Statistica Esercitazione. alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

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1 Statistica Esercitazione alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

2 Obiettivo Esercizio 1. Analizzeremo la distribuzione delle famiglie italiane, classificate per numero di componenti il nucleo familiare, rilevata in occasione dell ultimo censimento (2011) In particolare, a partire dal prospetto di sintesi, svolgeremo le seguenti attività: Impostazione del prospetto di calcolo Costruzione della distribuzione delle frequenze relative e della distribuzione cumulata Rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza Calcolo dell indice di eterogeneità di Gini Calcolo di medie di posizione (moda, alcuni quantili) e di calcolo (media aritmetica) Calcolo di misure di dispersione (range, differenza interquartile, varianza, scarto quadratico medio) Esempio di applicazione della disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv Pagina 2

3 Data set Tabella 1 - Le famiglie italiane per numero di componenti. Italia. Censimento 2011 Numero di componenti e più Totale Pagina 3

4 Analisi preliminare La distribuzione delle famiglie classificate per numero di componenti è una variabile categoriale ordinata (contiene la categoria «6 e più» ) che assume k = 6 modalità distinte, ma può essere facilmente trasformata in una variabile quantitativa discreta con un semplice accorgimento, sostituendo all ultima modalità del carattere il valore x 6 = 6,5: tale procedura, come si ricorderà, prende il nome di «correzione per continuità». Riflettiamo adesso sulla strategia da seguire per impostare la tabella di calcolo: la distribuzione delle frequenze assolute è ovviamente non unitaria, quindi laddove richiesto applicheremo formule di calcolo ponderate (media aritmetica ponderata, varianza ponderata, ecc.); le frequenze assolute sono nell ordine di 10 7 (infatti sono quantità per lo più comprese tra 10 6 e 10 7 e il totale delle osservazioni è prossimo a 2, ), quindi per semplificare i calcoli appare sensato lavorare con le frequenze relative, approssimate alla quarta cifra decimale; il fenomeno analizzato è definito su uno spazio numerico discreto, cioè assumente un numero finito di modalità, quindi non sarà necessario applicare tecniche di interpolazione per individuare un valore «puntuale» dei vari parametri di posizione; per individuare i quantili della distribuzione, dovremo aggiungere una colonna per le frequenze relative cumulate; per determinare l indice di eterogeneità, sarà necessario includere nel prospetto di calcolo le frequenze relative al quadrato Pagina 4

5 Formulario Frequenze relative: f = N i n Frequenze relative cumulate: c j = j=1 f j Indice di eterogeneità di Gini: i G = k 1 k k 1 =1 Moda: Mo = x : f = max f f = f 1,, f k Quantili: M α = x : c α. In particolare: Q 1 = M 0,25 = x : c 0,25 (primo quartile) Q 2 = M 0,5 = x : c 0,50 (mediana) Q 3 = M 0,75 = x : c 0,75 (terzo quartile) k Media aritmetica ponderata: μ = =1 x f Range: R = max x min x Differenza interquartile: Δ Q = Q 3 Q 1 Varianza: σ 2 k = =1 x 2 μ 2 Scarto quadratico medio: σ = σ 2 Coefficiente di variazione: CV = σ μ f 2 Disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv: Fr X μ < kσ 1 1 k 2 Pagina 5

6 Organizzazione del prospetto di calcolo Tabella 2 - Esempio di organizzazione del prospetto di calcolo x f f 2 c x f x 2 x 2 f , Totale Pagina 6

7 Prospetto di calcolo Svolgiamo i calcoli necessari a completare il precedente prospetto: Tabella 3 - Prospetto di calcolo x f f 2 c x f x 2 x 2 f ,3115 0,0971 0,3115 0, , ,2708 0,0734 0,5824 0, , ,1988 0,0395 0,7811 0, , ,1616 0,0261 0,9428 0, , ,0431 0,0019 0,9858 0, ,0771 6, ,0142 0,0002 1,0000 0, ,25 0,5984 Totale ,0000 0,2381-2,4034-7,4451 Pagina 7

8 Calcolo dell indice di eterogeneità di Gini k Poiché la somma dei quadrati delle frequenze relative risulta pari a =1 f 2 = 0,2381, è immediato determinare la misura assoluta di eterogeneità, data da m G = 1 k =1 f 2 = 1 0,2381 = 0,7619 Osservando poi che il carattere «numero di componenti il nucleo familiare» si articola in k = 6 modalità distinte, la misura di eterogeneità relativa sarà pari a i G = k k 1 m G = 6 0,7619 0, Poiché il valore dell indice di eterogeneità tende ad assumere un valore prossimo all unità, nel collettivo osservato la distribuzione del carattere presenta una marcata eterogeneità Pagina 8

