Lezione 4. Statistica. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Lezione 4. A. Iodice. Indici di posizione.

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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 28

2 Outline 1 Indici 2 3 mediana distribuzioni 4 5 () Statistica 2 / 28

3 Indici robusti (o ): La moda di una distribuzione di frequenze si indica con Mo e corrisponde allità con la frequenza assoluta (relativa) più alta Esempio Dato un collettivo di 10 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: {1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 1} risulta Mo = 4, dal momento che lità 4 presente cinque volte nel collettivo. () Statistica 3 / 28

4 Indici robusti (o ): classe modale E possibile calcolare anche per variabili quantitative continue raggruppate in : se le sono di ampiezza diversa si fa riferimento alla densità di frequenza e non alla frequenza di ciascuna classe. () Statistica 4 / 28

5 Indici robusti (o ): la mediana M e di una distribuzione corrisponde allità osservata sulla unità statistica centrale nella distribuzione ordinata delle osservazioni variabile X discreta Si considerino le osservazioni ordinate dal valore minimo x 1 al valore massimo x n, la mediana Me sar data da { x( n+1 2 Me = ) se n dispari x ( n 2 ) +x ( n 2 +1) 2 se n pari () Statistica 5 / 28

6 per (dati in distribuzione unitaria) Esempio (n dispari) Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: {29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5} che ordinata in modo crescente diventa {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} la mediana è data dallità che occupa la n+1 2 = 16/2 = 8, vale a dire Me = 18 () Statistica 6 / 28

7 per (dati in distribuzione unitaria) Esempio (n pari) Dato un collettivo di 12 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: {34, 42, 1, 34, 19, 42, 25, 35, 21, 15, 9, 10} che ordinata in modo crescente diventa {1, 9, 10, 15, 19, 21, 25, 34, 34, 35, 42, 42} la mediana data dalla semi somma delle modalità che occupano le posizioni n 2 = 12/2 = 6 e n = (12/2) + 1 = 7, vale a dire Me = = 46 2 = 23 () Statistica 7 / 28

8 per (dati organizzati in frequenze) Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una distribuzione di frequenze (seriazione) l individuazione della modalità assunta dall unità statistica di posto centrale risulta agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le modalità di X in modo crescente). individuare lità x (i 1) tale che F (x (i 1) ) < 0.5 F (x (i) ) 0.5 data da Me = x i : tra le n i unità statistiche che presentano lità x i ci saranno quelle centrale (o delle posizioni centrali se n dispari) () Statistica 8 / 28

9 per (dati organizzati in frequenze) Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una distribuzione di frequenze (seriazione) l individuazione della modalità assunta dall unità statistica di posto centrale risulta agevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le modalità di X in modo crescente). individuare lità x (i 1) tale che F (x (i 1) ) < 0.5 F (x (i) ) 0.5 data da Me = x i : tra le n i unità statistiche che presentano lità x i ci saranno quelle centrale (o delle posizioni centrali se n dispari) () Statistica 8 / 28

10 per (dati organizzati in frequenze) () Statistica 9 / 28

14 Quantili di una distribuzione corrisponde allità assunta dall unità statistica che bipartisce la distribuzione ordinata delle osservazioni Il 50% delle unità statistiche si trova alla sinistra della mediana, l altro 50% alla sua destra. Analogamente possibile definire i seguenti quantili di una distribuzione. primo quartile Q 1 : corrisponde allità assunta dall unità statistica per la quale 25% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori secondo quartile Q 2 : coincide con la mediana terzo quartile Q 3 : corrisponde allità assunta dall unità statistica per la quale 75% delle unità statistiche presenta valori ad essa inferiori decili: le soglie sono in questo caso 10%, 20%, 30%, 40%,... i generalizzazione dell indice a qualunque percentuale della distribuzione () Statistica 10 / 28

15 Quantili di una distribuzione Regola generale per il calcolo: ordinare le modalità in modo crescente calcolare l indice i come segue: i = ( α 100) n dove α è il percentile di interesse, n è il numero di modalità se i è un intero, il valore corrispondente a α è la media tra la i e la i + 1 se i non è un intero, arrotondare per eccesso ottenendo i ; il valore di interesse è quello corrispondente alla i () Statistica 11 / 28

16 Quartili in distribuzione unitaria) Esempio Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la seguente serie di osservazioni: {29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5} che ordinata in modo crescente diventa {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} calcolare i quartili, il 68 o e il 20 o percentile. Q1 corrisponde a α = 25, n = 15; i = ( ) ( α 100 n = 25 ) = Poichè i non è intero, si arrotonda per eccesso, dunque i = 4, il valore corrispondente alla 4 è Q1=13. () Statistica 12 / 28

17 Quartili in distribuzione unitaria) Esempio (2) {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} calcolare i quartili, il 68 o e il 20 o percentile. Q2 corrisponde a α = 50, n = 15; i = ( ) ( α 100 n = 50 ) = 7.5. Poichè i non è intero, si arrotonda per eccesso, dunque i = 8, il valore corrispondente alla 8 è Q2=18. Q3 corrisponde a α = 75, n = 15; i = ( ) ( α 100 n = 75 ) = Poichè i non è intero, si arrotonda per eccesso, dunque i = 12, il valore corrispondente alla 12 è Q3=25. α = 68, n = 15; i = ( ) ( α 100 n = 68 ) = Poichè i non è intero, si arrotonda per eccesso, dunque i = 11, il valore corrispondente alla 11 è 24. α = 20, n = 15; i = ( α 100 ) n = ( ) 15 = 3. Poichè i è intero, si effettua la media dei valori i = 3 e i + 1 = 4; dunque = 10. () Statistica 13 / 28

