VENGONO DETTI QUANTILI

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1 Per conoscere la posizione che un valore occupa all interno di una distribuzione di frequenza si utilizzano Ü Ü DECILI Ü CENTILI VENGONO DETTI QUANTILI 1

2 VENGONO DETTI QUANTILI Questi indicatori richiedono che sia possibile operare su una distribuzione ordinata di frequenza E perciò NECESSARIO che la variabile sia misurata almeno su una scala ordinale 2

3 Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre: à 1 quartile Q 1 (o inferiore): valore al di sotto del quale cade il 25% dei casi Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre: à 2 quartile Q 2 (o mediano): valore al di sotto del quale cade il 50% dei casi 3

4 Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre: à 3 quartile Q 3 (o superiore): valore al di sotto del quale cade il 75% dei casi 25% 50% Q 1 Q 2 75% Q 3 4

5 Come si calcolano: 1. Si ordinano in senso crescente le modalità o i valori della variabile 2. Si calcolano le frequenze cumulate Come si calcolano: 3. Si calcola la posizione del quartile con le apposite formule 4. Si cerca nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata 5

6 Formule per il calcolo della posizione: Per il 1 quartile: N+ 1 posq 1 = 1 4 Per il 2 quartile N+ 1 posq 2 = 2 4 Per il 3 quartile: N+ 1 posq 3 = 3 4 Formule per il calcolo della posizione: Per il 2 quartile: posq 2 N+ 1 = 2 4 6

7 Formule per il calcolo della posizione: Per il 3 quartile: N+ 1 posq 3 = 3 4 NOTA BENE Il secondo quartile Q 2 corrisponde alla Mediana La Mediana è un indice di tendenza centrale e di posizione 7

8 ESEMPIO 15 soggetti hanno espresso il loro grado di adesione (da 1 a 7 punti) alla seguente affermazione: Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone I risultati sono: ESEMPIO Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone I risultati sono: Trovare il 1, 2 e 3 quartile 8

9 Punteggi f f cum Ricordiamo la formula N+ 1 posq 1 = posq 1 = 1 = 4 4 9

10 Q 1 Punteggi f f cum Pos Q 1 Il primo quartile, che occupa la 4 posizione nella distribuzione, è Q 1 = 2 10

11 Si procede in modo analogo per gli altri due Quartili posq 2 = 2 = posq 3 = 3 = 12 4 Q 2 Q 3 Punteggi f f cum Pos Q 2 Pos Q 3 11

12 Il secondo quartile, che occupa la 8 posizione nella distribuzione, è Q 2 = 4 Il terzo quartile, che occupa la 12 posizione nella distribuzione, è Q 3 = 6 12

13 Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti uguali. I decili sono nove: DECILI 1 decile: valore ad di sotto del quale cade il 10% dei casi 2 decile: valore al di sotto del quale cade il 20% dei casi 9 decile: valore al di sotto del quale cade il 90% dei casi DECILI SI PROCEDE COME PER I Formule per il calcolo della posizione: N+ 1 Per il 1 decile: posd 1 = 1 10 N+ 1 Per il 2 decile: posd 2 =

14 DECILI SI PROCEDE COME PER I Formule per il calcolo della posizione: N+ 1 Per il 9 decile: posd 9 = 9 10 DECILI ESEMPIO 11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi: Trovare il 3 e l 8 decile 14

15 DECILI Punteggi f f cum DECILI Calcoliamo la posizione del terzo decile posd 3 = 3 =

16 DECILI Il terzo decile sta tra la 3 e la 4 posizione (posd 3 = 3.6) quindi è un valore compreso tra 34 e 38. DECILI Come si procede: si moltiplica la differenza tra i due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3 posizione: 3.6 è 0.6 (38-34) x 0.6 = 4 x 0.6 =

17 DECILI Sommo questa quantità al valore corrispondente alla terza posizione: = 36.4 ç terzo decile DECILI Calcoliamo la posizione dell ottavo decile posd 8 = 8 =

