STATISTICA. Federico M. Stefanini. stefanin/corsi.html. a.a (3 CFU)

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1 STATISTICA a.a (3 CFU) Federico M. Stefanini Dipartimento di Statistica G.Parenti viale Morgagni 59, Firenze, tel e.mail: PARTE 1 stefanin/corsi.html RICEVIMENTO: Dipartimento di Statistica Mercoledì ore Giovedì ore Al termine delle lezioni in aula Su appuntamento MATERIALE DIDATTICO: Testo-eserciziario: Spiegel et al., 2000, Probabilità e Statistica, McGraw&Hill Diapositive-Lucidi impiegati in aula Manuali di consultazione: Camussi et al., 1995, Metodi Statistici per la sperimentazione biologica, Zanichelli. Chiandotto, 2001, Note didattiche, Dipartimento di Statistica (disponibili GRATUITAMENTE al sito Web e su CDROM) Piccolo, 2000, Statistica, Il Mulino. 1

2 CDROM / WEB stefanin/corsi.html Software: R Ipertesto Dinamico: Laboratorio Virtuale di Probabilità e Statistica Note Didattiche integrative (in Italiano) Prof. Chiandotto Esercizi supplementari STATISTICA Sintesi sui caratteri osservati in un collettivo di unità statistiche: indici riassuntivi: media aritmetica (x 1 + x )/n rappresentazioni grafiche: diagrammi di dispersione Inferenza basata su modelli probabilistici delle osservazioni sperimentali Decisioni in condizioni di incertezza Unità Statistica: Carattere: Variabile studente Consumo di alcolici Gianni sì 1 Giovanni no 0 Ada sì 1 Astra sì 1 Giacomo sì 1 Gaia no 0 Codifica: sì 1 no 0 2

3 Unità Statistica: Carattere: Variabile Lago Livello Inquinante di Como Medio 2 di Garda Medio 2 di Iseo Assente 0 Maggiore Medio 2 di Bracciano Basso 1 di Pusiano Alto 3 di Oggiono Basso 1 di Lugano Alto 3 Codifica: Assente 0 Basso 1 Medio 2 Alto 3 Unità Statistica: Carattere: Lago Inquinante (ppm) di Como 27.5 di Garda 51.2 di Iseo 3.5 Maggiore 61.3 di Bracciano 12.9 di Pusiano 15.3 di Oggiono 17.5 di Lugano Cambiamento di scala: ppm a scala ordinale [0, 10] assente 0 (10, 25] basso 1 (25, 75] medio 2 (75, ) alto 3 3

4 Rilevazione dei dati Popolazione di riferimento(reale o virtuale) Unità statistica Carattere(i) rilevato (modalità del carattere) Qualitativo Sconnesso: scala nominale uguaglianza Ordinato (rettilineo o ciclico): scala ordinale uguaglianza e disuguaglianza Quantitativo Discreto: scala discreta operazioni Continuo (rettilineo o ciclico): scala per rapporti o per intervalli operazioni Sintesi con indici riassuntivi (Assoluti / Relativi / Relativi Normalizzati): Tipicità (Posizione) Eterogeneità (Variabilità) Forma distributiva Variabile: peso di cubetti di marmo. x i i Numero di unità statistiche: n = = x 1 + x x n = n i=1 x i = x 1 x 2... x n = n i=1 x i Nota: 5! = n! = n (n 1)... 1 = n i=1 i 4

5 Variabile: peso di cubetti di marmo, di provenienza Pisa e Livorno(i = 1, 2). x i,j i j k,h i=1,j=1 x i,j = x i,j = x 1,1 + x 1, x k,h k=2 h=3 i=1 j=1 = k,n i=1,j=1 x i,j = k i=1 j=1 n x i,j = x 1,1 x 1,2... x k,n = Distribuzione di frequenze: peso di cubetti di marmo. Numero di unità statistiche n = Ordinamento crescente dei valori: 1.3, 1.3, 1.3, 2.7, 5.1, 5.1 Collezione dei k = 3 valori distinti: 1.3, 2.7, 5.1 Conteggio dei valori ripetuti per ogni valore distinto: 3, 1, 2 Valore Frequenza In generale, con n unità statistiche (x 1, x 2,..., x n ) ordinate per comodità in senso crescente, (x (1), x (2),..., x (n) ) la distribuzione di frequenze dei k n valori distinti si ottiene mediante conteggio Valore x 1 x 2... x k Frequenza n 1 n 2... n k 5

