GRAFICI DI PROBABILITÀ Prof. Antonio Lanzotti

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE D.I.A.S. STATISTICA PER L INNOVAZIONE a.a. 2007/2008 GRAFICI DI PROBABILITÀ Prof. Antonio Lanzotti A cura di: Ing. Giovanna Matrone [email protected]

2 Analisi dei dati: la carta di probabilità Una carta di probabilità rappresenta uno strumento grafico di grande utilità operativa. Essa consente di effettuare un analisi visiva del set di dati a disposizione (osservazioni sperimentali), permettendo di testare la bontà di adattamento del modello di Cdf ipotizzato alle osservazioni sperimentali. In particolare essa consente di vedere quanto le singole osservazioni sperimentali si discostino dal modello di Cdf ipotizzato. Per una più agevole valutazione grafica degli scostamenti dei dati rispetto alla modello ipotizzato è possibile linearizzare il modello ipotizzato di Cdf che, esprimendo i valori cumulati della funzione distribuzione di probabilità, presenta un andamento sinusoidale.

3 Analisi dei dati: la carta di probabilità Il processo di linearizzazione è possibile grazie ad opportune relazioni funzionali, per poter poi valutare, successivamente, la capacità dei dati a disporsi in modo lineare sulla carta di probabilità. L idea alla base di una carta di probabilità è, infatti, la possibilità di applicare una opportuna trasformazione di scala dell asse delle ordinate del grafico in modo tale da ottenere una Cdf che si distribuisca secondo una linea retta. Dati disomogenei Sistematica discordanza dei dati rispetto al modello ipotizzato Peso di alcuni specifici dati sulla stima dei parametri del modello Presenza di sottopopolazioni

4 Linearizzazione della Cdf Per linearizzare una Cdf è necessario individuare una opportuna relazione del tipo: x a b ( ) = ; b> 0 Y x che esprime la linearizzazione della F X (x) in funzione delle determinazioni x di X (o di una sua trasformata); a e b sono rispettivamente parametro di posizione e parametro di scala. Supponiamo di voler linearizzare la Cdf Esponenziale: ( ) 1 F x = e λ Arriveremo ad un espressione del tipo: ( ) Y x X 1 a = = ln = λ x ; 1 FX ( x) b = x 0 1 λ

5 Linearizzazione della distribuzione Gumbel (max) F X x ( ) x = exp exp a b x a ln F ( ) X x = exp ; b x a ln ln F ( ) X x = ; b 1 Y = β1 X + β0 con β1 = e β0 = b a b La Cdf Gumbel (dei max) è così linearizzabile ed il grafico corrispondente sarà semi-logaritmico poiché l asse delle ascisse avrà una scala lineare e l asse delle ordinate una scala logaritmica del tipo: F ( x ) ln ln X

6 Costruzione della carta La carta si caratterizza nel modo seguente: sull asse delle ascisse vengono riportati i dati sperimentali x (i), ordinati in senso crescente [x (1) = x min x (2) x (3) x (n) = x max ]; sull asse delle ordinate sono riportati i valori della Cdf campionaria, per la cui stima adottiamo la frazione: i n + 1 (in letteratura sono suggerite anche altre frazioni di stima come : o ) si dispongono sulla carta le coppie di valori ( x ˆ ( )) () i FX x() i, ; si traccia la retta che meglio approssima i punti. Il modello, allora, sarà tanto più adeguato quanto più la sequenza dei punti approssimerà la linea retta. i n i 0.5 n

7 Costruzione della carta A partire dal grafico è inoltre possibile ottenere delle stime grafiche approssimate dei parametri rappresentativi della Cdf ipotizzata. D altra parte, disponendo delle coppie di valori, è possibile calcolare la retta che minimizza i quadrati degli scarti dei singoli punti dalla retta con il Metodo dei Minimi Quadrati. In questo modo sarà possibile calcolare il coefficiente di correlazione ρ attraverso il quale quantificare la bontà della scelta del modello.

8 Esempio N.1 x i Dati N. d'ordine x (i) Dati i F ZM (x (i) ) -ln[-ln[f ZM (x (i) )]] 1 2, (1) 8 1, ,091-0, , (2) 6 1, ,182-0, , (3) 2 2, ,273-0, , (4) 9 2, ,364-0, , (5) 7 2, ,455 0, , (6) 10 2, ,545 0, , (7) 1 2, ,636 0, , (8) 4 2, ,727 1, , (9) 5 2, ,818 1, , (10) 3 2, ,909 2,351

9 Esempio N.1 Grafico di probabilità Gumbel 3,000 -ln[-ln[fzm(x(i))]] 2,500 2,000 y = 5,5469x - 11,359 R 2 = 0,9509 1,500 1,000 0,500 0,000 1,800 1,900 2,000 2,100 2,200 2,300 2,400 2,500-0,500-1,000-1,500 x (i) b= 0,1803 a= 2,0478

10 Esempio N.2 x i Dati N. d'ordine x (i) Dati i F ZM (x (i) ) -ln[-ln[f ZM (x (i) )]] , , , , , , , , , , , (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) , , , , , , , , , , , ,083 0,167 0,250 0,333 0,417 0,500 0,583 0,667 0,750 0,833 0,917-0,910-0,583-0,327-0,094 0,133 0,367 0,618 0,903 1,246 1,702 2,442

