La media e la mediana sono indicatori di centralità, che indicano un centro dei dati.

Transcript

1 La media e la mediana sono indicatori di centralità, che indicano un centro dei dati. Un indicatore che sintetizza in un unico numero tutti i dati, nascondendo quindi la molteplicità dei dati.

2 Per esempio, il reddito medio è un numero che ci consente di confrontare la ricchezza di un Paese con un altro. Ma nasconde il fatto che in un singolo Paese possono esserci famiglie estremamente ricche e altre molto povere.

3 Esempio Vengono testati 2 farmaci concorrenti A e B. I risultati, in termini di sopravvivenza, su due gruppi di 5 pazienti sono i seguenti: A 3 4, ,5 B 1, ,8 Quale farmaco ha dato i migliori risultati?

4 A B 3 1,2 4, ,5 9,8 La sopravvivenza media prodotta dal farmaco A e dal farmaco B è data da x A = 3 + 4, ,5 = 25 5 = 5 x B 1, ,8 25 = = = La media è la stessa! Quindi quale farmaco scegliere?

5 Consideriamo un insieme di dati statistici x 1, x 2,, x n. Sia x la loro media aritmetica. I valori x x, x x, 1 2 x n x si chiamano scarti

6 La varianza dell insieme di dati statistici x 1, x 2,, x n è il numero Var = 1 n n ( x x ) i i = 1 2 cioè la media aritmetica degli scarti al quadrato. Tale numero è una misura di quanto i dati sono mediamente dispersi attorno alla loro media.

7 Calcoliamo la Varianza dei dati dell esempio precedente. A 3 4, ,5 B 1, ,8 Varianza per i dati relativi al farmaco A: Var A = ( (3 5) 2 + (4,5 5) 2 + (5 5) (6 5) 2 + (6,5 5) 2 ) / 5 =(2 2 + (-0,5) ,5 2 ) / 5 = 1,5

8 A 3 4, ,5 B 1, ,8 Varianza per i dati relativi al farmaco B: Var B = ( (1,2 5) 2 + (2 5) 2 + (4 5) (8 5) 2 + (9,8 5) 2 ) / 5 =((-3,8) 2 + (-3) 2 + (-1) ,8 2 ) / 5 = 11,3 I risultati che produce il farmaco A sono quindi più affidabili di quelli del farmaco B.

9 Nella pratica alla varianza si preferisce la sua radice quadrata, che è chiamata deviazione standard (o scarto quadratico medio): s = = Var 1 n n ( x x ) i i = 1 Tale numero ha il vantaggio di avere la stessa dimensione dei dati x 1, x n, e dà una misura di quanto i dati sono distanti dalla loro media. 2

10 Con riferimento all esempio precedente, abbiamo che la deviazione standard relativa al farmaco A è s A = Var A = 1,5 = 1,22 mentre quella relativa al farmaco B è s B = Var B = 11,3 = 3,36

11 Quando i dati vengono forniti attraverso una tabella delle frequenze, sappiamo che la media aritmetica è una media ponderata. Anche nel calcolo della varianza, e quindi la deviazione standard, si deve tener conto dei pesi dati dalle frequenze.

12 In presenza di una tabella delle frequenze dato x k frequenza x 1 f 1 x 2 f 2 f k per il calcolo della varianza e della deviazione standard si usa la formula Var = k i = 1 f i ( x k i = 1 f i x i ) 2, s = Var

13 Esempio Riprendiamo l esempio di ieri del giudizio degli studenti Giudizio Frequenza Avevamo calcolato una media aritmetica (ponderata) di 4,9. Si calcoli la deviazione standard.

14 Conviene considerare la seguente tabella, per facilitare i calcoli: Giudizio Frequenza x i 4,9 (x i 4,9)

15 Giudizio (x i ) Frequenza (f i ) x i 4,9 (x i 4,9) ,9 15, ,9 8, ,9 3, ,9 0, ,1 0, ,1 1, ,1 4, ,1 9, ,1 16, ,1 26,01

16 Vogliamo usare la formula Var = k i = 1 f i ( x k i = 1 f i x i ) 2, s = Var

17 Giudizio x i Frequenza f i x i 4,9 (x i 4,9) 2 f i (x i 4,9) ,9 15,21 152, ,9 8,41 168, ,9 3,61 108, ,9 0,81 20, ,1 0,01 0, ,1 1,21 30, ,1 4,41 110, ,1 9,61 192, ,1 16,81 50, ,1 26,01 52,02 somma: 884,4

18 Si ottiene dunque che Var = 884,4 / 200 = 4,42 e s = 2,10

19 Distribuzione a due caratteri e regressione lineare

20 Finora ci siamo concentrati su una sola caratteristica di una data popolazione (per esempio il giudizio degli studenti, l efficacia di un farmaco, ecc)

21 Consideriamo ora una situazione nuova. Vogliamo cioè studiare due caratteristiche di una data popolazione e vedere se c è una correlazione tra di esse.