6 Riassunti per variabili qualitative su scala nominale Unità Statistica: Consumo di alcolici Indice i Variabile x i Gianni sì 1 1 Giovanni no 2 0 Ada sì 3 1 Astra sì 4 1 Giacomo sì 5 1 Gaia no 6 0 Distribuzione di frequenze assolute: Valore x i 0 1 Frequenza n i 2 4 Numero totale di osservazioni n = k i=1 n k = = 6 Definita la frequenze relativa f i = n i n Distribuzione di frequenze relative è: Valore x i Frequenza f i 6 6 La moda della distribuzione è x m tale che n i n j per ogni j i Nell esempio x m = 1. NOTA: Due unità statistiche possono essere confrontate per il valore assunto da una variabile qualitativa su scala nominale per stabilirne la loro uguaglianza (diversità). 6

7 Riassunti per variabili qualitative politomiche su scala ordinale Distribuzione di frequenze assolute dell inquinamento dei laghi Valore x i assente : 0 basso : 1 medio : 2 alto : 3 n i Due unità statistiche, Lago di Como x 1 = 2 e lago di Lugano x = 3, possono essere confrontate per il valore assunto dalla variabile politomica ordinale per stabilirne: l uguaglianza, l ordine. Riguardo i laghi di Como e di Lugano, il livello di inquinamento è diverso, in particolare sulla scala dei livelli di inquinamento il lago di Como precede quello di Lugano. L ORDINE sulla scala NON È ARBITRARIO Distribuzione di frequenze: assolute/relative cumulate/noncumulate dell inquinamento su scala ordinale Valore n i N i f i 1 F i Frequenze cumulate: 2 assolute: N i = i j=1 n j relative: F i = i j=1 nj n 7

8 Funzione di distribuzione (ripartizione) Dalle frequenze relative cumulate f i : F (x) = {i:x i x} f i F(x) Inquinamento

9 Quantili Il quantile q-esimo è un valore x q ottenuto selezionando il minimo dei valori che soddisfano F (x) q Usi: Mediana: q = 0.5 I quartile: q = 0.25 III quartile: q = 0.75 I decile: q = 0.1 IX decile: q = 0.9 Inquinamento x i F i Mediana: indice di tipicità Differenza interquartile: x 0.75 x 0.25 indice di eterogeneità Differenza interdecile: x 0.9 x 0.1 indice di eterogeneità 9

10 Indici riassuntivi di TIPICITÀ, variabili quantitative Inquinante (ppm) i x i Gli indici sono funzioni dei valori assunti (non solo delle frequenze) dalle unità statistiche. Media aritmetica = x + x + x + x + x + x + x + x = x x = In generale x = n 1 x = x = k i=1 n x i i=1 x i ni n k x i f i i=1 sommatoria degli scarti dalla media aritmetica è uguale a zero k i=1 (x i x)n i = 0 la media aritmetica minimizza la quantità k i=1 (x i M) 2 n i rispetto M. se y = a x allora ȳ = a x. 10

11 Peso di cubetti di marmo, unità statistiche n = 6 x i : n i : Media geometrica x g = n k i=1 xni i = In scala logaritmica infatti, k i=1 log(x i)n i = k i=1 n i log(x g ) = n log(x g ) Momenti empirici (rispetto all origine): per r = 1, 2,.... M r = k i=1 xr i f i = 1.3 r r r 2 6 Medie di potenza M p = ( n 1 k i=1 xp i n i ) 1 p = 1.3 p p p p 2 6 INDICI DI ETEROGENEITÀ (VARIABILITÀ) Quantificano la diversità esistente tra unità statistiche per il carattere considerato. Peso di cubetti di marmo, unità statistiche n = 6 x i : n i : Campo di variazione (range) range = x (k) x (1) = = 3. 11