9 Calcolo delle misure di tendenza centrale Moda Poiché il valore massimo di frequenza assoluta (e relativa) si presenta in corrispondenza della prima modalità del carattere (x 1 = 1), avremo che: Quantili Mo = x : f = max f = 1 Dall esame della distribuzione delle frequenze relative cumulate, è agevole verificare che Q 1 = M 0,25 = x : c 0,25 = 1 Q 2 = M 0,5 = x : c 0,50 = 2 Q 3 = M 0,75 = x : c 0,75 = 3 Media aritmetica ponderata Ricordando che abbiamo deciso di lavorare con le frequenze relative, una volta svolti i prodotti modalità frequenza relativa e aver sommato gli elementi della relativa colonna di calcolo, otteniamo che μ = k =1 x f = 2,4034 Pagina 9

10 Calcolo delle misure di dispersione Range Osservando che min x = x 1 = 1 e max x = x 6 = 6,5, procediamo al semplice calcolo del range: Differenza interquartile R = x 6 x 1 = 6,5 1 = 5,5 Poiché abbiamo già determinato in precedenza tutti gli elementi necessari per il calcolo di Δ Q, scriveremo che Varianza Δ Q = Q 3 Q 1 = 3 1 = 2 Applichiamo il metodo dei momenti per il calcolo della varianza. Infatti, utilizzando tale procedura è superfluo calcolare gli scarti dalla media aritmetica, gli scarti al quadrato e le relative quantità ponderate, e sarà sufficiente determinare la somma ponderata delle modalità al quadrato, a cui sottrarremo il quadrato della media aritmetica ottenuto in precedenza: σ 2 = k =1 x 2 μ 2 = 7,4451 2, = 7,4451 5,7763 1,6688 Pagina 10

11 Calcolo delle misure di dispersione Scarto quadratico medio Ricordando che lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza, avremo che: Coefficiente di variazione σ = σ 2 = 1,6688 = 1,2918 Il coefficiente di variazione, come si ricorderà, è una misura adimensionale di dispersione, in quanto espresso in termini di un numero pure e non in termini dell unità di misura che caratterizza il fenomeno analizzato, quindi è la misura più adatta per svolgere confronti con lo stesso fenomeno rilevato su un altro collettivo: CV = σ μ = 1,2918 2,4034 0,5375 Pagina 11

12 Disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv Come si ricorderà, la disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv ci consente di fare alcune affermazioni di massima circa la massa di frequenze relative che si concentra attorno ad un qualche intervallo (aperto, non comprendente cioè gli estremi) di valori attorno alla media di una distribuzione, noti soltanto la media aritmetica μ e lo scarto quadratico medio σ. Più in particolare, avremo che: Fr X μ < kσ 1 1 k 2 k > 1 Esplicitando la relazione in modulo in forma di disuguaglianza bilaterale, potremo quindi scrivere che Fr μ kσ < X < μ + kσ 1 1 k 2 k > 1 Nel nostro caso, con μ = 2,4034 e σ = 1,2918, fissato il valore k = 1,5, potremo scrivere che ovvero Fr 2,4034 1,5 1,2918 < X < 2, ,5 1, ,5 2 Fr 0,4657 < X < 4, ,5 2 Pagina 12

13 Disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv e quindi Fr 0,4657 < X < 4, ,4444 = 0,5556 Poiché il fenomeno analizzato è il «numero di componenti il nucleo familiare», arrotondando per difetto gli estremi, possiamo considerare come estremo inferiore la quantità inf I = 0 e come estremo superiore la quantità sup I = 4. Quindi, la disuguaglianza può essere letta come segue: nell intervallo aperto di valori compreso tra 0 e 4 si concentra una «massa» di casi (cioè di frequenze relative) non inferiore al 55,56% del totale. È un affermazione necessariamente imprecisa, in quanto individua un limite inferiore ad una massa di frequenze, ma appare molto potente, considerato che si basa su un set di informazioni estremamente limitato. Infatti, con riferimento alla distribuzione analizzata, a noi nota in realtà, la «massa» di casi compresa tra il valore 1 e il valore 3 (consideriamo tali estremi allo scopo di «chiudere» l intervallo) sarà data da f 1 + f 2 + f 3 = 0, , ,1988 0,7811 Notare che in base alla disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšëv, non conoscendo la distribuzione delle frequenze ma soltanto due parametri distributivi (media e s.q.m.) l intervallo deve contenere «almeno» il 55,56% dei casi, mentre conoscendo la distribuzione sappiamo che in tale intervallo si concentrano il 78,11% delle osservazioni. Pagina 13

14 Riepilogo Giunti a questo punto, possiamo organizzare un riquadro di statistiche riepilogative, contenente anche l ortogramma a barre (che ci consente di rappresentare graficamente la distribuzione delle frequenze relative). Il riquadro potrebbe essere strutturato come segue: STATISTICHE RIEPILOGATIVE i G = 0,9143 Mo = 1 m = 2,4034 M 0,25 = 1 M 0,50 = 2 M 0,75 = 3 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 R = 5,5 s 2 = 1,6688 s = 1,2918 D Q = 2 CV = 0,5375 0,10 0,05 0, ,5 Pagina 14