STATISTICA esercizi svolti sulla VARIABILITA

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1 STATISTICA esercizi svolti sulla VARIABILITA 1

2 1 VARIABILITA 2 1 VARIABILITA 1.1 Esercizi 1. La seguente tabella riporta il tempo (in giorni) impiegato da sei individui per il consumo di una confezione di pasta da 250 grammi: Si calcolino: lo scostamento medio dalla mediana, lo scostamento medio dalla media aritmetica e lo scarto quadratico medio, commentando i risultati ottenuti. Svolgimento Per prima cosa, notiamo che i valori forniti dal testo sono già ordinati: per maggiore chiarezza, comunque li riportiamo di seguito: x (1) = 1 x (2) = 3 x (3) = 5 x (4) = 6 x (5) = 15 x (6) = 30. Dato che il loro numero è pari (N = 6), si hanno due posizioni centrali: N 2 = 3, N = 4. La mediana è pertanto: x (3) + x (4) = = Il valore assunto dalla mediana dice che nel 50% dei casi circa, la durata di un pacchetto di pasta è minore di 5.5 giorni. Analogamente, nel 50% dei casi circa, la durata di un pacchetto di pasta è superiore a 5.5 giorni. La media aritmetica è data da M 1 = x i = = 10. Per calcolare lo scostamento medio dalla mediana e dalla media aritmetica e lo scarto quadratico medio, è necessario completare la seguente tabella: x i x i Me x i M 1 (x i M 1 ) Totale

3 1 VARIABILITA 3 Si ha quindi che lo scostamento medio dalla mediana è S Me = x i Me = 42 6 = 7 e indica che mediamente le durate del pacchetto di pasta differiscono (si discostano) dalla durata mediana di 7 giorni. Lo scostamento medio dalla media aritmetica è: S M1 = x i M 1 = 50 6 = 8. 3 e indica che mediamente le durate del pacchetto di pasta differiscono (si discostano) dalla durata media di 8. 3 giorni. Lo scarto quadratico medio è: σ = (x i M 1 ) 2 = = e indica che mediamente le durate del pacchetto di pasta differiscono dalla durata media di giorni. 2. La seguente tabella fornisce il reddito annuo di sette individui: individui A B C D E F G reddito (in migliaia di euro) Calcolare lo scostamento medio dalla mediana, lo scostamento medio dalla media aritmetica, lo scarto quadratico medio, la devianza e la varianza. Svolgimento Per prima cosa, ordiniamo in ordine crescente i valori forniti dal testo: x (1) = 10 x (2) = 12 x (3) = 15 x (4) = 18 x (5) = 20 x (6) = 30 x (7) = 35. Dato che il loro numero è dispari (N = 7), la posizione mediana è data da: N = 8 2 = 4. La mediana è pertanto: x (4) = 18. Il valore assunto dalla mediana dice che circa il 50% dei redditi (dei 7 individui presi in esame) è minore di 18 (migliaia di euro). Analogamente, circa il 50% dei redditi

4 1 VARIABILITA 4 (dei 7 individui presi in esame) è maggiore di 18 (migliaia di euro). La media aritmetica è data da M 1 = x i = = 20. Per calcolare lo scostamento dalla mediana e dalla media aritmetica e lo scarto quadratico medio, è necessario completare la seguente tabella: x i x i Me x i M 1 (x i M 1 ) TOTALE Si ha quindi che lo scostamento medio dalla mediana è S Me = x i Me = 48 7 = e indica che mediamente i redditi (dei 7 individui presi in esame) differiscono (si discostano) dal reddito mediano di migliaia di euro. Lo scostamento medio dalla media aritmetica è: S M1 = x i M 1 = 50 7 = e indica che mediamente i redditi (dei 7 individui presi in esame) differiscono (si discostano) dal reddito medio di migliaia di euro. Lo scarto quadratico medio è: σ = (x i M 1 ) 2 = = e indica che mediamente i redditi (dei 7 individui presi in esame) differiscono dal reddito medio di migliaia di euro.

5 1 VARIABILITA 5 Avendo calcolato lo scarto quadratico medio, è possibile calcolare la varianza elevandolo al quadrato: σ 2 = 1 7 (x i M 1 ) 2 = = 74. Dalla tabella precedente, si ricava immediatamente anche la devianza: Dev = 7 (x i M 1 ) 2 = La seguente tabella fornisce la distribuzione delle 100 famiglie di un quartiere secondo il carattere X = numero di figli : Determinare: numero di figli frequenze assolute a) il campo di variazione; b) la differenza interquartile; c) la varianza con il metodo indiretto; d) lo scostamento medio dalla media aritmetica; e) lo scostamento medio dalla mediana. Svolgimento Come prima cosa, conviene riscrivere la tabella fornita dal testo nel seguente modo, calcolando anche le frequenze cumulate: É possibile ora calcolare: a) Il campo di variazione Numero di figli (x j ) n j C j Totale 100 x (N) x (1) = x (100) x (1) = 6 0 = 6. Tale valore indica che la lunghezza dell intervallo in cui sono compresi i valori del carattere X (numero di figli) è pari a 6.

