Medie. Monia Ranalli. Ranalli M. Medie Settimana # 2 1 / 22

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Albana Fumagalli
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1 Medie Monia Ranalli Ranalli M. Medie Settimana # 2 1 / 22

2 Sommario Medie analitiche Media aritmetica Definizione Proprietà Medie di posizione Moda Definizione Proprietà Mediana Definizione Proprietà Calcolo della mediana per carattere quantitiativo continuo suddiviso in classi Quantili Quartli Percentili Ranalli M. Medie Settimana # 2 2 / 22

3 Media aritmetica Data una distribuzione, qual è il valore, o modalità, rappresentativo delle modalità che la variabile assume nelle diverse unità del collettivo? La media della distribuzione media aritmetica: data la distribuzione del carattere X, è data dalla somma delle modalità assunte dalla unità del collettivo divisa per la numerosità del collettivo stesso distribuzioni unitarie: µ = x 1 + x x n n distribuzioni di frequenze: µ = x 1n 1 + x 2 n x K n K n = 1 n K k=1 x kn k = K k=1 x kf k Ranalli M. Medie Settimana # 2 3 / 22

4 Media aritmetica - Esempio Quale sarebbe il reddito di ognuno se il reddito totale fosse equidistribuito? Distribuzione di frequenza Distribuzione unitaria Individuo Reddito (mila) Totale 15 Reddito (mila) n k x k n k Totale µ = 15 3 = 5 µ = = 2.44 Ranalli M. Medie Settimana # 2 4 / 22

5 Media aritmetica - Proprietà I riproduce il totale n µ = totale del carattere; è interna sempre compresa tra il max ed il min dei termini della distribuzione; annulla la somma degli scarti: se per ogni unità calcoliamo la differenza tra la modalità che questa presenta e la media (scarto), allora il totale degli scarti è sempre uguale a zero n i=1 (x i µ) = 0; rende minima la somma degli scarti al quadrato: la somma degli scarti al quadrato può essere interpretata come una misura della perdita di informazione che avviene nella sintesi della distribuzione in un solo valore. Minore è la perdita di informazione e maggiore sarà il grado di rappresentativit della media. Questo ci consente di interpretare la media aritmetica come il valore maggiormente rappresentativo dei termini della distribuzione. (min n i=1 (x i µ) 2 ) Ranalli M. Medie Settimana # 2 5 / 22

6 Media aritmetica - Proprietà II è un operatore lineare: se µ x è la media di x 1, x 2,..., x n e µ y è la media di y 1, y 2,..., y n, dove y i = a + bx i, allora µ y = a + bµ x ; è associativa: la media è la media delle medie. Se il collettivo è suddiviso in due parti di numerosità n 1 e n 2 con medie µ 1 e µ 2 allora risulta µ = 1 n (µ 1n 1 + µ 2 n 2 ). Esempio: media delle medie Reddito medio (mila) n k µ k n k 2, , Totale µ = = 7 Queste proprietà ci autorizzano a considerare la media aritmetica come un valore centrale della distribuzione. Svantaggio: è influenzata dai valori estremi. Ranalli M. Medie Settimana # 2 6 / 22

7 Moda moda: dato un carattere X di qualsiasi natura, è la modalità prevalente del carattere ossia quella a cui è associata la massima frequenza (assoluta, relativa o percentuale) Esempio # figli n i Totale 220 La moda è 2 Ranalli M. Medie Settimana # 2 7 / 22

8 Classe modale classe modale: moda per carattere suddiviso in classi per classi aventi stessa ampiezza è la classe alla quale corrisponde la frequenza più alta per classi aventi ampiezza diversa è la classe alla quale corrisponde la densità (rapporto tra frequenza ed ampiezza della classe) più alta Esempio Classi di Reddito (mila) n i La classe modale è 0 2 Classi di Reddito (mila) n i d i h i La classe modale è 0 1 Ranalli M. Medie Settimana # 2 8 / 22

9 Moda - Proprietà interna può essere calcolata per caratteri di qualsiasi tipo Svantaggio: non è necessariamente unica e può essere scarsamente rappresentativa. Esempio # figli n i Totale 220 Classi di Reddito (mila) n i d i h i Ranalli M. Medie Settimana # 2 9 / 22

10 Mediana La mediana è la modalità che divide in due il collettivo delle unitè ordinate in senso non decrescente distribuzione unitaria. Consideriamo la distribuzione x i, x 2,..., x n ed indichiamo con y i, y 2,..., y n i suoi termini ordinati in senso non decrescente: se n è dispari Me = y n+1 2 se n è pari Me = 1 ( yn y ) n+1 2 distribuzioni di frequenze. La mediana si calcola utilizzando le frequenze cumulate: è quella modalità x i per la quale risulta F i1 < 0.5 e F i 0.5 Ranalli M. Medie Settimana # 2 10 / 22

11 La mediana risulta essere pari a 4 Ranalli M. Medie Settimana # 2 11 / 22 Mediana - Esempio Individuo Reddito (mila) per prima cosa è necessario riordinare i termini in senso non decrescente 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Me = y 5 = 4 non necessariamente dobbiamo operare una scelta tra media aritmetica e mediana µ = 41/9 = 4.56

