al rischio, preferirà quella combinazione che si trova all intersezione della EE con la linea di certezza. Lungo la linea di certezza y 1 = y 2 = y el equazionedellaee diviene π 1 y 1 + π 2 y 2 = π 1 y 1 + π 2y 2 = y dove y 1 = y 2 = y. Un individuo avverso al rischio preferisce la certezza di y ad un gioco equo che ha lo stesso valore atteso (preferisce y ad un punto qualsiasi sulla EE 12

13 diverso da y )perché π 1 U (y 1 )+π 2 U (y 2 )=E (U) <U(y ) Un individuo avverso al rischio con una situazione di certezza come y non prenderà parte ad un gioco equo. Vincolo di bilancio e mercato dei beni contingenti Sia possibile scambiare y 1 con y 2 secondoilprezzorelativop 1 /P 2 :quanto costa all individuo spostare risorse da uno stato all altro. Non possibile per il singolo individuo (disporrà di y 1 oppure di y 2 ), ma con mercati per beni contingenti è possibile attraverso lo scambio mutare la propria posizione iniziale. 13

14 Esempio: mercato assicurativo. Assicurandoci, noi paghiamo un prezzo certo, il cosiddetto premio assicurativo, per ricevere in cambio un dato compenso se e solo se si verifica un determinato evento. Qual è il vantaggio? Il vantaggio consiste nel fatto che mediante lo scambio è possibile mutare la propria posizione iniziale. Se questa situazione è tale che il mio reddito è elevato se si verifica lo stato 1 e basso se si verifica lo stato 2, se sono avverso al rischio è probabile che desideri una situazione più bilanciata, meno volatile. Per effettuare questi scambi, occorre che ci siano tanti mercati condizionali per quanti sono gli stati di natura, occorre cioè che ogni bene condizionale abbia un prezzo. I mercati condizionali sono completi se esiste un mercato per ciascun bene in ogni stato di natura. Se nell economia vi sono N beni fisicamente diversi tra loro e S stati di natura, la completezza dei mercati richiede l esistenza di N S mercati. 14

15 Sia possibile scambiare y 1 e y 2 ai corrispondenti prezzi P 1 e P 2. Dati per l individuo. I mercati contingenti sono concorrenziali. Il vincolo di bilancio è P 1 y 1 + P 2 y 2 = P 1 ȳ 1 + P 2 ȳ 2 = y 2 =ȳ 2 P 1 P 2 (y 1 ȳ 1 ) Se P 1 /P 2 = π 1 /π 2, la retta del vincolo di bilancio coincide con quella di uguale valore atteso; se P 1 /P 2 <π 1 /π 2, il vincolo di bilancio ha una pendenza minore della linea di uguale valore atteso (la BB nel grafico); se, P 1 /P 2 >π 1 /π 2, il vincolo di bilancio ha una pendenza maggiore. 15

16 La posizione di ottimo L ottimo individuale si trova nel punto in cui vincolo di bilancio e curva di indifferenza sono tangenti P 1 = π 0 1U (y1 ) P 2 π 2 U 0 (y 2 ) = π 0 2U (y2 ) P 2 = π 0 1U (y1 ) P 1 Uguaglianza tra le utilità marginale attese di ciascun bene contingente ponderate con i rispettivi prezzi. Esempio. L ottimo individuale con utilità logaritmica 1. Sia U (y i )=lny i, i =1, 2. Sia π 1 =1/3 e π 2 =2/3. Le dotazioni iniziali siano ȳ 1 =14e ȳ 2 =2. I prezzi contingenti (quanto occorre pagare per il diritto a ricevere 16

