Laboratorio di Probabilità e Statistica

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Silvestro Stefani
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1 Laboratorio di Probabilità e Statistica lezione 2 Massimo Guerriero Ettore Benedetti

2 Informazioni utili per il laboratorio Ogni studente ha a disposizione 120MB di spazio disco in rete. Superata la quota disco si verificano svariati problemi: Impossibilità di accedere Bug grafici della scrivania Crash o funzionamento scorretto di programmi (tra cui R) Cosa fare quando il problema si presenta? Digitare la combinazione "CTRL + ALT + F1" ed effettuare il Log-In. Inserire il comando "du h" per verificare lo spazio occupato Se risulta essere >= 100/120Mb digitare i comandi: rm r.cache per rimuovere la cache (file temporanei di scarsa importanza) rm r.mozilla per rimuovere file di configurazione di firefox e file temporanei che si sono creati navigando sul web. Altrimenti rivolgersi all ufficio tecnico. E possibile prevenire questi errori Salvando tutto su supporto media esterno (USB) Impostando un limite per la cache di Firefox (Opzioni Avanzate Rete Limita la cache)

3 Indice Lezione Prerequisiti dalla lezione scorsa Spiegazione dettagliata sul dataset che utilizzeremo per queste lezioni. Rappresentazioni grafiche Funzione di ripartizione Poligono di frequenza Come scegliere il grafico più adatto Indici di Posizione Moda Mediana, quartili e quantili Boxplot Media Aritmetica Come utilizzare questi strumenti Indici di Dispersione Varianza Scarto quadratico medio e coefficiente di variazione

4 Prerequisiti dalla lezione scorsa Linguaggio R ed Ambiente di sviluppo (IDE) funzionanti Dataset dello scorso anno caricato correttamente in una variabile nel proprio workspace. In queste lezioni chiameremo tale variabile "dataset" Confidenza con i comandi base di R e con il suo ambiente di sviluppo Realizzazione di script (comandi salvati in un file di testo, editato con l IDE) Trattamento dati (compreso variabile "dataset"). Salvataggio Output Visualizzazione di semplici grafici di frequenza (istogrammi - bastoncini pie)

5 Dataset utilizzato in dettaglio Descrizione dello studio Variabili nel dettaglio

6 Funzione di ripartizione 1/2 Per i fenomeni quantitativi può risultare utile disegnare la funzione di ripartizione, definita a partire dalle frequenze cumulate. In R si ottiene con il comando ecdf(variabile) Nel caso discreto abbiamo un diagramma a scala con 4 persone si copre l 80% della popolazione plot(ecdf(dataset$nucleo), verticals=true, main="nucleo Famigliare")

7 Funzione di ripartizione 2/2 Nel caso continuo X = rnorm(100) # X è una variabile che contiene 100 numeri casuali normalmente distribuiti plot(ecdf(x), verticals=true, main="ecdf Continua")

8 Poligono di Frequenza Si usa per fenomeni raccolti in classi. Confrontare linee risulta a volte più semplice di confrontare istogrammi. In R non esiste già implementata, creiamola noi! hist.poligono <- function(x){ ist <- hist(x) lines(c(min(ist$breaks), ist$mids, max(ist$breaks)), c(0,ist$counts,0)) } Chiamiamola ora con il comando: hist.poligono(dataset$nucleo)

9 Come scegliere il grafico più adatto Fenomeno Qualitativo Fenomeno Quantitativo Scala Nominale Scala Ordinale Discreto Continuo Torta Rettangoli Bastoncini Torta Rettangoli Bastoncini Bastoncini Torta Ripartizione Boxplot (se dati molto dispersi) Istogrammi (a causa delle classi) Boxplot

10 Consegna 1) Prendere confidenza con il Dataset 2) Plottare la funzione di ripartizione su: anni hlav hlib_lv 3) Plottare altri 2-3 grafici per tipi di dati diversi

11 Indice Lezione Prerequisiti dalla lezione scorsa Spiegazione dettagliata sul dataset che utilizzeremo per queste lezioni. Rappresentazioni grafiche Funzione di ripartizione Poligono di frequenza Come scegliere il grafico più adatto Indici di Posizione Moda Mediana, quartili e quantili Boxplot Media Aritmetica Come utilizzare questi strumenti Indici di Dispersione Varianza Scarto quadratico medio e coefficiente di variazione

è definito come il punto medio dell intervallo con densità di frequenza più elevata.

12 Moda E definito come quel valore di un fenomeno statistico che presenta frequenza più elevata. Moda = 1 = Per Nulla Moda = punto centrale = Se il fenomeno è raggruppato in classi, è definito come il punto medio dell intervallo con densità di frequenza più elevata. Se ci sono più valori con densità di frequenza "più elevata", la distribuzione è detta plurimodale.