6 1 VARIABILITA 6 b) La differenza interquartile Q 3 Q 1 = x (3 N+1 4 ) x ( N+1 4 ) = x (75.75) x (25.25) = 3 0 = 3. Tale valore indica che il 50% delle famiglie analizzate hanno un numero di figli compreso in un intervallo di ampiezza 3. c) La varianza (con il metodo indiretto) σ 2 = 1 N 7 x 2 jn j M1 2 = M2 2 M1. 2 La seguente tabella permette di calcolare: e Quindi x j n j x j n j x 2 j x 2 jn j TOT M 1 = M 2 2 = x j n j = = 2 x 2 jn j = = σ 2 = 7.32 (2) 2 = 3.32 d) Lo scostamento medio dalla media aritmetica. La seguente tabella x j n j x j M 1 x j M 1 n j TOT

7 1 VARIABILITA 7 permette di calcolare lo scostamento medio da M 1 : S M1 = x j M 1 n j = = 1.5. Tale valore indica che mediamente il numero di figli (delle 100 famiglie prese in esame) differisce (si discosta) dal loro valore medio di 1.5 figli. e) Lo scostamento medio dalla mediana. Per prima cosa, si calcola la mediana: ricordando che N = 100 e utilizzando le frequenze cumulate precedentemente calcolate, si ha Me = x ( N+1 2 ) = x (50.5) = 2. In questo caso, quindi Me = M 1 = 2: si avrà di conseguenza che S Me = S M1 = 1.5. É possibile quindi affermare che mediamente il numero di figli (delle 100 famiglie prese in esame) differisce (si discosta) dal loro valore mediano di 1.5 figli. 4. La seguente tabella riporta la distribuzione del carattere X= numero di stanze di 120 abitazioni della provincia di Belluno: Numero di stanze (x j ) n j Calcolare il campo di variazione, la differenza interquartile, lo scarto quadratico medio e lo scostamento medio dalla media aritmetica. Svolgimento Come prima cosa, conviene riscrivere la tabella fornita dal testo nel seguente modo, calcolando anche le frequenze cumulate: x j n j C j TOTALE 120

8 1 VARIABILITA 8 É possibile ora calcolare: a) Il campo di variazione x (N) x (1) = x (120) x (1) = 8 1 = 7. Tale valore indica che la lunghezza dell intervallo in cui sono compresi i valori del carattere X (numero di stanze) è pari a 7. b) La differenza interquartile Q 3 Q 1 = x (3 N+1 4 ) x ( N+1 4 ) = x (90.75) x (30.25) = 4 3 = 1. Tale valore indica che il 50% delle abitazioni prese in esame hanno un numero di stanze compreso in un intervallo di ampiezza pari a 1. c) Lo scarto quadratico medio e lo scostamento medio dalla media aritmetica. Per prima cosa, è necessario calcolare la media aritmetica. Si completa pertanto la seguente tabella. la quale, permette di calcolare: M 1 = Completando la seguente tabella x j n j x j n j TOT x j n j = = x j n j x j M 1 (x j M 1 ) 2 x j M 1 n j (x j M 1 ) 2 n j TOT

9 1 VARIABILITA 9 è possibile calcolare lo scostamento medio da M 1 : S M1 = x j M 1 n j = = (mediamente il numero di stanze delle 120 abitazioni prese in esame differisce dal valore medio di stanze) e lo scarto quadratico medio: σ = (x j M 1 ) 2 n j = 120 = (mediamente il numero di stanze delle 120 abitazioni prese in esame differisce dal valore medio di stanze). 5. La distribuzione del reddito annuo in euro dei 1000 abitanti di un comune è la seguente: classi di reddito redditieri Si determini la varianza del reddito dei 1000 abitanti. Si verifichi numericamente la relazione tra lo scarto quadratico medio e lo scostamento medio dalla media aritmetica. Svolgimento Per prima cosa, è necessario calcolare la media aritmetica, completando la seguente tabella, dove x j = l j + l+ j 2 indica il valore centrale della j-esima classe: classi di reddito x j n j x j n j TOTALE Si ha quindi che: M 1 = 1 N 4 x j n j = = Per calcolare la varianza, e lo scostamento medio da M 1 è necessario completare la seguente tabella:

10 1 VARIABILITA 10 classi di reddito x j n j x j M 1 x j M 1 n j (x j M 1 ) 2 (x j M 1 ) 2 n j TOTALE Quindi lo scostamento medio dalla media aritmetica è pari a S M1 = x j M 1 n j = = e tale valore indica che mediamente i redditi dei 1000 abitanti si discostano dal loro valore medio di euro. La varianza è pari a σ 2 = (x j M 1 ) 2 n j = = e lo scarto quadratico medio è σ = (x j M 1 ) n j = 1000 = e tale valore indica che mediamente i redditi dei 1000 abitanti si discostano dal loro valore medio di euro. É facile notare che i valori ottenuti verificano la relazione < e pertanto è soddisfatta la seguente relazione tra scarto quadratico medio e scostamento medio da M 1 : S M1 σ. 6. La distribuzione delle fatture di una grande azienda, emesse in un mese, secondo l importo in migliaia di euro è riportata nella seguente tabella: classi d importo tot n. fatture importo totale di classe

11 1 VARIABILITA 11 Calcolare lo scostamento medio dalla mediana; lo scostamento medio dalla media aritmetica; la varianza e lo scarto quadratico medio. Verificare numericamente la relazione esistente tra S Me, S M1 e σ. Svolgimento Per prima cosa, è necessario calcolare la mediana e la media aritmetica della distribuzione. Completiamo perciò la seguente tabella. La posizione mediana è data da Classi d importo n j Tot. di classe (T j ) C j TOTALE pos(me) = N = = Scorrendo la colonna delle frequenze cumulate, riconosciamo che la classe (100; 150] è la classe mediana. Il valore della mediana è pertanto: Me = x (124.5) = [ ] ( ) 71 = Utilizzando l informazione relativa ai totali di classe, il calcolo della media aritmetica si può effettuare nel seguente modo: M 1 = = = Utilizzando l informazione sui totali di classe, calcoliamo per ciascuna classe un valore rappresentativo x j, dividendo ciascun totale di classe per la frequenza della classe. Completiamo la seguente tabella. Classi d importo n j Tot. di classe x j x j Me x j Me n j TOTALE

12 1 VARIABILITA 12 Lo scostamento medio dalla mediana è quindi S Me = x j Me n j = = e tale valore indica che mediamente gli importi delle fatture si discostano dal loro valore mediano di (migliaia di euro). Completando la seguente tabella Classi n j x j x j M 1 x j M 1 n j (x j M 1) 2 (x j M 1) 2 n j TOTALE calcoliamo agevolmente lo scostamento medio dalla media aritmetica: S M1 = x j M 1 n j = = e tale valore indica che mediamente gli importi delle fatture si discostano dal loro valore medio di (migliaia di euro). La varianza è data da: σ 2 = (x j M 1 ) 2 n j = = , 248 lo scarto quadratico medio σ = (x j 248 M 1) 2 n j = = e possiamo interpretare tale valore dicendo che mediamente gli importi delle fatture differiscono dal loro valore medio di (migliaia di euro). É possibile verificare infine che vale la relazione infatti S Me S M1 σ < <

13 1 VARIABILITA Sia X un carattere quantitativo con media aritmetica M 1 (X) = 5 e scarto quadratico medio σ(x) = 1.5. Sia Y un altro carattere quantitativo tale che Y = 0.5 2X. Determinare la media aritmetica e la varianza di Y. Svolgimento Dalla proprietà di linearità della media aritmetica, segue immediatamente che M 1 (Y ) = M 1 (X) = = 9.5. A questo punto, calcoliamo la varianza di X σ 2 (X) = (1.5) 2 = 2.25 e ricordiamo la proprietà della varianza che afferma che se tra i caratteri X e Y sussiste una relazione del tipo Y = a + b X allora tra le varianze di X e Y, vale la relazione: σ 2 (Y ) = b 2 σ 2 (X). Applicando tale proprietà, utilizzando i valori a = 0.5 e b = 2 si ricava la varianza di Y : σ 2 (Y ) = 2 2 σ 2 (X) = = In un reparto produttivo, vengono impiegate tre macchine alle quali lavorano, rispettivamente, 4, 5 e 3 operai. La seguente tabella riporta i dati relativi alla produzione oraria (per operaio e per macchina): produzione oraria macchina produzione oraria macchina produzione oraria macchina Determinare la varianza della produzione oraria dell intero sistema col metodo indiretto; determinare inoltre la varianza fra e nei gruppi e verificare la proprietà di scomposizione della varianza totale. Svolgimento Come prima cosa, dividiamo i 12 operai in K = 3 gruppi, a seconda della macchina a cui lavorano: si avrà quindi il primo gruppo (di numerosità N 1 pari a 4) composto dagli operai che lavorano alla prima macchina, il secondo gruppo (di numerosità N 2 pari a 5) formato dagli operai che lavorano alla seconda macchina e infine il terzo gruppo (di numerosità N 3 pari a 3) a cui appartengono gli operai che lavorano alla terza macchina. A ciascun operaio è associato un numero che rappresenta la sua produzione oraria.

