STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II

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1 STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II

2 INDICI DI DISPERSIONE Introduzione agli Indici di Dispersione Gamma Differenza Interquartilica Varianza Deviazione Standard Coefficiente di Variazione

3 introduzione Una distribuzione di dati contiene un insieme di informazioni complesse e di per se poco maneggevole. Il ricorso ad un indice di tendenza centrale comporta una forte semplificazione, e da solo non fornisce informazioni esaurienti sulla distribuzione. Occorre anche capire quanto i dati siano dispersi intorno all indice di tendenza centrale. Esempio Consideriamo i risultati dei compiti di Psicometria di tre diverse Facoltà: Facoltà A = {18,, 4, 16, 19,, 18, 1} Facoltà B = {10, 10, 1, 10, 30, 8, 30, 30} Facoltà C = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} In ogni Facoltà la media dei voti è pari a 0, ma è evidente una diversa dispersione intorno a tale valore. 3

4 gli indici di dispersione Gli indici che vedremo servono a misurare la dispersione (o variabilità) di una data distribuzione di dati. Per questo motivo vengono definiti come indici di dispersione o indici di variabilità. Gli indici di dispersione possono assumere solo valori positivi (non ha senso parlare di dispersione negativa) o nulli (nei casi in cui tutti i dati osservati sono uguali tra loro). 4

5 la gamma La gamma, detta anche campo di variazione, è la differenza fra il valore massimo e quello minimo dei dati. gamma = X X max min Esempio I seguenti dati rappresentano le altezze in centimetri dei giocatori di una squadra di pallavolo. {188, 195, 198, 170, 185, 199} La gamma di tale distribuzione sarà: gamma = = 9 5

6 la differenza interquartilica La differenza interquartilica, o range interquartile, è data dalla differenza tra il terzo e il primo quartile (o equivalentemente tra il 75-esimo e il 5-esimo percentile) dei dati: Q = Q Q 75 5 Nota: La differenza interquartilica, non tiene conto dei valori estremi della distribuzione dei dati, evitando così di considerare valori anomali. Per questo motivo è considerata un indice robusto. 6

7 la varianza La varianza σ di un insieme di dati è definita come la media degli scarti al quadrato tra i dati e la media dei dati stessi. Essa assume il valore minimo di 0 quando i dati sono tutti uguali tra loro e aumenta al crescere della variabilità dei dati. Le formule per il calcolo della varianza sono differenti a seconda che i dati siano o meno raggruppati in classi. 7

8 formula per il calcolo della varianza - dati non raggruppati n σ = i = 1 ( x x ) i n dove: ( x x ) i è lo scarto tra l i-esima statistica e la media dei dati. unità 8

9 formula ridotta per il calcolo della varianza - dati non raggruppati La varianza può essere anche calcolata attraverso la seguente formula, che consente un calcolo più agevole e veloce: σ x x i i i i = n n varianza = media dei quadrati - quadrato della media 9

10 Esempio [1] Un ricercatore ha valutato la capacità linguistiche di 10 bambini in età prescolare ottenendo i dati sottoriportati. La capacità di linguistica è qui indagata come numero di parole non conosciute nella lettura di un testo [da Keppel, 199]. Calcolare la varianza dei dati, sia con la formula generale che con quella ridotta. codice soggetto Numero parole non note

11 Esempio [] Calcoliamo innanzi tutto la media dei dati: x = = = Utilizziamo ora la formula generale per il calcolo della varianza: (8 7) + (6 7) + + (7 7) 0 σ = = =

12 Esempio [3] Utilizziamo ora la formula ridotta. Per prima cosa calcoliamo la media dei quadrati : ( x ) = = = Calcoliamo ora il quadrato della media : ( ) x = 7 = 49 Infine utilizzando la formula ridotta per il calcolo della varianza otteniamo: ( x ) ( x) σ = = = 1

13 formula per il calcolo della varianza - dati raggruppati σ = i ( x x) f i i n dove: f i è la frequenza relativa dell i-esima modalità statistica. 13

14 Esempio [1] Calcolare la varianza dei dati dell esempio precedente utilizzandoli in forma raggruppata. Per prima cosa rappresentiamo i dati in forma raggruppata: x i Parole sconosciute f i frequenze

15 Esempio [] Ricordando che la media dei dati è pari a 7, applichiamo la formula per il calcolo della varianza per dati raggruppati: (4 7) 1 (6 7) (9 7) 0 σ = = =

16 formula per il calcolo della varianza - dati raggruppati in classi σ = i ( x x) f vc i i n dove: x vci è il valore centrale dell i-esima classe di frequenza. 16

17 Esempio [1] In un azienda veronese che produce occhiali sono stati rilevati gli stipendi mensili dei 0 dipendenti: Stipendio mensile in Euro Frequenze Calcolare la media e la varianza di tali dati. Nota: gli intervalli di frequenza si intendono del tipo primo valore incluso secondo valore escluso. 17

18 Esempio [] Calcoliamo la media dei dati: x = = Calcoliamo ora la varianza di tali dati: + + ( ) 10 ( ) σ = =

19 la deviazione standard La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice della varianza: σ = σ Essa è molto utile in chiave interpretativa perché, a differenza della varianza, è espressa nella stessa unità di misura del fenomeno studiato. Esempio In campione di 0 soggetti è stata rilevata la variabile peso. In tale campione la media è pari a 70 Kg e la deviazione standard è pari a Si potrà affermare che i soggetti differiscono mediamente di 10.7 Kg dal peso medio di 70 Kg. 19

20 il coefficiente di variazione [1] Il coefficiente di variazione è dato dal rapporto tra la deviazione standard e il valore assoluto della media dei dati: CV = σ x Esso è un indice di variabilità relativa, che tiene conto oltre che della deviazione standard dei dati anche della media. Per questo motivo è molto utile per eseguire dei confronti in termini di variabilità tra fenomeni diversi tra loro. 0

21 il coefficiente di variazione [] Esempio Nel reparto di ginecologia e ostetricia di un ospedale è stato rilevato il peso di un campione di 80 neonati maschi e contemporaneamente il peso dei rispettivi papà. I dati ottenuti sono espressi nella seguente tabella: gruppo neonati papà media 3.4 Kg 8 Kg deviazione standard Ci si chiede se, rispetto alla variabile peso, esiste più variabilità nel gruppo dei neonati o in quello dei papà. 1

22 il coefficiente di variazione [3] Naturalmente confrontare le deviazioni standard non è di grande aiuto. Esse dipendono fortemente dalle media dei dati su cui sono state calcolate. Per poter operare un confronto sulla variabilità dei due gruppi è opportuno calcolare i rispettivi coefficienti di variazione: 0.8 CV bambini = = CV papà = = Osservando i risultati si può concludere che il gruppo dei bambini presenta una maggiore variabilità rispetto a quella del gruppo dei papà.

23 il coefficiente di variazione[3] In conclusione, vediamo alcuni valori particolari del CV che possono essere utili nello studio di una distribuzione di dati: CV = 0, in questo caso la deviazione standard è pari a 0. Tutti i dati sono uguali tra loro e la media può essere considerata come un indice perfetto per rappresentarli. CV 0.5, in questo caso la deviazione standard è più della metà della media. La media, in questo caso, non può essere considerata un buon indice per rappresentare i dati. CV 0.5, in questo caso la deviazione standard è meno della metà della media. La media, in questo caso, può essere considerata un buon indice per rappresentare i dati. 3