18 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Per calcolare il valore del percentile α si ricorre al calcolo dell equazione della retta passante per due punti. Retta passante per due punti Dati due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ), l equazione dell unica retta passante per P 1 e P 2 è descritta dalla seguente equazione si ottiene la seguente equazione (x 2 x 1 ) (y y 1 ) (y 2 y 1 ) (x x 1 ) = 0 x (y 2 y 1 ) x 1 (y 2 y 1 ) = (x 2 x 1 ) (y y 1 ) se y 1 y 2 l equazione può essere riscritta in forma esplicita x(y 2 y 1 ) = x 1 (y 2 y 1 ) + (x 2 x 1 ) (y y 1 ) da cui x = x 1 (y 2 y 1 ) (y 2 y 1 ) + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) () Statistica 14 / 28

19 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Retta passante per due punti (epilogo...) x = x 1 (y 2 y 1 ) (y 2 y 1 ) + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) la forma esplicita dell equazione della retta passante per due punti è x = x 1 + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) () Statistica 15 / 28

20 per variabili suddivise in Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in chilogrammi. f.abs f.rel cum.f.abs F(x) fino a (50,55] (55,60] (60,65] (65,70] (70,75] (75,80] (80,85] (85,90] oltre () Statistica 16 / 28

21 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Si supponga di voler calcolare il 72 mo percentile, ovvero sia α = Individuare graficamente il percentile α () Statistica 17 / 28

22 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Utilizzo dell Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di partizione contenente l α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione della retta x = x 1 + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) In questo, per α = 0.72 risulta P 1 = (x 1 = 70, y 1 = 0.65) P 2 = (x 2 = 75, y 2 = 0.8) y = α = 0.72 x =?, è il valore del percentile che si vuole trovare () Statistica 18 / 28

23 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Utilizzo dell Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di partizione contenente l α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione della retta x = x 1 + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) sostituendo le quantità note x = 70 + ( ) (75 70) = ( ) () Statistica 19 / 28

24 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) approssimazione del valore di un generico percentile tramite F (x) F. di ripartizione α F (x 1 ) x α x 1 + (x 2 x 1 ) F (x 2 ) F (x 1 ) x 2 è lità per la quale F (x 2 ) α x 1 è lità per la quale F (x 2 ) < α () Statistica 20 / 28

25 per variabili continue (suddivise in ) Nel caso di variabili continue, la suddivisione in delle modalità del carattere consente l identificazione della classe mediana: in tale classe cadrà lità assunta dall unità statistica che occupa la centrale della distribuzione ordinata delle modalità () Statistica 21 / 28

26 per variabili continue (suddivise in ) Nel caso di variabili continue, la suddivisione in delle modalità del carattere consente l identificazione della classe mediana: in tale classe cadrà lità assunta dall unità statistica che occupa la centrale della distribuzione ordinata delle modalità approssimazione del valore M e (tramite F (x) F. di ripartizione) Me x i 1 + (x i x i 1 ) 0.5 F (x i 1) F (x i ) F (x i 1 ) x i lità per la quale F (x i ) 0.5 x i 1 lità per la quale F (x i 1 ) < 0.5 () Statistica 21 / 28

27 per variabili continue (suddivise in ) () Statistica 22 / 28

31 per variabili continue (suddivise in ) Trovati i valori x i, x i 1, F (x i ) e F (x i 1 ) possibile ricavare il valore approssimato di M e () Statistica 23 / 28

32 per variabili continue (suddivise in ) Trovati i valori x i, x i 1, F (x i ) e F (x i 1 ) possibile ricavare il valore approssimato di M e Me x i 1 + (x i x i 1 ) 0.5 F (x i 1) F (x i ) F (x i 1 ) = = 80 + (100 80) = = = () Statistica 23 / 28

33 Proprietà della mediana la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio () Statistica 24 / 28

34 Proprietà della mediana la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio la mediana minimizza la somma degli scarti in valore assoluto. Dato un valore c, n x i c i=1 minima se (e solo se) c Me. () Statistica 24 / 28

35 Proprietà della mediana la mediana sempre un valore osservato su una delle unità statistiche oggetto di studio la mediana minimizza la somma degli scarti in valore assoluto. Dato un valore c, n x i c i=1 minima se (e solo se) c Me. resistenza della mediana ai valori estremi () Statistica 24 / 28

36 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Utilizzo dell per il calcolo dei quartili In questo caso α = 0.25 sostituendo le quantità note x = 50 + x = x 1 + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) ( ) ( ) (55 50) = = Q 1 () Statistica 25 / 28

37 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Individuare graficamente il valore corrispondente ad α () Statistica 26 / 28

38 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Utilizzo dell per il calcolo dei quartili In questo caso α = 0.75 sostituendo le quantità note x = 70 + x = x 1 + (y y 1) (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ) ( ) ( ) (75 70) = = Q 3 () Statistica 27 / 28

39 Calcolo di variabili continue (suddivise in ) Individuare graficamente il valore corrispondente ad α () Statistica 28 / 28