14 1 VARIABILITA 14 É possibile a questo punto calcolare, per ciascun gruppo, la produzione oraria media (ovvero le medie parziali): X 1 = M 1 (1a macchina) = X 2 = M 1 (2a macchina) = X 3 = M 1 (3a macchina) = = = 48 = = 56.2 = = La proprietà associativa della media aritmetica permette di calcolare la media aritmetica totale (ovvero la produzione media oraria complessiva): X = X 1 N 1 + X 2 N 2 + X 3 N 3 = N 1 + N 2 + N 3 12 = Per determinare la varianza della produzione oraria complessiva con il metodo indiretto è necessario applicare la formula: σ 2 tot = 1 N N x 2 i M1 2 = M2 2 M1. 2 Si completa la seguente tabella: Numero macchina x i x 2 i TOT Quindi: M 2 2 = x 2 i = =

15 1 VARIABILITA 15 A questo punto si ricava immediatamente la varianza totale: σ 2 tot = (52.25) 2 = Calcoliamo ora la varianza fra le produzioni medie delle singole macchine (ovvero la varianza fra i gruppi). Si ha quindi: σ 2 F = 1 N = 1 12 K [ X j X] 2 N j 3 [ Xj X ] 2 Nj = ( )2 4 + ( ) ( ) = = Per determinare la varianza nei gruppi, è necessario innanzitutto calcolare le varianze parziali. Si ha quindi (utilizzando il metodo indiretto per il calcolo della varianza), che la varianza del primo gruppo è: quella del secondo gruppo: σ 2 1 = (48) 2 = 0.5 e infine per il terzo gruppo: σ 2 2 = (56.2) 2 = 0.56 σ 2 3 = (51. 3) 2 = Il calcolo della media aritmetica ponderata delle varianze parziali (varianza nei gruppi), è pertanto: σ 2 N = 1 N K σj 2 N j = 1 N 3 σ 2 j N j = = A questo punto è possibile verificare la scomposizione della varianza totale:

16 1 VARIABILITA 16 σ 2 N + σ 2 F = σ 2 tot = ( = ) Calcolando i rapporti di composizione: σ2 N σ 2 tot σ2 F σ 2 tot = = = (= 3.45%) = (= 96.55%) è possibile notare che la varianza nei gruppi è il 3.45% della varianza totale e che la varianza fra i gruppi è il 96.55% della varianza totale. Da tali considerazioni possiamo concludere che la produzione risulta molto omogenea per ogni macchina (cioè operai che lavorano alla stessa macchina hanno più o meno la stessa produttività) ed eterogenea fra le varie macchine (cioè operai lavoranti a macchine diverse hanno produttività differenti). Le differenze di produttività tra gli operai sono dunque principalmente imputabili al fatto che utilizzano diversi macchinari. 9. La seguente tabella riporta la distribuzione del numero di alberghi delle due località turistiche A e B di un comprensorio, secondo le classi di fatturato annuale (in milioni di Euro): classi di fatturato fino a Tot Numero di Alberghi in A Numero di Alberghi in B Si verifichi la scomposizione della varianza del fatturato annuo degli alberghi del comprensorio, commentando il risultato ottenuto. Svolgimento Per prima cosa, dividiamo in K = 2 gruppi gli alberghi del comprensorio: ovviamente avremo un primo gruppo (di numerosità N 1 pari a 241) formato dagli alberghi della località A e un secondo gruppo (di numerosità N 2 pari a 264) composto dagli alberghi della località B. Completiamo quindi la seguente tabella per agevolare i calcoli successivi (con n A j e con n B j si sono indicate rispettivamente le frequenze degli alberghi della località A e quelle degli alberghi della località B corrispondenti alla j-esima classe, mentre x j = l j + l+ j 2 (j = 1,..., 6) indica il valore centrale di ogni classe).

