Corso di Statistica: ESERCITAZIONI

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1 Corso di Statistica: ESERCITAZIONI Nicole Triunfo a.a: 2013/2014 Università degli Studi di Napoli Federico II

2 Esercitazioni di STATISTICA Gli indici di posizione

3 Gli indici di posizione Gli indici di posizione, sintetizzano la posizione di una distribuzione di frequenza mediante un valore reale rappresentativo della globalità del fenomeno, e tale da riassumerne gli aspetti ritenuti più importanti. Gli indici di posizione si distinguono in Medie analitiche: media aritmetica, media ponderata, media geometrica, etc; Medie posizionali: moda, mediana, quantili.

4 Esercizio n.1 Determinare la media aritmetica della seguente successione di numeri: 12, 15, 19, 23, 28 La media aritmetica è : Valore medio Quando la frequenza delle unità statistiche è pari ad 1 Media µ = = 97 = 19,4 5 5 è il numero di unità statistiche considerate

5 Esercizio n.2 Nella tabella seguente è riportata la distribuzione delle famiglie per numero di componenti in un dato comune, calcolare il numero medio di componenti delle famiglie. Numero di compone nti Famiglie N.B. x i n i 153 x i n i step step µ = 7309 = 3, Totale

6 Esercizio n.3 Calcolare l età media degli iscritti ad un associazione sportiva, sulla base dei dati che si evincono dalla tabella seguente: Classi di età Iscritti Oltre Totale 639 Per il calcolo della media aritmetica è necessario introdurre un ipotesi: che in ogni classe di età, le unità rilevate siano concentrate nel valore centrale della classe. x i = x i + x i+1 / 2 1= apprendista; 2= operaio; 3=impiegato; 4= dirigente

7 Esercizio n.3 Calcolare l età media degli iscritti ad un associazione sportiva, sulla base dei dati che si evincono dalla tabella seguente: Classi di età Iscritti Oltre Totale 639 x i = / 2 x i n i x i n i , µ= 20750/639 = 32,47

8 Esercizio n.4 Sia data la seguente tabella, determinarne la moda. Numero di compone nti Famiglie La moda di una distribuzione è la modalità del carattere cui corrisponde la massima frequenza. x i n i Totale 1880 Scorrendo lungo la colonna delle frequenze, la moda è la modalità 4 poiché ad essa corrisponde la frequenza massima n i =564

9 Esercizio n.5 Classi di età Fumatori Totale 100 La tabella seguente riporta la distribuzione di 100 fumatori per classi di età, determinare l età modale. Per variabili continue si distingue: - Se le classi di modalità hanno uguale ampiezza, la moda cade in quella con maggiore frequenza; -Se le classi di modalità hanno diversa ampiezza, la moda cade nella classe con maggiore densità di frequenza; e generalmente si usa la seguente formula: Mo= L 1 + ( 1 / ) c Dove: L 1 è il confine inferiore della classe modale; 1 è l eccesso della frequenza modale sulla frequenza della classe immediatamente inferiore; 2 è l eccesso della frequenza modale sulla frequenza della classe immediatamente superiore; c è l ampiezza della classe modale;

10 Esercizio n.5 Classi di età Fumatori Totale 100 La tabella seguente riporta la distribuzione di 100 fumatori per classi di età, determinare l età modale. Le classi hanno uguale ampiezza, quindi la classe modale è la quinta, ad essa corrisponde la frequenza massima (29). Mo= L 1 + ( 1 / ) c Dove: L 1 = 45,5 1 = 10 2 = 12 c = 4 Mo = 45,5 + (10/ 10+12). 4 = 47,32

11 Esercizio n.6 Determinare la mediana della seguente successione di numeri: 12,15,19,23,28 1 step: ordinare in ordine crescente la successione di numeri (distribuzione di frequenze). 2 step: verificare se la numerosità è in numero pari o dispari Siccome i dati sono in ordine crescente e sono in numero dispari (5), la mediana è individuata dal posto centrale: C = (n+1)/2 C = (5+1)/ 2= 3 Me = 19

12 Esercizio n.7 Sia data la seguente tabella, determinare la mediana. x i n i Totale 14 La mediana è compresa tra il 7 e 8 posto, poiché entrambi si riferiscono alla modalità 8 si ha : Me= 8 Siccome n è pari (14) è necessario calcolare i posti centrali: C 1 = n/2 ; C 2 = (n/2)+1 C 1 = 14/2 = 7 ; C 2 = (14/2)+1=

13 Esercizio n.8 La tabella seguente riporta la distribuzione delle persone partecipanti ad un viaggio organizzato per classi di età: Classi di età n. di partecipan ti e oltre 40 Totale 207 Determinare l età mediana. Per variabili continue la mediana si calcola: Me = L 1 + [(n/2) ( n i ) / f mediana]c Dove: L 1 è il confine inferiore della classe mediana; n è la frequenza totale; ( n i ) è l accumulo di tutte le classi inferiori alla classe mediana; f mediana è la frequenza della classe mediana; c è l ampiezza della classe mediana;

14 Esercizio n.8 Classi di età n. di partecipan ti e oltre 40 Totale 207 Frequenze cumulate La classe mediana è la classe 45-46, in quanto è la prima a cui corrisponde una frequenza cumulata superiore a n/2 (103,5). Per la determinazione della mediana si consideri che: L 1 = (44+45)/2= 44,5 n = 207 ( n i )= 87 Me= 44,5[(207/2-87) / 80].20 = 48,62 f = 80 c = 20

15 Esercizio n.9 La tabella seguente riporta la distribuzione di 125 atleti per classi di altezza (in cm): Classi di altezze n. di atleti Totale 125 Determinare: a) Il primo quartile b) Il secondo quartile c) Il terzo quartile Q 1 = L Q1 + [(n/4) ( n i ) Q1 /f Q1 ]c Dove: L Q1 è il confine inferiore della classe che contiene il primo quartile; n è la frequenza totale; ( n i ) Q1 è l accumulo delle frequenze delle classi inferiori alla classe che contiene il primo quartile; f Q1 è la frequenza della classe che contiene il primo quartile; c è l ampiezza della classe che contiene il primo quartile;

16 Esercizio n.9 Classi di altezze n. di atleti Totale 125 Frequenze cumulate La classe che contiene il primo quartile è la seconda essendo: 125/4= 31,25, ed essendo la sua frequenza cumulata pari a 32. Q 1 = 175,5 + [(31,25-14)/18 ]. 5= 180,292

17 Esercizio n.9 Classi di altezze n. di atleti Totale 125 Frequenze cumulate La classe che contiene il secondo quartile è la seconda essendo: 125/2= 62,5, ed essendo la sua frequenza cumulata pari a 93. Q 2 = Me = 185,5 + [(62,5-60)/33 ]. 5= 185,88

18 Esercizio n.9 Classi di altezze n. di atleti Totale 125 Frequenze cumulate La classe che contiene il secondo quartile è la seconda essendo: (3/4)125= 93,75, ed essendo la sua frequenza cumulata pari a 110. Q 3 = 190,5 + [(93,75-93)/17 ]. 5= 190,721