12 Mediana - Proprietà è interna; il numero di scarti positivi è uguale al numero di scarti negativi; Osservazioni La mediana è robusta, ossia poco influenzata dai valori estremi della distribuzione. Esempio: le due distribuzioni 1, 2, 3 e 1, 2, 100 hanno la stessa mediana ma una diversa media aritmetica. Questa proprietà è particolarmente utile quando sospettiamo la presenza di dati anomali. Nel caso di un collettivo di numerosità pari, se le due unità centrali presentano due modalità diverse, allora parleremo di modalità mediane. La mediana sfrutta solo l informazione relativa all ordinamento dei termini della distribuzione. Quindi possiamo calcolarla anche per caratteri qualitativi ordinati. Ranalli M. Medie Settimana # 2 12 / 22

13 Mediana - Esempio con Distribuzioni di Frequenze Distribuzione degli impiegati dello stato per qualifica funzionale Qualifica funzionale N k F k II III IV V VI VII VIII La mediana è la IV qualifica funzionale Ranalli M. Medie Settimana # 2 13 / 22

14 Calcolo della mediana per carattere quantitiativo continuo suddiviso in classi Quando le modalità sono raggruppate per classi occorre: individuare la classe mediana; assumere una uniforme distribuzione all interno delle classi; individuare esattamente la mediana all interno della classe: Me I Me F Me 1 F Me F Me 1 Me, dove I Me è l estremo inferiore della classe mediana (la classe che contiene l unità centrale); F Me 1 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente alla classe mediana; F Me è la frequenza relativa cumulata fino alla classe mediana; Me è lampiezza della classe mediana. Ranalli M. Medie Settimana # 2 14 / 22

15 Calcolo della mediana per carattere quantitiativo continuo suddiviso in classi Esempio Distribuzione del numero di impiegati per anni di servizio di un industria Classi n k N k F k Totale classe mediana: 5-10 I Me = 5; F Me 1 = 0.22; F Me = 0.61; Me = mediana: Me = 8.59 Ranalli M. Medie Settimana # 2 15 / 22

16 Quartili A partire dalla definizione di mediana - valore che separa il 50% dei valori pi piccoli dal 50% dei valori più grandi - possiamo introdurre altre quantità che ci aiutano a descrivere una distribuzione. In particolare definiamo: I quartile (q 1 ): valore che separa il 25% dei valori più piccoli dal 75% dei valori più grandi; II quartile (q 2 ): mediana; III quartile (q 3 ): valore che separa il 75% dei valori più piccoli dal 25% dei valori più grandi. Ranalli M. Medie Settimana # 2 16 / 22

17 Calcolo dei Quartili distribuzione unitaria. Consideriamo la distribuzione y 1, y 2,..., y n, dove i termini sono stati ordinati in senso non decrescente. Per ottenere l-mo quartile dobbiamo: l individuare l intero i tale che: i 1 4 n i; porre: ql = (y i 1 + y i )/2 se i 1 = n l/4, q l = y i altrimenti. distribuzioni di frequenze. Le precedenti regole diventano: individuare l intero i tale che: F i 1 l 4 F i; porre: q l = (x i 1 + x i )/2 se F i 1 = l/4, q l = x i altrimenti; coincide con il precedente se F i = i/n. caratteri suddivisi in classi: q l I ql + k F q l 1 ql, F ql F ql 1 con k = 0.25, 0.5, Osservazioni non sono medie in quanto non indicano una tendenza centrale possono essere calcolati anche per variabili qualitative ordinate Ranalli M. Medie Settimana # 2 17 / 22

18 Quartili - Esempio. Distribuzione unitaria Individuo Reddito (mila) per prima cosa è necessario riordinare i termini in senso non decrescente 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, = 2.25 i = 3 q 1 = = 4.5 i = 5 q 2 = = 6.75 i = 7 q 3 = 6 Ranalli M. Medie Settimana # 2 18 / 22

19 Quartili - Esempio. Distribuzioni di frequenze Distribuzione degli impiegati dello stato per qualifica funzionale Qualifica funzionale N k F k II III IV V VI VII VIII q 1 : III qualifica funzionale q 2 : IV qualifica funzionale q 3 : IV qualifica funzionale Ranalli M. Medie Settimana # 2 19 / 22

20 Quartili - Esempio. Carattere suddiviso in classi Distribuzione del numero di impiegati per anni di servizio di un industria Classi n k N k F k Totale q = q = q = Ranalli M. Medie Settimana # 2 20 / 22

21 Percentili Definiamo percentili quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità q 1 risulta essere il 25-esimo percentile q 2 risulta essere il 50-esimo percentile q 3 risulta essere il 75-esimo percentile Esempio Distribuzione delle famiglie per numero di figli # Figli Totale f k F k mo percentile: x 0.10 = 0 35-esimo percentile: x 0.35 = 1 90-esimo percentile: x 0.90 = 3 Ranalli M. Medie Settimana # 2 21 / 22

22 Percentili - Esempio Carattere suddiviso in classi Distribuzione del numero di impiegati per anni di servizio di un industria Classi n k N k F k Totale Formula generale: q p I qp + p F q p 1 qp, F qp F qp 1 quinto percentile p = 0.05 q = 0.83 ottavo decile p = q = Ranalli M. Medie Settimana # 2 22 / 22

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