18 DECILI Punteggi f f cum DECILI L ottavo decile sta tra la 9 e la 10 posizione (posd 8 = 9.6) quindi è un valore compreso tra 54 e 58 18

19 DECILI Moltiplico la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla 9 posizione: 9.6 è 0.6 (58-54) x 0.6 = 4 x 0.6 = 2.4 DECILI Sommo questa quantità al valore corrispondente alla nona posizione: = 56.4 ç ottavo decile 19

20 CENTILI Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti uguali. I centili sono novantanove: 15 centile: valore al di sotto del quale cade il 15% dei casi 45 centile: valore al di sotto del quale cade il 45% dei casi 99 centile: valore al di sotto del quale cade il 99% dei casi CENTILI COME PER I E I DECILI Formule per il calcolo della posizione: Per il 14 centile: posc 14 N+ 1 =

21 CENTILI COME PER I E I DECILI Formule per il calcolo della posizione: Per il 79 centile: posc 79 N+ 1 = CENTILI ESEMPIO 11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi: Trovare il 30 centile 21

22 CENTILI Punteggi f f cum posc 30 CENTILI N + 1 = posc 30 = 30 =

23 CENTILI Il trentesimo centile sta tra la 3 e la 4 posizione (posc 30 =3.6) quindi è un valore compreso tra 34 e 38. CENTILI Si procede così: si moltiplica la differenza tra i due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3 posizione: 3.6 è 0.6 (38-34) x 0.6 =

24 CENTILI Sommo questa quantità al valore corrispondente alla prima posizione: = 36.4 ç trentesimo centile CENTILI Il valore ottenuto è uguale al valore del terzo decile! C 30 = D 3 24

25 CENTILI Infatti al di sotto del 30 centile così come al di sotto del 3 decile cade il 30% dei valori della variabile Formula generale ( X li + PosQuantile " f licum) ( a f i ) i 25

26 Formula generale X li è il limite reale inferiore della classe che contiene il Quantile Formula generale f licum è la frequenza cumulata della classe precedente a quella che contiene il Quantile 26

27 Formula generale a i è l ampiezza della classe che contiene il Quantile Formula generale f i è la frequenza della classe che contiene il Quantile 27

28 ESEMPIO I voti di 82 studenti all esame di La misura in psicologia sono distribuiti così: Classi f

29 Vogliamo conoscere il valore mediano di tale distribuzione Dobbiamo perciò calcolare il valore del secondo quartile Q 2 Calcoliamo innanzitutto la posizione della mediana 82 PosQ 2 = x2 =

30 Classi f f cum Formula generale X li + ( PosQuantile flicum) ( a ) f i i 30

31 Classi f f cum a Limiti reali Applichiamo la formula ( 41 33) = Q 2 = Me =

32 Spiegazione tramite istogramma Costruiamo l istogramma della distribuzione Classi f f cum a h Limiti reali

33 Spiegazione tramite istogramma h Spiegazione tramite istogramma Calcolare le frequenze cumulate equivale a sommare le aree degli istogrammi 33

34 Spiegazione tramite istogramma La posizione che abbiamo trovato (41) equivale perciò ad un area Spiegazione tramite istogramma Per trovare il valore del secondo Quartile dobbiamo calcolare a che valore corrisponde in ascissa l area = 41 34

35 Spiegazione tramite istogramma Sommiamo le aree dei primi due Istogrammi: = 33 Per ottenere 41 manca un pezzo dell area del terzo istogramma: = 8 Spiegazione tramite istogramma Quest area si trova utilizzando la formula di calcolo dell area del rettangolo: base x altezza 35

36 Spiegazione tramite istogramma Nel nostro caso conosciamo l area (8) conosciamo l altezza (10) Troviamo facilmente la base 8/10 =0.8 Spiegazione tramite istogramma Il quartile cercato sarà allora: Q 2 = =

37 Spiegazione tramite istogramma h