17 1 VARIABILITA 17 Classi di fatturato x j x 2 j n A j n B j n A j + n B j Totale A questo punto è possibile calcolare la media aritmetica del fatturato per gli alberghi della località A: X 1 = 1 6 x j n A j = = N e per gli alberghi della località B: X 2 = 1 6 x j n B j = = N La media aritmetica del fatturato degli alberghi di tutto il comprensorio è quindi, utilizzando la proprietà associativa della media aritmetica: X = = É possibile ora calcolare la varianza del fatturato degli alberghi di tutto il comprensorio, utilizzando le frequenze totali n A j + n B j (ed il procedimento indiretto): σ 2 tot = 1 N 6 x 2 j [n A j + n B j ] X = (8.803) = Calcoliamo ora: la varianza nei gruppi Si deve innanzitutto calcolare la varianza parziale di ciascun gruppo: σ1 2 = 1 6 x 2 j n A j N X = 241 = = (9.234) 2

18 1 VARIABILITA 18 σ2 2 = 1 6 x 2 j n B j N X = 264 = = e quindi la varianza nei gruppi (σ 2 N ): σ 2 N = σ2 1 N 1 + σ 2 2 N 2 N 1 + N 2 = la varianza fra gruppi Il calcolo della varianza fra i gruppi è invece: = ; σf 2 = [( X 1 X) 2 N 1 + ( X 2 X) 2 N 2 ] N 1 + N 2 = [( ) ( ) 2 264] 505 = = In base ai risultati ottenuti, si verifica la scomposizione: (8.409) 2 Calcolando i rapporti di composizione: σ2 N σ 2 tot σ2 F σ 2 tot = = σ 2 N + σ 2 F = σ 2 tot = ( = ). = (= 99.78%) = (= 0.22%) è possibile notare che la varianza nei gruppi è il 99.78% della varianza totale e che la varianza fra i gruppi è solo lo 0.22% della varianza totale. Da tali considerazioni possiamo concludere che la distribuzione dei fatturati degli alberghi delle località A e B è omogenea (varianza fra i gruppi molto piccola) e che in entrambe le località esistono alberghi con fatturati molto diversi (varianza nei gruppi molto grande). Le differenze tra i fatturati degli alberghi non sono dunque imputabili alla diversa collocazione geografica (località A o B).

19 1 VARIABILITA Nel 1981 gli ospedali in Italia erano 1826 ripartiti per tipo come segue: ospedali generali 1345, ospedali specialistici 295, ospedali psichiatrici 186. Per ogni ospedale è stato rilevato il numero di posti letto ottenendo le informazioni seguenti: osp. generali osp. specialist. osp. psichiatr. n. medio di posti letto 318,51 215,58 407,22 scarto quadratico medio dei posti letto 445,96 259,54 477,84. Si determini il numero medio di posti letto per il complesso di ospedali e la varianza della stessa variabile, commentando il risultato. Svolgimento In questo caso, riconosciamo K = 3 gruppi di numerosità N 1 = 1345, N 2 = 295 e N 3 = 186, formati rispettivamente dagli ospedali generali, dagli ospedali specialistici e dagli ospedali psichiatrici. Avendo le medie della variabile numeri di posti letto per ciascun gruppo, è possibile calcolare la media aritmetica totale, utilizzando la proprietà associativa della media aritmetica: X = 1 N 3 X j N j = = = Per calcolare la varianza totale, è necessario utilizzare la sua scomposizione in varianza nei gruppi più varianza fra i gruppi. La varianza nei gruppi è perciò (indicando con σ 2 j la varianza del j-esimo gruppo): σ 2 N = 1 N 3 σj 2 N j La varianza fra i gruppi è: σ 2 F = 1 N = (445.96) (259.54) (477.84) = = [ X j X] 2 N i = [ ] [ ] [ ] = = La varianza totale è quindi pari a:

20 1 VARIABILITA 20 Calcolando i rapporti di composizione: σ2 N σ 2 tot σ2 F σ 2 tot = = σ 2 tot = σ 2 N + σ 2 F = = (= 98.66%) = (= 1.34%) è possibile notare che la varianza nei gruppi è il 98.66% della varianza totale e che la varianza fra i gruppi è l 1.34% della varianza totale. Da tali considerazioni possiamo concludere che ogni gruppo è molto eterogeneo al suo interno (varianza nei gruppi alta): nell ambito di ciascuna tipologia di ospedale (generale, specialistico, psichiatrico) il numero di posti letto è molto variabile da ospedale a ospedale, mentre vi è una forte omogeneità tra le varie tipologie di ospedale (bassa varianza fra i gruppi). Le differenze tra il numero di posti letto degli ospedali non sono dunque imputabili alla diversa tipologia degli ospedali. 11. Il reddito annuo (in migliaia di euro) di sette individui è rispettivamente pari a 15, 20, 12, 10, 18, 30, 35. Determinare e interpretare la differenza media e con ripetizione del reddito. Svolgimento Per agevolare i conti, completiamo la seguente tabella scrivendo nella cella (i, j), la quantità x i x j : x i x j Si ottiene in questo modo che: = S N(N 1) = 1 N(N 1) N N x i x j = =

