Indici di Dispersione

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Olimpia Lanza
6 anni fa
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1 Indici di Dispersione Si cercano indici di dispersione che: utilizzino tutti i dati {x 1, x 2,..., x n } siano basati sulla nozione di scarto (distanza) dei dati rispetto a un centro d i = x i C ad esempio, rispetto alla media aritmetica d i = x i x rispetto a un dato d i = x i x j con alcune proprietà generali: l indice di dispersione non deve mai essere negativo assume il valore 0 se i dati sono tutti uguali non cambia se si aggiunge una costante ai dati

2 Varianza Varianza: è la media aritmetica (semplice o ponderata) dei quadrati degli scarti. Dato l insieme di valori {x 1, x 2,..., x n } Var = s 2 = 1 n (x i x) 2 Dato l insieme di valori {x 1, x 2,..., x m } con le rispettive frequenze assolute {f 1, f 2,..., f m } Var = s 2 = 1 n m f i (x i x) 2 dove n = m f i

3 Deviazione Standard Deviazione standard (o scarto quadratico medio): è la radice quadrata della varianza. s = 1 n (x i x) 2 oppure s = 1 n m f i (x i x) 2 Consente di avere un indice di dispersione espresso nella stessa unità di misura dei dati. Nota: applicando una trasformazione lineare ai dati y i = ax i +b s 2 y = a2 s 2 x, s y = a s x

4 Statistiche Campionarie Spesso gli indici statistici vengono applicati non all intera popolazione, ma a un suo campione. Si cerca di stimare (inferenza) nel miglior modo possibile le caratteristiche dell intera popolazione a partire dalle informazioni desunte da un campione rappresentativo. In questo caso si utilizzano le seguenti formule modificate: Varianza campionaria (stimata): s 2 = 1 n 1 (x i x) 2 Deviazione standard campionaria (stimata): s = 1 n 1 (x i x) 2

5 Esempio Riassuntivo

6 Esempio Riassuntivo Caso A x i f i f i /n media 5.00 mediana 5.00 varianza 4.00 varianza stimata 4.44 deviazione standard 2.00 deviazione standard stimata 2.11 Caso B x i f i f i /n media 5,00 mediana 5.00 varianza 8.00 varianza stimata 8.89 deviazione standard 2.83 deviazione standard stimata 2.98

7 Esercizi Esercizio 1. Trovare media, mediana, moda, varianza e deviazione standard dei seguenti dati non ordinati e non raggruppati. Tracciare l istogramma delle frequenze

8 Esercizi Soluzione: si costruisce la tabella della distribuzione di frequenza x f ass x = 1 ( ) = 8.6 s 2 = 1 ( s ) moda = 10.0 mediana = 8.5

9 Esercizi Esercizio 2. Nel rilevare l altezza in cm di un gruppo di reclute si è ottenuta la seguente tabella delle frequenze. Calcolare media, mediana e quartili. Soluzione: cm f ass f cum n = 44 dimensione del campione x media M e = x 22 +x 23 2 q 1 = x 11 +x 12 2 = 171 mediana = 170 primo quartile q 3 = x 33 +x 34 = 172 terzo quartile 2 q 3 q 1 = 2 distanza interquartile La distanza interquartile è un altro indice di dispersione, legato alla nozione di mediana. La mediana suddivide l insieme dei dati ordinati {x i } in due parti ugualmente numerose. I quartili si ottengono suddividendo i dati ordinati in quattro parti ugualmente numerose.

10 Esercizi Esercizio 3. Si consideri la seguente tabella relativa alle frequenze dei pesi in Kg di individui adulti. Peso p in Kg 50 p < p < 15 p < p < p < p < 7 f ass le classi sono di uguale ampiezza supponiamo che i dati siano uniformemente distribuiti all interno di ogni classe possiamo definire per ogni classe un rappresentante r i (class mark)

11 Esercizi Soluzione: calcoliamo la media e lo scarto quadratico medio utilizzando i valori dei rappresentanti. Calcoliamo il peso medio: p = 1 Peso p in Kg f i F i r i 50 p < p < p < p < p < p < ( ) = 63.7

12 Esercizi Calcoliamo la varianza e lo scarto quadratico medio: r i r i p (r i p) 2 f i s 2 = 1 ( ) 61.56Kg 2 s 7.85Kg

13 Media Varianza Deviazione Standard x media 1 n x i 1 n m f i x i s 2 varianza s dev. standard s 2 campionaria s 2 campionaria 1 n 1 n 1 n 1 (x i x) 2 1 n (x i x) 2 1 n 1 m 1 n (x i x) 2 1 n 1 (x i x) 2 f i (x i x) 2 m m 1 n 1 f i (x i x) 2 f i (x i x) 2 m f i (x i x) 2

14 Varianza Deviazione Standard Le espressioni della varianza (e della deviazione standard) possono essere riscritte come segue: s 2 = 1 n ( n x 2 i n x2 ) o s 2 = 1 n ( m f i x 2 i n x2 ) Infatti, (x i x) 2 = (x 2 i 2x i x+ x 2 ) = x 2 i 2 x n x i + x 2 = = x 2 i 2 x(n x)+n x2 = x 2 i n x2

15 Esercizio Un indagine su un campione di n = studenti, che hanno sostenuto la prova scritta di matematica, ha prodotto il seguente risultato. Le votazioni in centesimi sono state raggruppate in quattro classi. classe f i f i /n Le classi sono di uguale ampiezza e contigue.

16 Esercizio Nell ipotesi di distribuzione uniforme, è naturale associare a ciascuna classe, come rappresentante, il valore centrale r i della classe stessa. media = 1 classe r i f i F i ( ) = 66 mediana = 70 (guardando solo i rappresentanti) varianza = 1 ( ) = 21.44

17 Esercizio Poligono delle frequenze Ogiva di frequenza

18 Esercizio Calcolo della mediana: area totale= ( ) = 00 Cerchiamo il valore x = M e tale che 10+ +(x ) 50 = 0 x = 68 M e = 68

19 Esercizio Calcolo della mediana: interpolazione lineare sui punti A = (,30) e B = (,) y = 50 y 30 = 5 2 (x ) (50 30) = 5 2 (x ) x = 68 M e = 68 Domande: (a) qual è il voto massimo preso dal primo 10% degli studenti (quelli che hanno preso il voto pìı basso)? []

20 (b) Calcolare i quartili dall ogiva di frequenza. [q 1 = 55, q 2 = 78]

21 Esercizio

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