Statistica Medica. Sez. 1 - Analisi esplorativa dei dati. Statistica Medica p.1/39

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1 Statistica Medica Sez. 1 - Analisi esplorativa dei dati Statistica Medica p.1/39

2 La sommatoria Il simbolo è noto come sommatoria. n i=1 x i = x 1 + x x n 1 + x n Proprietà fondamentali sono ( n n cx i = c i=1 i=1 x i ) b x i = x a se a = b e n c = nc i=a i=1 Statistica Medica p.2/39

3 Unità e variabili statistiche Il soggetto su cui vengono misurate le variabili di interesse è l unità statistica dello studio Le variabili possono essere Continue Discrete Binarie Categoriche Conteggio Statistica Medica p.3/39

4 Descrizione di una variabile Misure di centralità Misure di dispersione (variabilità) Statistica Medica p.4/39

5 Centralità: media aritmetica Data una variabile x, misurata su n soggetti, la media aritmetica campionaria è pari a x = 1 n n i=1 x i È molto sensibile ai valori estremi, e in tal caso non è una buona misura di centralità. È un operatore lineare, valendo se y i = c 1 x i + c 2 i allora ȳ = c 1 x + c 2 Statistica Medica p.5/39

6 DataSet 1 - Peso alla nascita Si è osservato il peso alla nascita dei bambini (20) nati vivi in una data settimana in un ospedale privato di San Diego (California) VAR/CASE BW CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: Statistica Medica p.6/39

7 DataSet 1 - Media artimetica x = 3265 sostituendo il peso #1 con 500g si ottiene x = Statistica Medica p.7/39

8 Misure di centralità: mediana Si supponga che le n osservazioni siano ordinate. La mediana campionaria è la ( n+1 2 )-ma osservazione se n è dispari la media aritmetica della ( n 2 )-ma e la ( n 2 + 1)-ma osservazione se n è pari Statistica Medica p.8/39

9 DataSet 1 - Mediana Siccome n è pari, la mediana è la media della 10-ma e 11-ma osservazione ordinata Mediana = = Statistica Medica p.9/39

10 DataSet 2 - Globuli bianchi Conteggio dei globuli (x1000) bianchi all ammissione di 9 pazienti in Allentown (Pennsylvania) VAR/CASE WB CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: La mediana è pari a 8. Statistica Medica p.10/39

11 Confronto media-mediana Statistica Medica p.11/39

12 Confronto media-mediana (cont.) Si ha quindi l indice di skewness Skewness = Media Mediana e la distribuzione sarà simmetrica se Skewness 0 asimmetrica a sinistra se Skewness > 0 asimmetrica a destra se Skewness < 0 Statistica Medica p.12/39

13 La moda La moda è il valore di una variabile che si osserva con maggiore frequenza in un determinato campione Una distribuzione può essere unimodale, bimodale, trimodale,... Giorni tra due periodi mestruali consecutivi in un campione di donne giovani (18-25 anni) GG n GG n GG n Statistica Medica p.13/39

14 La media geometrica La media geometrica è pari a x g = e 1 n n i=1 log x i utile nel caso di distribuzioni molto asimmetriche, con regolarità del tipo log(2 k+1 c) log(2 k c) = log(2) Statistica Medica p.14/39

15 La media geometrica (cont.) Distribuzione della minima concentrazione inibitoria (MIC) di penicillina G per N. gonorrhoeae (JAMA, 220, , 1972) Conc. n Conc. n =2 0 c =2 3 c =2 1 c =2 4 c =2 2 c 8 1.0=2 5 c 3 dove c = e x g = e 21 log( ) log(1.0) 74 = e = Statistica Medica p.15/39

16 Misure di variabilità Si considerino due campioni di misurazioni del colesterolo eseguite con due tecniche, una autoanalitica e l altra microenzimatica Autoanalitica 177, 193, 195, 209, 226 mg/ml Microenzimatica 192, 197, 200, 202, 209 mg/ml x = 200 Statistica Medica p.16/39