17 una unità di reddito) siano P 1 =1e P 2 =2 π 2 U 0 (y 2 ) = π 0 1U (y1 ) = 1/3 = 2/3 P 2 P 1 1 y 1 2 y 2 ecioèy 1 = y 2. Sostituendo nel vincolo di bilancio P 1 ȳ 1 + P 2 ȳ 2 =18=y 1 +2y 2 =3y 1 e perciò y 1 = y 2 =6. Nella posizione di ottimo l individuo risulta completamente assicurato, riceve lo stesso reddito qualunque stato del mondo si verifichi. Intuizione: Tutti gli scambi che comportano l invarianza del valore atteso come un gioco equo π 1 y 1 + π 2 y 2 =0 In presenza di un gioco equo l individuo sceglierà di stabilizzare completamente il proprio reddito, y 1 = y 2. Con un gioco equo il rapporto di scambio tra i redditi contingenti è, in valore assoluto, π 1 /π 2. Nell esempio questo rapporto è 1/3 =1/2; questo è 2/3 esattamente il prezzo relativo stabilito dal mercato per trasferire risorse dallo stato 1 17

18 18 Bene contingente Bene contingente 1 Figura 3: 18

19 allo stato 2, cioè P 1 /P 2 =1/2. Con questi prezzi l individuo ha perciò la possibilità di partecipare ad un gioco equo e sceglierà così di porre y 1 = y Sia P 2 pari a 5. In questo caso il gioco non è equo perché π 1 /π 2 =1/2 > 1/5 = P 1 /P 2. Siccome il gioco non è equo, si potrebbe pensare che un individuo avverso al rischio non vi prenderà parte, non effettuerà cioè scambi. Così non è. Poiché nel punto di dotazioni iniziali (14, 2), l utilità marginale attesa ponderata di y 1 ( π 1U 0 (y 1 ) P = 1/ ) è minore di quella di y 2 ( π 2U 0 (y 2 ) P = 2/ ), l individuo vorrà spostare risorse dalla stato 1 allo stato 2. D altra parte, abbiamo visto che il gioco non è equo perché π 1 /π 2 > P 1 /P 2 ; in altre parole, y 1 costa di meno (in termini relativi) sul mercato di quanto non accadrebbe con un gioco equo. Siccome con un gioco equo si avrebbe y 1 = y 2,sey 1 costa di meno dovrà essere y 1 >y 2. In effetti, si può controllare che con P 1 =1e P 2 =5nella posizione di ottimo y 1 =8e y 2 =3.2. In generale: se π 1 /π 2 >P 1 /P 2, il rapporto tra le utilità marginali dovrà essere minore di 1, U 0 (y 1 ) <U 0 (y 2 );poiché le utilità marginali sono decrescenti, quest ultima disuguaglianza implica y 1 >y 2.Un 19

20 ragionamento analogo permette di concludere che se π 1 /π 2 <P 1 /P 2, nella posizione di ottimo si dovrà avere y 1 <y 2. Conclusione generale per un individuo avverso al rischio: seπ 1 /π 2 = P 1 /P 2, il gioco è equo e la posizione preferita è quella di certezza in cui y 1 = y 2 ; seπ 1 /π 2 >P 1 /P 2, il bene contingente y 1 ha un prezzo relativo minore di quello che avrebbe in un gioco equo e la posizione preferita è quella in cui y 1 >y 2 ; seπ 1 /π 2 <P 1 /P 2, il bene contingente y 1 ha un prezzo relativo maggiore di quello che avrebbe in un gioco equo e la posizionepreferita è quella in cui y 1 <y 2 20

21 Bene contingente Bene contingente 1 21

22 La domanda di assicurazione L assicurazione è una forma di attività economica che deve la sua esistenza proprio alla presenza dell incertezza. Essa viene definita come il pagamento di una certa somma di denaro, il premio, in cambio della riscossione di un indennizzo se un dato evento si realizza. Esiste una probabilità π 1 che si verifichi la stato del mondo 1 in cui l individuo disporrà del reddito y; ed esiste una probabilità π 2 che si verifichi lo stato del mondo 2 in cui l individuo subirà un danno D e vedrà pertanto ridotto il suo reddito a y D y 1 = y, y 2 = y D il suo reddito atteso è π 1 y 1 + π 2 y 2 = π 1 y + π 2 (y D) =y π 2 D 22