22 Per esempio, dato un certo insieme di persone, studiamo due caratteristiche di questa popolazione: età pressione arteriosa L obiettivo è capire se c è una relazione tra queste due grandezze

23 Supponiamo che la nostra popolazione sia composta da n persone. Per ciascuna persona ci annotiamo - l età x i - la pressione y i

24 Età (x) Pressione (y)

25 In generale otteniamo così n coppie (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),. (x n,y n ) che individuano n punti P 1, P 2,. P n in un sistema di assi cartesiani

26 Si ottiene così una nube di punti. Essenzialmente può capitare uno dei seguenti 4 casi.

27

28 a) Nel primo caso, al crescere di x anche i corrispondenti valori di y tendono a crescere. Vi è quindi una correlazione positiva

29 b) Nel secondo caso, al crescere di x anche i corrispondenti valori di y tendono a diminuire. Si parla di correlazione negativa

30 c) Nel terzo caso, al crescere di x anche i corrispondenti valori di y tendono a rimanere costanti. Si parla di indifferenza della caratteristica y rispetto alla x

31 d) Nell ultimo caso la nube di punti evidenzia l assenza di alcuna correlazione tra i valori di x e di y

32 Il nostro obiettivo è di studiare i casi a) e b), cioè quando la nube di punti evidenzia una correlazione tra la variabile x e la y. Vogliamo trovare una legge matematica che esprima una tale correlazione.

33 Più precisamente vogliamo capire se è possibile esprimere la y come funzione lineare della variabile x

34 Tornando all esempio, rappresentiamo sul piano cartesiano le 7 coppie di punti che avevamo annotato

35 Età (x) Pressione (y)

36 Pressione Età

37 È quindi lecito supporre che possa esservi una relazione lineare tra età di una persona e pressione arteriosa. Vogliamo esprimere quantitativamente questa relazione lineare.

38 Il grafico di una funzione lineare è una retta. Quello che noi vogliamo trovare è quindi una retta che passi bene in mezzo ai punti P, P, P, e che 1 2 n quindi possa esprimere con la migliore approssimazione possibile la relazione tra la variabile x (età) e y (pressione).

39 Tale retta si chiama retta di regressione lineare Pressione Età

40 Esiste una tale retta? È unica? Come trovarne l equazione?

41 Consideriamo una generica retta y = mx +q In corrispondenza delle ascisse x 1, x 2,, x n le rispettive ordinate saranno y i = mx i + q

42 L errore che si commette nell approssimare la nostra serie di punti P 1 (x 1,y 1 ), P 1 (x 1,y 1 ), P n (x n,y n ) con i punti della retta y = mx + q è misurato dalla somma delle lunghezze y i (mx i + q)

43 Si dimostra che esiste un unica retta (cioè esistono unici m e q) affinché la quantità n i = 1 ( y i ( mx i + q 2 )) sia la più piccola possibile. Tale retta si chiama retta di regressione lineare.

44 Si dimostra che 1. Il coefficiente angolare della retta di regressione è dato dalla formula m n ( x i = i = 1 n i = 1 x ( x i )( y i x) 2 y )

45 2. La retta di regressione passa per il punto M( x, y ) cioè il punto (chiamato baricentro) le cui coordinate sono le medie aritmetiche delle ascisse e delle ordinate dei punti P 1 (x 1,y 1 ), P 2 (x 2,y 2 ),, P n (x n,y n ).

46 con Quindi l equazione della retta di regressione è y = mx + q m = n i = 1 ( x n i i = 1 x)( y ( x i i x) 2 y ), q = y mx

47 A titolo di esempio calcoliamo la retta di regressione per la serie di dati relativi alle osservazioni di età e pressione. Intanto si ha subito che x = 48,57 e y = 137,86

48 Età Pressione x i 48,57 y i 137,86 x y ,57-17, ,57-12, ,57-2, ,43 2, ,43 7, ,43 2, ,43 22,14

49 x i 48,57 y i 137,86 (x i 48,57 )(y i 137,86) (x i 48,5) 2-23,57-17,86 420,92 555,61-18,57-12,86 238,78 344,90-6,57-2,86 18,78 43,18 6,43 2,14 13,78 41,33 6,43 7,14 45,92 41,33 14,43 2,14 30,92 208,18 21,43 22,14 474,49 459,18 somma 1243, ,71

50 Quindi m = n i = 1 q = y ( x x )( y y ) n i i = 1 ( x x ) i i ,57 = = 0, ,71 mx = 137,9 0,73 48,57 = 102,4 La retta ha dunque equazione y = 0,73 x +102,4

51 Quanto la retta trovata approssima bene i dati? Cioè con quale bontà la retta di regressione riesce a dare una schematizzazione fedele del fenomeno?

52 Viene introdotto il seguente numero, chiamato coefficiente di correlazione (o coefficiente di Pearson) ( )( ) ( ) ( ) = = = = n i i n i i n i i i y y x x y y x x r

53 Si dimostra che 1 r 1. Quanto più r è vicino a 1 oppure a -1 tanto più i punti P 1, P 2,, P n sono vicini alla retta e la retta di regressione descrive con sempre maggiore approssimazione il fenomeno.

54 Quando r = 1 oppure r = -1, i punti P 1, P 2, P n sono allineati e sono punti appartenenti alla retta di regressione.

55 Invece, valori di r prossimi a 0 stanno a significare che non vi è alcuna correlazione lineare tra le due variabili x e y. Quindi la retta di regressione non è adatta per schematizzare il fenomeno.

56 Cionondimeno potrebbero esserci correlazioni di altro tipo (esponenziale, quadratica, ecc.) tra le due variabili.