17 Il range Il range è la differenza tra l osservazione con il valore più grande e quella con il valore più piccolo. In simboli è pari a range = max(x i ) min(x i ) Per la tecnica autoanalitica è pari a 49 mg/ml, per la tecnica microenzimatica a 17 mg/ml È molto semplice da calcolare ma molto sensibile ai valori estremi e dipende dall ampiezza campionaria n. Statistica Medica p.17/39

18 Percentili Il percentile p-esimo è un lavore V p tale che il p% del campione assume valori inferiori ad esso. Il percentile p-esimo è definito come la (k + 1)-ma osservazione (ordinata) se np/100 non è un intero. k è l intero più grande inferiore a np/100 la media delle osservazioni np/100-ma e np/ ma osservazione (ordinata) se np/100 è un intero Statistica Medica p.18/39

19 Percentili - Dataset 1 Si calcoli il 10-mo e 90-mo percentile del campione di pesi neonatali CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: Si calcola np/100, pari a = 2 e = 18 Si calcola la media tra l osservazione ordinata n. 2 e 3 ( )/2 = 2670 Si calcola la media tra l osservazione ordinata n. 18 e 19 ( )/2 = 3629 Statistica Medica p.19/39

20 Percentili - Dataset 2 Si calcoli il 20-mo percentile del campione di globuli bianchi CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: CASE: Si calcola np/100, pari a = 1.8 Si trova il k-mo intero inferiore a 1.8 (ovvero 1) Il percentile è il k + 1 = mo valore ordinato, ovvero 5 Statistica Medica p.20/39

21 La varianza campionaria La varianza campionaria è definita come s 2 = n i=1 (x i x) 2 n 1 La deviazione standard campionaria è definita come s = n i=1 (x i x) 2 n 1 Si noti che n i=1 (x i x) n = 0 Statistica Medica p.21/39

22 Misurazioni di colesterolo Tecnica autoanalitica s 2 = [( ) ( ) 2 ]/4 = 1360/4 = 340 s = 340 = 18.4 Tecnica microenzimatica s 2 = [( ) ( ) 2 ]/4 = 158/4 = 39.5 s = 39.5 = 6.3 Statistica Medica p.22/39

23 Varianza - formula alternativa Se la media è già calcolata, allora può essere utile usare s 2 = n i=1 x2 i n x2 n 1 Per la tecnica microanalitica si ha 5 i=1 x 2 i = = s 2 = = 1360/4 = 340 Statistica Medica p.23/39

24 Varianza - proprietà I Si supponga di avere due campioni y 1,..., y n e x 1,..., x n, dove y i = x i + c i = 1,..., n Se le due varianze campionarie sono indicate come s 2 x e s 2 y, si ha che s 2 x = s 2 y Statistica Medica p.24/39

25 Varianza - proprietà II Si supponga di avere due campioni y 1,..., y n e x 1,..., x n, dove y i = cx i i = 1,..., n c > 0 Se le due varianze campionarie sono indicate come s 2 x e s 2 y, si ha che s 2 y = c 2 s 2 x Statistica Medica p.25/39

26 Il coefficiente di variazione Il coefficiente di variazione CV è definito come CV = s x 100 che è insensibile alla scala (ovvero a trasformazioni del tipo cx) Per i pesi neonatali espressi in grammi si ha CV = 445.3/ = 14.1% e per gli stessi pesi espressi in once ( 28.3) CV = 15.7/ = 14.1% Statistica Medica p.26/39

27 Caso di studio - BHS Dati provenienti dal Bougalusa Heart Study (J Chron Dis, 1987), sulla riproducibilità dei fattori di rischio cardiovascolari nei bambini Misurazioni prese per lo stesso bambino in due momenti successivi, ogni 3 anni Fattore n Media sd CV(%) Altezza (cm) Peso (cm) Pliche (mm) PAS (mm Hg) PAD (mm Hg) Col. totale Col. HDL Statistica Medica p.27/39

