STATISTICA esercizi svolti sulla CONCENTRAZIONE

Transcript

1 SAISICA esercizi svolti sulla COCERAZIOE

2 COCERAZIOE 2 COCERAZIOE. Esercizi. Il reddito annuo (in migliaia di euro) di 7 fratelli è il seguente: individui A B C D E F G reddito (in migliaia di euro) racciare il diagramma di Lorenz e interpretare il punto della spezzata di coordinate (p 3 ;q 3 ). Determinare il rapporto di concentrazione R di Gini commentando opportunamente il risultato ottenuto. Svolgimento Per determinare le coordinate della spezzata di Lorenz, è necessario completare la seguente tabella, in cui sono stati ordinati i valori x i in ordine non decrescente ed è stata aggiunta la prima riga corrispondente al punto fittizio (0; 0). Per facilitare il completamento della tabella, conviene anche calcolare: = 7 x j = = 40. i x i P i Q i p i = P i q i = Q i In Figura () è rappresentato il diagramma di Lorenz per la distribuzione dei redditi dei 7 fratelli. É possibile interpretare il punto di coordinate (p 3 ;q 3 ) = (0.429; 0.264), affermando che al 42.9% dei fratelli con reddito minore spetta il 26.4% del reddito totale (dei sette fratelli). Per calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, si ricorda che R = 2 (p i q i ) = 2 q i.

3 COCERAZIOE 3 q 0.5 (p ;q ) p Fig. : Diagramma di Lorenz per la distribuzione dei redditi dei 7 fratelli. Dalla precedente tabella si ricava che q i = 3.7, pertanto e quindi q i = 3.7 = 2.7, R = 2 q i = = ale valore indica che la concentrazione è pari al % del valore massimo teorico. 2. L ufficio metereologico dell aeronautica ha fornito i seguenti dati relativi alla piovosità mensile (in mm) in Italia nel periodo che va da dicembre 99 a novembre 992: mesi D G F M A M G L A S O mm pioggia racciare il diagramma di Lorenz; determinare e commentare il rapporto di concentrazione R di Gini. Svolgimento É necessario completare la seguente tabella, in cui sono stati ordinati (in ordine non

4 COCERAZIOE 4 decrescente) i valori x i ed è stata aggiunta la prima riga per il punto fittizio (0, 0). Per facilitare il completamento della tabella, conviene anche calcolare: = 2 x i = = 800 e riconoscere che = 2. mm pioggia P i = i Q i p i = P i q i = Q i In Figura (2) è rappresentato il diagramma di Lorenz. Per calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, si ricorda che R = 2 (p i q i ) = 2 q i. Dalla precedente tabella si ricava che q i = 4.885, pertanto q i = = 3.885, e quindi R = 2 q i = = ale valore indica che la concentrazione è pari al 29.36% del valore massimo teorico.

5 COCERAZIOE 5 q p Fig. 2: Diagramma di Lorenz per il carattere mm di pioggia. 3. I redditi, espressi in migliaia di euro, di 7 individui sono: x () = 20, x (2) = 25, x (3) = 4, x (4) = 46, x (5) = 60, x (6) = 85, x (7) = 20. Indicata con X la variabile reddito, si supponga che lo stato introduca un imposta pari al: 2% del reddito per coloro che percepiscono un reddito X 25; 5% del reddito per coloro che percepiscono un reddito 25 < X 60; 28% del reddito per coloro che percepiscono un reddito X > 60. Confrontare tramite l ausilio di un adeguato indice, la concentrazione dei redditi prima e dopo il prelievo fiscale. Stabilire inoltre (senza effettuare calcoli) come varia la concentrazione, rispetto alla situazione iniziale, nei casi in cui: a) lo stato introduce un imposta pari al 5% del reddito; b) lo stato impone una tassa fissa di 5 mila euro. Svolgimento Innanzitutto completiamo la seguente tabella per poter calcolare il rapporto di concentrazione di Gini prima della tassazione. Come di consueto i valori x i sono stati

6 COCERAZIOE 6 ordinati, è stato aggiunto il punto fittizio (0,0) ed è stata calcolata la quantità (prima) = 7 x i = = 397. x i P i = i Q i p i = P i q i = Q i p i q i Per calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, si utilizza la seguente formula: R (prima) = 2 (p i q i ). Dalla precedente tabella si ricava che (p i q i ) = (p i q i ) =.06, pertanto R (prima) = 2 (p i q i ) = 2.06 = ale valore indica che prima della tassazione, la concentrazione è pari al 36.9% del valore massimo teorico. A questo punto, è necessario calcolare i redditi che rimangono ai 7 individui, dopo aver pagato la tassa. Indichiamoli con y i con i =, 2,..., 7: 2 y () = = y (2) = = y (3) = = y (4) = = 39.