21 1 VARIABILITA 21 e tale valore indica che mediamente i redditi dei sette individui differiscono tra loro per migliaia di euro. Inoltre R = S N 2 = 1 N 2 N N x i x j = = e tale valore indica che mediamente i redditi dei sette individui differiscono tra loro (e con loro stessi) per migliaia di euro. Un ulteriore modo per calcolare il numeratore S delle differenze medie è dato da: S = 2 N i x (i) x (j). Illustriamo il calcolo del numeratore S attraverso quest ultima formula. Per prima cosa, è necessario ordinare i valori x j : x (1) = 10 x (2) = 12 x (3) = 15 x (4) = 18 x (5) = 20 x (6) = 30 x (7) = 35 e completare la parte sotto la diagonale principale della seguente tabella, scrivendo nella cella (i,j) la quantità x (i) x (j). x (j) Somme parziali x (i) per riga Si ha pertanto che S = 2 N i x (i) x (j) = = 464 e quindi, come volevasi dimostrare: = S N(N 1) = =

22 1 VARIABILITA 22 R = S N 2 = = Giusto per completezza, viene riportato un ulteriore metodo di calcolo per il numeratore S. Completando la seguente tabella: possiamo calcolare S nel seguente modo: j x (j) 2j N 1 x (j) (2j N 1) S = 2 7 x (j) (2j N 1) = = 464 e quindi ritrovare gli stessi valori calcolati precedentemente per e R. 12. La distribuzione del prezzo del pane al chilogrammo nei capoluoghi di 27 province nel 1970 e nel 1989 è riportata nella seguente tabella: prezzo lire al kg tot frequenze prezzo lire al kg tot frequenze a) Determinare la differenza media semplice e con ripetizione del prezzo del pane nel 1970; b) Si può dire che dal 1970 al 1989 ci sia stato un aumento della variabilità del fenomeno? Svolgimento a) Ricordando che in questo caso N = 27, completiamo la seguente tabella che agevolerà il calcolo delle differenze medie.

23 1 VARIABILITA 23 x j n j C j 2C j N n j n j (2C j N n j ) x j n j (2C j N n j ) Totale Utilizzando la formula per il calcolo del numeratore S, la differenza media semplice è quindi data da: = S N(N 1) = 2 N(N 1) 6 x j n j (2C j N n j ) = = Tale valore indica che i prezzi del pane nei 27 capoluoghi nel 1970 differiscono mediamente tra loro di lire. La differenza media con ripetizione è data da: R = S N 2 = 2 N 2 6 x j n j (2C j N n j ) = = (27) 2 Tale valore indica che i prezzi del pane nei 27 capoluoghi nel 1970 differiscono mediamente tra loro (e con loro stessi) di lire. b) Osservando i valori del prezzo del pane nei due anni presi in esame, è facile rendersi conto che l ordine di grandezza è differente, ragion per cui per confrontare le variabilità dei prezzi del pane nei due anni (1970 e 1989) è necessario ricorrere a indici relativi di variabilità. Poichè al punto precedente abbiamo calcolato sulla distribuzione dei prezzi del 1970 gli indici e R, la scelta più ovvia è quella di confrontare la variabilità dei prezzi del 1970 e del 1989 con gli indici relativi: M 1 o R M 1. Per completezza, tuttavia, calcoliamo anche gli altri indici relativi noti: S M1 M 1, S Me M 1 e σ M 1. Calcoliamo perciò la mediana e la media aritmetica relative all anno 1970: M (1970) 1 = Me (1970) = x ( N+1 2 ) = x ( ) = x (14) = =

24 1 VARIABILITA 24 e la mediana e la media aritmetica relative all anno 1989: Me (1989) = x ( N+1 2 ) = x ( ) = x (14) = 3000 M (1989) = 27 Si completa la seguente tabella, relativa all anno 1970: = x j n j x j Me x j Me n j x j M 1 x j M 1 n j (x j M 1 ) 2 (x j M 1 ) 2 n j Totale grazie alla quale è possibile calcolare S (1970) Me S (1970) M 1 = 1 N = 1 N σ (1970) = 1 N 6 6 x j Me (1970) n j = = x j M (1970) 1 n j = = (x j M (1970) ) 2 n j = = Completiamo l analoga tabella relativa all anno 1989: x j n j x j Me x j Me n j x j M 1 x j M 1 n j (x j M 1 ) 2 (x j M 1 ) 2 n j Totale grazie alla quale è possibile calcolare S (1989) Me = 1 N 6 x j Me (1989) n j = = S (1989) M 1 = 1 N 6 x j M (1989) 1 n j = = 397.8