Mediana, quartili e quantili 1/2 La mediana è definita come quel valore che, una volta ordinati i dati del campione, lascia alla sua destra e alla sua sinistra la metà del campione.

13 Mediana, quartili e quantili 1/2 La mediana è definita come quel valore che, una volta ordinati i dati del campione, lascia alla sua destra e alla sua sinistra la metà del campione. In R si utilizza il comando median(vettore sequenza) Es. median(c(4,3,4,1,7)) [1] 4 median(c(4,3,1,7)) [1] % % E legata al concetto di "funzione di ripartizione": Cumulando i valori del campione fino alla mediana, si arriva infatti a considerare il primo 50% di tutte le osservazioni. F(4) = 0.5

14 Mediana, quartili e quantili 2/2 Quartili e quantili sono anch essi legati analogamente al concetto di "funzione di ripartizione : Cumulando i valori del campione fino al primo quartile si arriva a considerare il 25% di tutte le osservarzioni. (F(Q1)=0.25) Cumulando fino al secondo quartile si ha la mediana. (F(Q2)=0.5) Cumulando fino al terzo quartile si considerano il 75% delle osservazioni. (F(Q3)=0.75) In generale un quantile di una distribuzione di dati è quel valore xp tale per cui F(xp) = p con p (0, 1).

15 Boxplot I quartili e la mediana sono molto informativi dal punto di vista grafico. Riguardiamo il boxplot della scorsa lezione: Gli estremi della scatola sono Q1 e Q3, la linea più marcata rappresenta la mediana Q2. I «baffi» vengono posti ad una distanza da Q1 e da Q3 pari a 1.5 * (Q3-Q1). Se questa distanza supera gli estremi, il baffo viene accorciato. Es. Baffo inferiore dell immagine a lato Q3 Q2 Q1 100% 75% 50% 25%

16 Media Aritmetica La media aritmetica si calcola in R con il comando mean(vettore) E estremamente sensibile a valori atipici: Es. Media vs Mediana X<-c(10,20,30) mean(x) [1] 20 median(x) [1] 20 X<-c(10,20,300) mean(x) [1] 110 median(x) [1] 20 X<-c(0,20,30) mean(x) [1] median(x) [1] 20

17 Come utilizzare questi strumenti Indice Carattere qualitativo nominale Carattere qualitativo ordinale Carattere quantitativo Moda SI SI SI Mediana NO SI SI Quartili NO SI SI Boxplot NO NO SI Media NO NO SI Range NO NO SI

18 Consegna 1) Studiare il Boxplot di 4 variabili a scelta 2) Verificare il comando summary(variabile) 3) Sviluppare una funziona che calcola la moda di una certa variabile Suggerimento: Vedi la funzione wich.max(variabile)

19 Indice Lezione Prerequisiti dalla lezione scorsa Spiegazione dettagliata sul dataset che utilizzeremo per queste lezioni. Rappresentazioni grafiche Funzione di ripartizione Poligono di frequenza Come scegliere il grafico più adatto Indici di Posizione Moda Mediana, quartili e quantili Boxplot Media Aritmetica Come utilizzare questi strumenti Indici di Dispersione Varianza Scarto quadratico medio e coefficiente di variazione

20 Varianza L idea è di utilizzare un indice che tenga conto di come i valori si distribuiscano intorno alla propria media, per misurare in modo oggettivo quello che ci appare graficamente. Varianza σ 2 = 1 n i=1 n (x i x n ) 2 Varianza campionaria S n 2 = 1 n 1 i=1 n (x i x n ) 2 R prende in considerazione solo la varianza campionaria con il comando var(vettore). Si ottiene facilmente da questa σ 2 moltiplicando per n 1 n.

21 Scarto quadratico medio e coefficiente di variazione Se dovessimo calcolare la varianza del peso di una popolazione avremmo tale indice espresso come Kg 2. Per rendere più leggibile la variabilità di un fenomeno si ricorre allo scarto quadratico medio. Definito come: σ = σ 2 Regola del 3-Sigma (empirica) l 89% dei dati di un campione si trova nell intervallo [ x n 3σ ; x n + 3σ]. I dati al di fuori di questo intervallo possiamo chiamarli outlier. Il coefficiente di variazione CV, essendo adimensionale, viene utilizzato per confrontare la variabilità di fenomeni diversi. E definito come: CV= σ x n 100 Se CV > 49% siamo portati a pensare che la variabilità è alta

22 Consegna 1) Creare una funzione che calcola la varianza 2) Creare una funzione che calcola il coefficiente di variazione 3) Verificare la regola del 3-Sigma sulla variabile "dataset$valogg" 4) Valutare il CV su: valogg hlav genere spesa_mese

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