23 y 2 E B y* Linea di certezza y - D 45 ŷ - y E B y - π 2 D y y 1 Figura 4: Se può muoversi lungo la EE di uguale valore atteso π 1 y 1 + π 2 y 2 = π 1 y 1 + π 2 y 2 23

24 Sceglierà quella combinazione che giace sullalinea di certezza, y 1 = y 2 = y π 1 y 1 + π 2 y 2 = y = π 1 y 1 + π 2 y 2 = y π 2 D La posizione preferita dall individuo nel caso in cui possa effettuare scambi secondo il rapporto π 1 /π 2 è quella che comporta con certezza un reddito y = y π 2 D Supponiamo ora che l individuo possa entrare in un contratto assicurativo dietro il pagamento di un premio unitario p: l individuo paga p I come premio complessivo e riceve in cambio un indennizzo I se l evento contro cui si è assicurato si verifica. È chiaro che p deve essere minore di 1. p rappresenta quanto occorre pagare per avere 1 di indennizzo. Il mercato assicurativo sia concorrenziale e quindi il premio p costituisca un dato Se l individuo accetta il contratto, il reddito contingente nello stato 1 e quello nello stato 2 sono y 1 = y pi e y 2 = y D pi + I 24

25 Variando l indennizzo, si può spostare reddito dallo stato 1 allo stato 2. Il rapporto di scambio tra y 1 e y 2 è y 2 = 1 p y 1 p Qual è l ammontare dell indennizzo che l individuo sceglierà? Se l assicurazione è equivalente ad un gioco equo, cioè se π 1 /π 2 =(1 p) /p, l individuo sceglierà un indennizzo pari all ammontare del danno, cioè I = D: assicurazione è completa. Inpresenza di un gioco equo, l individuo preferirà la combinazione di redditi contingenti per cui y 1 = y 2 y1 = y pi e y2 = y D pi + I = y1 = y2 = I = D Un assicurazione è equa se il premio che si paga è uguale al valore atteso dell indennizzo, pi = π 2 I e quindi p = π 2. Con un assicurazione equa l individuo vorrà avere un reddito certo y = y π 2 D = y pd: l unico modo di ottenere questo reddito con certezza è di porre I = D. Il vincolo di bilancio coincide con la retta EE e la combinazione scelta di redditi contingenti è y. 25

26 Quale indennizzo verrà scelto se π 1 /π 2 > (1 p) /p? Poiché questa disuguaglianza implica p>π 2, l assicurazione non è equa e l individuo sceglierà un indennizzo parziale, I<D.Graficamente, un assicurazione non equa comporta che la pendenza del vincolo di bilancio sia minore (in valore assoluto) di quella della retta EE di uguale valore atteso e che la posizione di ottimo sia ora situata in by Obiettivo dell individuo è di massimizzare la propria utilità attesa scegliendo opportunamente I max E (U) =π 1U (y 1 )+π 2 U (y 2 ) I max I E (U) =π 1U (y pi)+π 2 U (y D pi + I) La condizione del primo ordine è 26

27 π 1 U 0 (y 1 ) p + π 2 U 0 (y 2 )(1 p) =0= π 1 U 0 (y 1 ) π 2 U 0 (y 2 ) = 1 p p Esempio Supponiamo che la richezza iniziale sia pari a y = e che il danno che può verificarsi sia pari a D = 8000 con probabilità π 2 = 0.5.Inoltre, le preferenze individuali siano rappresentate dalla funzione di utilità U (x) = x. La figura successiva mostra l ndamento dell utilità attesa nei due casi in cui il premio p sia pari a 0.5 e a L indennizzo scelto è nel primo caso 8000 (assicurazione completa) e nel secondo circa

28 90 EUI (, p) := 1 π ( ) Uy pi ( ) + π Uy [ D+ ( 1 p) I] EUI (,.5) ( ) EUI, I Figura 5: 28