25 1 VARIABILITA 25 σ (1989) = 1 N 6 (x j M (1989) 1 ) 2 n j = = Ricordiamo infine di aver calcolato, per l anno 1970, e (1970) = (1970) R = Completiamo l analoga tabella (relativa all anno 1989): x j n j C j 2C j N n j x j n j (2C j N n j ) grazie alla quale possiamo calcolare (1989) = e S N(N 1) = 1 N(N 1) 2 6 x j n j (2C j N n j ) = = (1989) R = S N 2 = 1 N x j n j (2C j N n j ) = = Riassumiamo nella seguente tabella i valori calcolati sia per l anno 1970 che per l anno 1989: Anno 1970 Anno 1989 Me M S Me S M σ R É possibile a questo punto calcolare i seguenti indici relativi di variabilità:

26 1 VARIABILITA 26 Anno 1970 Anno 1989 S Me M 1 : S M1 M 1 : CV = σ M 1 : M 1 : R M 1 : = > = = > = = < = = < = = < = Il valore indica che lo scostamento dalla mediana del prezzo del pane nel 1970 è pari al 12.52% della media aritmetica. Il valore indica che lo scostamento dalla mediana del prezzo del pane nel 1989 è pari al 12.45% della media aritmetica. Il valore indica che lo scostamento dalla media aritmetica del prezzo del pane nel 1970 è pari al 13.04% della media aritmetica. Il valore indica che lo scostamento dalla media aritmetica del prezzo del pane nel 1989 è pari al 12.99% della media aritmetica. Il valore indica che lo scarto quadratico medio del prezzo del pane nel 1970 è pari al 15.40% della media aritmetica. Il valore indica che lo scarto quadratico medio del prezzo del pane nel 1989 è pari al 15.64% della media aritmetica. Il valore indica che la differenza media semplice del prezzo del pane nel 1970 è pari al 17.62% della media aritmetica. Il valore indica che la differenza media semplice del prezzo del pane nel 1989 è pari al 17.74% della media aritmetica. Il valore indica che la differenza media con ripetizione del prezzo del pane nel 1970 è pari al 16.96% della media aritmetica. Il valore indica che la differenza media con ripetizione del prezzo del pane nel 1989 è pari al 17.08% della media aritmetica. Attraverso il confronto dei valori assunti dagli indici relativi di variabilità calcolati, si può concludere che la variabilità del prezzo del pane dei 27 capoluoghi

27 1 VARIABILITA 27 presi in esame nel 1989 non è sensibilmente aumentata rispetto al La classificazione di due gruppi di ditte produttrici di olio d oliva, che vendono rispettivamente il proprio prodotto a peso (gruppo A) e a volume (gruppo B), ha dato luogo alle seguenti distribuzioni di frequenze: gruppo A prezzo euro al kg ,5 3, ,5 4,5 5 n. ditte gruppo B prezzo euro al litro ,5 3, ,5 4,5 5 n. ditte Quale delle due distribuzioni presenta maggiore variabilità? Si effettui il confronto utilizzando indici basati sullo scostamento medio dalla media aritmetica, sullo scostamento medio dalla mediana, sullo scarto quadratico medio e sulla differenza media semplice.. Svolgimento Per prima cosa, completiamo la seguente tabella per agevolare il calcolo della mediana e della media aritmetica per ciascuno dei due gruppi (si indicano con n A j e n B j le frequenze dei gruppi A e B, inoltre con N A si è indicata la numerosità complessiva del gruppo A e con N B quella del gruppo B, infine x j = l j + l+ j 2 di ogni classe). indica il valore centrale classi di prezzo x j n A j n B j Cj A Cj B x j n A j x j n B j Totale É possibile ora calcolare la mediana per ciascuno dei due gruppi: Me A = x N A +1 = x 2 ( ) = x (250.5) = [ ] = 3.8 Me B = x N B +1 = x 2 ( ) = x (150.5) = 3 + [ ] = e le medie aritmetiche: M A 1 = 1 N A 5 x j n A j = = 3.79