11 Esempio N.2 Grafico di probabilità Gumbel 3,500 3,000 2,500 y = 3,0718x - 6,3068 R 2 = 0,879 -ln[-ln[fzm(x(i))]] 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2-0,500-1,000-1,500 x (i) b= 0,3255 a= 2,0531

12 Esempio N.3 x i Dati 1 1,93 2 7,2 3 10, ,2 6 3,54 7 5,42 8 1,35 9 4,9 10 1, , , ,7 14 6, , ,1 19 1, ,99 N. d'ordine x (i) Dati i F ZM (x (i) ) -ln[-ln[f ZM (x (i) )]] (1) ,048-1,113 (2) 5 1,2 2 0,095-0,855 (3) 8 1,35 3 0,143-0,666 (4) 16 1,5 4 0,190-0,506 (5) 12 1,64 5 0,238-0,361 (6) 10 1,78 6 0,286-0,225 (7) 11 1, ,333-0,094 (8) 1 1,93 8 0,381 0,036 (9) 19 1,99 9 0,429 0,166 (10) 18 2,1 10 0,476 0,298 (11) 13 2,7 11 0,524 0,436 (12) 6 3, ,571 0,581 (13) 9 4,9 13 0,619 0,735 (14) 7 5, ,667 0,903 (15) 14 6,5 15 0,714 1,089 (16) 2 7,2 16 0,762 1,302 (17) ,810 1,554 (18) 20 8, ,857 1,870 (19) 3 10,5 19 0,905 2,302 (20) ,952 3,020

13 Esempio N.3 Grafico di probabilità Gumbel -ln[-ln[fzm(x(i))]] 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000-0,500-1,000 y = 0,3079x - 0,8026 R 2 = 0, ,500 x (i) b= 3,2478 a= 2,6067

14 Applicazione della carta (Gumbel max) I dati riportati in tabella sono i valori massimi osservati delle portate annuali (piene) del fiume Feather (Nord California, USA) in ft 3 /sec 1 dal 1902 al 1960, per un totale di n = 59 rilevazioni: i ANNO PIENA i ANNO PIENA i ANNO PIENA i ANNO PIENA Fonte: (Reiss and Thomas, 1997) 3 3 Nota : 1 ft / sec = 0.02 m / sec

15 Supponiamo che i 59 dati x i a disposizione siano i.i.d. Vogliamo: Applicazione della carta (Gumbel max) 1) Verificare che il modello Gumbel ben si adatti ai dati; 2) Determinare la probabilità che un generico futuro valore massimo di portata X f sia superiore ad una fissata soglia x soglia, supponendo che le x f siano distribuite come le osservazioni precedenti; 3) Determinare il corrispondente periodo di ritorno T.

16 1) Grafico di probabilità Gumbel (max) Grafico di probabilità Gumbel 5,000 4,000 y = 2E-05x - 1,0339 R 2 = 0,984 -ln[-ln[fzm(x(i))]] 3,000 2,000 1,000 0, ,000-2,000 x (i) Poiché i punti nel grafico sono ben allineati, concludiamo che la distribuzione Gumbel è un modello adatto per i nostri dati (valori estremi massimi). Siamo, quindi, in grado di ricavare anche le stime dei parametri: aˆ ; bˆ 50000

17 2) Calcolo della probabilità di superamento Fissiamo come valore soglia: { } 3 x = Max[ x, i = 1,...,59 ] = ft / sec; soglia i Calcoliamo la probabilità che la v.a. X f futura portata annuale massima superi il valore soglia fissato, utilizzando le stime dei parametri ricavate al punto 1): { X } ( ˆ ˆ) f xsoglia GumbelCdf xsoglia a b Pr = ;, = ; { X } ( ˆ ˆ) f xsoglia GumbelCdf xsoglia a b Pr > = 1 ;, = %

18 3) Il periodo di ritorno T In campo ingegneristico è, spesso, necessario calcolare con un buon livello di approssimazione la probabilità di superamento di una certa soglia da parte di un evento. Periodo di ritorno T 1 T = con F ( ) X xsoglia = Cdf di v.a. X "valore massimo" 1 F X ( x ) soglia Il periodo di ritorno T rappresenta il numero di unità di tempo (anni, settimane, ecc) che bisogna attendere prima che sia normale il verificarsi di un evento di entità superiore al valore soglia x soglia.

19 3) Il periodo di ritorno T T = = = 36 anni 1 F x Pr X > x ( ) { } X soglia f soglia Era perciò necessario attendere 36 anni (a partire dal 1960) prima che fosse normale osservare una portata massima annuale del fiume Feather superiore alla piena massima osservata fino al 1960.

20 Riferimenti sul Libro Pasquale Erto Probabilità e statistica per le scienze e l ingegneria McGraw Hill seconda edizione Capitolo 3 Trasformazioni di variabili aleatorie 3.5 pagg Metodo dei minimi quadrati pagg Capitolo 5 Modelli Gumbel e Weibull pagg Capitolo 9 Metodo dei grafici di probabilità pagg

21 Per eventuali comunicazioni: Orario di ricevimento: Giovedì ore 16:30-18:30 P.le Tecchio X piano Stanza Dottorandi DIAS