12 Varianza: si basa sugli scostamenti dalla media aritmetica S 2 = n 1 k i=1 (x i x) 2 n i = k i=1 (x i x) 2 f i x i n i f i x (x i x) (x i x) 2 f i (x i x) / / / totale Deviazione standard (scostamento quadratico medio) S = S 2 = 2.9 = 1.7 Coefficiente di variazione (percentuale) CV = S 1.7 x 100 = 2. = 60.71% x Scostamento semplice medio S s = n 1 k i=1 x i x n i = k i=1 x i x f i x i n i f i x (x i x) f i (x i x) / / / totale

13 Differenza semplice media: si basa sulle differenze tra coppie di osservazioni k k i=1 j=1 xi xj ni nj D 1 = n (n 1) Peso di cubetti di marmo, unità statistiche n = 6 x i : n i : D 1 = = Differenza quadratica media D 2 = k i=1 k j=1 (xi xj)2 n in j n (n 1) Peso di cubetti di marmo, unità statistiche n = 6 x i : n i : D 2 = =

14 Coefficiente di asimmetria C A = µ k 3 σ 3 = n 1 i=1 (x i x) 3 n i {n 1 k i=1 (x i x) 2 n i } 3 2 Coefficiente di curtosi C C = µ k 4 σ 4 3 = n 1 i=1 (x i x) 4 n i {n 1 k i=1 (x i x) 2 n i } Raggruppamento in classi partizione del campo di variazione teorico in intervalli (k i, k i+1 ] conteggio delle osservazioni appartenenti ad ogni intervallo calcolo del valore centrale Peso di cubetti di marmo, unità statistiche n = 6 x i : n i : Intervallo Numero di osservazioni Valore centrale [0, 1.5] (1.5, 2.5] (2.5, 5.0] (5.0, 7.5] In generale Intervallo Numero di osservazioni Valore centrale [x (1), k 1 ] {i: x (1) x n 1 i k 1} i 2 x(1) k 1 (k 1, k 2 ] {i: k n 1 1<x i k 2} i 2 k k

15 Diagrammi a nastro (barre) L altezza di un nastro rappresenta la frequenza, relativa od assoluta, delle modalità di un carattere su scala nominale o ordinale Bassa Media Alta Istruzione Diagrammi a settori circolari L area di un settore circolare corrisponde alla frequenza relativa di una certa modalità (o classe). L angolo del settore circolare si calcola ponendo α i = f i 360. Grado di istruzione statistica in Italia Assente Altissimo Basso Medio Alto 15

16 Istogrammi di frequenza Rappresentazione in classi di frequenza di variabili quantitative. L area di un nastro (rettangolo) rappresenta la frequenza, delle osservazioni contenute nell intervallo di base. classe i-esima si calcola come h i = n i n k i+1 k i L altezza h i della Peso Boxplot I Boxplot (diagrammi a scatola) sono costituiti da una scatola divisa in due dal valore mediano, con estremi definiti dal primo e terzo quartile. I baffi sono lunghi 2.5 (quartile mediana) ed eventuali osservazioni esterne agli estremi dei due baffi sono rappresentate da barre (o punti) Forza 1 16

17 Z Diagrammi di dispersione I diagrammi di dispersione sono costruiti riportando in assi cartesiani i valori di due variabili quantitative forza durata forza Superfici Data la funzione z = g(x, y) e la griglia di punti x 1, x 2,..., x h per la variabile quantitativa x, e y 1, y 2,..., y k, per la variabile quantitativa y, si calcoli il valore della funzione g(x i, y j ) per ogni coppia di valori di griglia. La risultante approssimazione della funzione sui punti della griglia è rappresentata graficamente Y X 17

18 Diagrammi a stella Ogni unità statistica è rappresentata con una stella. Ogni semiretta è associata ad una variabile. La lunghezza del segmento rappresenta il valore della variabile Facce di Chernoff Ogni unità statistica è rappresentata con una faccia. Ogni elemento del viso è associato ad una variabile. La morfologia dell elemento del viso è associato al valore della variabile

19 Contour plot Data una funzione z = g(x, y), e il sistema di assi cartesiano x, y, il contour plot della funzione g(.,.) è costruito da una collezione di linee. I punti x, y che giacciono sulla stessa linea hanno lo stesso valore z x 19