7 COCERAZIOE 7 5 y (5) = = 5 28 y (6) = = y (7) = = 86.4 Completiamo quindi la seguente tabella, dopo aver calcolato il reddito totale dopo la tassazione: 7 (dopo) = y i = = y i P i = i Q i p i = P i q i = Q i p i q i Per calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, si utilizza la seguente formula: R (dopo) = 2 (p i q i ). Dalla precedente tabella si ricava che (p i q i ) = rapporto di concentrazione, dopo la tassazione è dato da (p i q i ) = 0.96, pertanto il R (dopo) = 2 (p i q i ) = = ale valore indica che dopo la tassazione, la concentrazione è pari al % del valore massimo teorico. Confrontando i valori assunti dal rapporto di concentrazione di Gini prima e dopo la tassazione, si deduce che il valore della concentrazione dei redditi è diminuito dopo la tassazione, infatti Osserviamo adesso che R (prima) = > = R (dopo).

8 COCERAZIOE 8 a) se lo stato introduce un imposta pari al 5% del reddito, i redditi dopo tale tassazione sono equivalenti all 85% dei redditi prima della tassazione. In altre parole, per determinare i redditi dopo tale tassazione, bisogna moltiplicare i redditi iniziali (cioè prima della tassazione) per ale trasformazione è chiaramente una trasformazione di scala. Ricordando ora che un requisito di un indice di concentrazione è l invarianza per trasformazioni di scala, si può quindi concludere che la concentrazione prima e dopo la tassazione resta invariata. b) Se invece lo stato impone una tassa fissa di 5 mila euro, i redditi dopo la tassazione si ricavano sottraendo a ciascun reddito iniziale (cioè prima della tassazione) una quantità costante pari a 5 mila euro. Ricordando il requisito di un indice di concentrazione che afferma che se tutti i valori x i vengono aumentati di una stessa quantità h > 0, l indice di concentrazione diminuisce (e di converso se tutti i valori vengono diminuiti di un valore costante h > 0, l indice aumenta), possiamo affermare che l applicazione di una tassa del genere porterebbe ad un aumento della concentrazione dei redditi. 4. La rilevazione di un carattere trasferibile X ha dato luogo alla seguente distribuzione di frequenze: x i n i Supponendo di riclassificare il carattere X nelle classi: si tracci il diagramma di Lorenz e si determini il rapporto di concentrazione con riferimento: a) alla distribuzione originaria; b) alla distribuzione per classi nel caso in cui si ritenga noto l ammontare in ciascuna classe; c) alla distribuzione per classi nel caso in cui non si ritenga noto l ammontare in ciascuna classe. Commentare i risultati. Svolgimento Per prima cosa, analizziamo la situazione originaria. Completiamo perciò la seguente tabella, dopo aver calcolato: e = = 3 j= 3 j= n j = 20 x j n j = 200.

9 COCERAZIOE 9 x j n j x j n j P j Q j p j = P j q j = Q j otale () (2) (3) (4) x j n j (p j q j ) (p j q j ) (2) + (3) (4) () otale Il diagramma di Lorenz per la distribuzione originaria è riportato in Figura (3).

10 COCERAZIOE 0 q p Fig. 3: Diagramma di Lorenz per la distribuzione originaria. É possibile a questo punto calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, utilizzando la formula: R = = = 20 s [(p j q j ) + (p j q j )]n j j= 3 j= 7.2 = [(p j q j ) + (p j q j )]n j ale valore indica che la concentrazione nella situazione originaria è pari al 37.95% del valore massimo teorico. Vediamo ora la situazione in cui il carattere è raggruppato in classi, ritenendo noto l ammontare in ciascuna classe. Dopo aver determinato le frequenze per ciascuna classe, completiamo la seguente tabella.