28 Dati raggruppati La struttura generale dei dati raggruppati è simile a Gruppi Val. Centrali Frequenza y 1, < y 2 m 1 = y 1+y 2 2 f 1. y k, < y k+1 m k = y k+y k+1 2 f k.. Statistica Medica p.28/39

29 Dataset 4 - Pesi alla nascita Pesi alla nascita (once) di n = 100 bambini consecutivi in un ospedale di Boston Statistica Medica p.29/39

30 Dataset 4 - Pesi alla nascita Pesi alla nascita (once) di 100 bambini G m f [29.5, 69.5) [69.5, 89.5) [89.5, 99.5) [99.5, 109.5) [109.5, 119.5) [119.5, 129.5) [129.5, 139.5) [139.5, 169.5) Statistica Medica p.30/39

31 Media artimetica ponderata La media aritmetica campionaria ponderata è pari a x g = k i=1 f im i k i=1 f i Per il dataset 4 è pari a x g = 5(49.5) (154.5) = 11045/100 = Statistica Medica p.31/39

32 Varianza ponderata La varianza campionaria ponderata è pari a ovvero s 2 g = k i=1 f i(m i x g ) 2 ( k i=1 f i) 1 Per il dataset 4 è pari a k s 2 i=1 g = f im 2 i n x2 g n 1 s 2 g = [5(49.5) (154.5) 2 ] 100( ) = /99 = Statistica Medica p.32/39

33 Istogramma Per il calcolo dell istogramma, la tabella deve essere estesa Gruppi Val. Centrali Frequenza Ampiezza Densità y 1, < y 2 m 1 = y 1+y 2 2 f 1 a 1 = y 2 y 1 h 1 = f 1 a 1.. y k, < y k+1 m k = y k+y k+1 2 f k a k = y k+1 y k h k = f k+1 a k... L istogramma è uno stimatore della distribuzione Statistica Medica p.33/39

34 Dataset 4 - Istogramma Calcolo dell ampiezza e della densità G m f a h [29.5, 69.5) [69.5, 89.5) [89.5, 99.5) [99.5, 109.5) [109.5, 119.5) [119.5, 129.5) [129.5, 139.5) [139.5, 169.5) Statistica Medica p.34/39

35 Dataset 4 - Istogramma (Cont.) BW Statistica Medica p.35/39

36 Box Plot Il BoxPlot è un modo per rappresentare graficamente una distribuzione rispetto a centralità e variabilità Per un campione di ampiezza n la profondità della mediana (m) è pari a n/2 se n è pari, a (n + 1)/2 se n è dispari il baffo superiore (H) è pari a l osservazione (m + 1)/2-ma se m è dispari, alla media tra l osservazione m/2-ma e quella m/2 + 1 se m è pari un valore estremo è un valore tale per cui x > H (H h) o x < h 1.5 (H h) un outlier è un valore tale per cui x > H + 3 (H h) o x < h 3 (H h) Statistica Medica p.36/39

37 Dataset 4 - Ordinato I simboli * indicano i BAFFI, mentre # i valori estremi e ## gli outliers ## # *98 99* * * # ## Statistica Medica p.37/39

38 Dataset 4 - Boxplot Siccome n = 100, si ha che m = 50 H è la media dell osservazione più grande 50/2 e 50/2 + 1, ovvero ( )/2=124.5 h è la media dell osservazione più piccola 50/2 e 50/2 + 1, ovvero (98+99)/2=98.5 i limiti per i valori estremi sono quindi x > ( ) = x < 59.5 e per gli outliers x > ( ) = x < 20.5 Statistica Medica p.38/39

39 Dataset 4 - Boxplot (Cont.) Statistica Medica p.39/39