28 1 VARIABILITA 28 M B 1 = 1 N B 5 x j n B j = = Completiamo quindi la tabella relativa al gruppo A: x j n A j x j Me A x j Me A n A j x j M1 A x j M1 A na j x 2 j x 2 j na j Totale da cui ricaviamo σ A = 1 N A S A Me = 1 N A S A M 1 = 1 N A 5 5 x j Me A n A j = = x j M A 1 n A j = = x 2 j na j [MA 1 ] 2 = (3.79) = = Completiamo anche la seguente tabella (sempre relativa al gruppo A): x j n A j Cj A 2Cj A N A n A j x j n A j (2Cj A N A n A j ) grazie alla quale possiamo calcolare A = S N A (N A 1) = 1 N A (N A 1) 2 5 Calcoliamo ora le stesse grandezze per il gruppo B: x j n A j (2C A j N A n A j ) = =

29 1 VARIABILITA 29 x j n B j x j Me B x j Me B n B j x j M1 B x j M1 B nb j x 2 j x 2 j nb j Totale da cui ricaviamo σ B = 1 N B S B Me = 1 N B S B M 1 = 1 N B 5 x j Me B n B j = = x 2 j nb j [MB 1 ] 2 = x j M B 1 n B j = = (3.31 6) 2 = = Completiamo anche la seguente tabella (sempre relativa al gruppo B): x j n B j Cj B 2Cj B N B n B j x j n B j (2Cj B N B n B j ) grazie alla quale possiamo calcolare B = S N B (N B 1) = 1 N B (N B 1) 2 5 x j n B j (2C B j N B n B j ) = = É possibile a questo punto calcolare i seguenti indici relativi di variabilità:

30 1 VARIABILITA 30 Gruppo A Gruppo B S Me M 1 : S M1 M 1 : CV = σ M 1 : M 1 : = < = = < = = < = = < = Confrontando i valori degli indici relativi di variabilità, si può concludere che presenta maggiore variabilità la distribuzione delle ditte del gruppo B. 14. Nella seguente tabella sono riportate le distribuzioni per destinazione dei viaggi di vacanza (V ) e dei viaggi di lavoro (W) effettuati dagli italiani nel 1998 (dati in migliaia): Destinazione V W Italia Paesi UE Resto d Europa Resto del mondo Si valuti, con un opportuno indice basato sulle differenze medie, quale delle due distribuzioni V e W presenta la variabilità più elevata. Si interpretino i valori assunti dall indice per le due distribuzioni. Svolgimento Riconosciamo innanzitutto che abbiamo a che fare con una distribuzione di unità e che la popolazione statistica è costituita da 4 unità (N = 4). Per calcolare la differenza media per i viaggi di vacanza (V ), completiamo la seguente tabella, in cui le osservazioni sono state ordinate in modo crescente secondo i valori del carattere. Destinazione i v (i) 2i N 1 v (i) (2i N 1) Resto d Europa Resto del mondo Paesi EU Italia Totale

31 1 VARIABILITA 31 Possiamo pertanto calcolare la differenza media: (V ) = la media aritmetica: 2 N(N 1) 4 M 1 (V ) = 1 4 v (i) (2i N 1) = = , e quindi l indice relativo di variabilità: v i = = (V ) M 1 (V ) = = che indica che la differenza media semplice del numero di viaggi di vacanza è il 170.2% della corrispondente media aritmetica. Consideriamo ora il carattere W: Destinazione i w (i) 2i N 1 w (i) (2i N 1) Resto d Europa Resto del mondo Paesi EU Italia Totale Possiamo pertanto calcolare la differenza media: (W) = la media aritmetica: 2 N(N 1) 4 M 1 (W) = 1 4 w (i) (2i N 1) = = , e quindi l indice relativo di variabilità: w i = = (W) M 1 (W) = = che indica che la differenza media semplice del numero di viaggi di lavoro è il 160.2% della corrispondente media aritmetica. Riconoscendo che (V ) M 1 (V ) = > = (W) M 1 (W) si può concludere che la distribuzione V presenta maggiore variabilità.

32 1 VARIABILITA Una fabbrica produce tubi catodici televisivi di due tipi. Per il tipo A si ha una durata media di 1495 ore e uno scarto quadratico medio di 280 ore. Per il tipo B si ha una durata media di 1875 ore ed uno scarto quadratico medio di 310 ore. Fornire una misura della variabilità relativa e commentare il risultato. Svolgimento Un indice di variabilità relativa per i tubi di tipo A è dato da: σ A M A 1 = = 0.19 e tale valore indica che lo scarto quadratico medio della durata dei tubi del tipo A è il 19% della corrispondente durata media. Per quanto riguarda i tubi del tipo B si ha: σ B M B 1 = = e tale valore indica che lo scarto quadratico medio della durata dei tubi del tipo B è il 17% della corrispondente durata media. Riconoscendo che σ A = 0.19 > 0.17 = σb M1 A M1 B si può concludere che la distribuzione delle durate dei tubi catodici del gruppo A presenta maggiore variabilità rispetto a quella del gruppo B.