11 COCERAZIOE Ammontare Classi n j P di classe j Q j p j = P j q j = Q j otale () (2) (3) (4) Classi n j (p j q j ) (p j q j ) (2) + (3) (4) () otale Il diagramma di Lorenz per la distribuzione raggruppata in classi (considerando i totali di classe) è riportato in Figura (4). q p Fig. 4: Diagramma di Lorenz della distribuzione raggruppata in classi, considerando noti i totali di classe. É possibile a questo punto calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, utilizzando la formula: R = 5 [(p j q j ) + (p j q j )]n j = 7.02 = j=

12 COCERAZIOE 2 ale valore indica che tenendo in considerazione l ammontare di classe, la concentrazione è pari al % del valore massimo teorico. Vediamo ora la situazione in cui il carattere è raggruppato in classi, ritenendo non noto l ammontare in ciascuna classe. Completiamo la seguente tabella, in cui x j = l + l + classe. 2 è il valore centrale della j-esima Classi x j n j x j n j P j Q j p j = P j q j = Q j otale () (2) (3) (4) Classi n j (p j q j ) (p j q j ) (2) + (3) (4) () otale Il diagramma di Lorenz per la distribuzione raggruppata in classi (non considerando i totali di classe) è riportato in Figura (5). É possibile a questo punto calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, utilizzando la formula: R = 5 j= [(p j q j ) + (p j q j )]n j = = ale valore indica che non considerando l ammontare di classe, la concentrazione è pari al 42.66% del valore massimo teorico.

13 COCERAZIOE 3 q p Fig. 5: Diagramma di Lorenz della distribuzione raggruppata in classi, considerando O noti i totali di classe. q 0.5 otali di classe noti otali di classe O noti p Fig. 6: Confronto dei diagrammi di Lorenz, considerando noti e considerando non noti i totali di classe. In Figura (6) è possibile confrontare i diagrammi di Lorenz per i due casi precedentemente trattati (totali di classe noti e totali di classe non noti). Il grafico sottolinea il risultato già riscontrato: la situazione che presenta maggiore concentrazione corrisponde a quella in cui si considerano non noti i totali di classe.

14 COCERAZIOE 4 5. I clienti di un negozio alimentare sono stati classificati nelle seguenti classi di spesa: spesa (in euro) totale numero clienti racciare il diagramma di Lorenz e determinare un opportuno indice di concentrazione. Svolgimento Completiamo la seguente tabella, in cui x j = l + l + classe. 2 è il valore centrale della j-esima Classi x j n j x j n j P j Q j p j = P j q j = Q j otale () (2) (3) (4) Classi n j (p j q j ) (p j q j ) (2) + (3) (4) () otale Il diagramma di Lorenz è riportato in Figura (7). É possibile a questo punto calcolare il rapporto di concentrazione di Gini, utilizzando la formula: s R = [(p j q j ) + (p j q j )]n j = 20 j= 5 [(p j q j ) + (p j q j )]n j j= = =

15 COCERAZIOE 5 q p Fig. 7: Diagramma di Lorenz. ale valore indica che la concentrazione è pari al 42.66% del valore massimo teorico. 6. La spesa per l abbigliamento X, espressa in euro, di 260 famiglie, registrata nel primo semestre 2003 è stata la seguente: classi di spesa numero di famiglie totale spesa per classe Rappresentare il diagramma di Lorenz. Calcolare inoltre il rapporto di concentrazione di Gini, utilizzando la relazione con la differenza media semplice. Svolgimento Completiamo la seguente tabella, utilizzando l informazione relativa ai totali di classe.

16 COCERAZIOE 6 Classi di spesa n j otali di classe P j Q j p j = P j q j = Q j Possiamo adesso rappresentare il diagramma di Lorenz: è riportato in Figura (8). q p Fig. 8: Diagramma di Lorenz per il carattere X. Per determinare la differenza media semplice, completiamo la seguente tabella, sempre utilizzando l informazione relativa ai totali di classe. Classi di otali di classe spesa (= x j n j ) n j C j 2C j n j x j n j [2C j n j ]

17 COCERAZIOE 7 Calcoliamo ora la differenza media semplice, utilizzando la formula: = = 2 ( ) s x j n j (2C j n j ) j= 6 x j n j (2C j n j ) j= 2 = = Per calcolare la media aritmetica, basta calcolare: M = = Possiamo a questo punto calcolare il rapporto di concentrazione di Gini: R = 2M = = ale valore indica che la concentrazione è pari al 8.59% del valore massimo teorico.