Statistica Esercitazione. alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

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1 Statistica Esercitazione alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

2 Obiettivo I tre esercizi che seguono hanno lo scopo di applicare quanto sappiamo in tema di misura della concentrazione di un carattere trasferibile. In particolare, i tre esercizi chiariscono gli ambiti di applicazione delle varie misure di concentrazione presentate durante il corso. L ultimo esercizio si basa sui dati relativi alle pensioni erogate in Italia nel 2013 per classi di importo mensile, già utilizzati nell esercitazione del 30 marzo. Esercizio 1. Nel presente esercizio applichiamo il rapporto di concentrazione di Gini per misurare la concentrazione nel caso di un collettivo composto da n = 6 unità statistiche. La formula di calcolo, come si ricorderà, è data da g = n 1 p i q i n 1 p i e in versione semplificata da g = 1 2 n 1 q i n 1 Pagina 2

3 Sei amici verificano l ammontare di contante che ciascuno di essi detiene nel portafoglio. Poiché il denaro contante posseduto complessivamente dai sei amici è un carattere trasferibile, misuriamone la concentrazione nel collettivo esaminato. La situazione è sintetizzata nella seguente tabella: Tab. 1 - Un semplice esercizio sulla concentrazione Unità Ammontare Andrea 100 Beatrice 75 Cristian 225 Dorotea 50 Elisa 25 François 25 Totale 500 Pagina 3

4 Ricordando che p i = i n è il rapporto tra le prime i unità statistiche nel collettivo ordinato e l ampiezza del collettivo e q i = S i S n è il rapporto tra l ammontare del carattere detenuto dalle prime i unità statistiche e l ammontare complessivo del carattere, o in altri termini la frazione dell ammontare complessivo del carattere detenuto dalle prime i unità statistiche nel collettivo ordinato Pagina 4

5 Procediamo all organizzazione del prospetto di calcolo: Tab. 2 - Organizzazione del prospetto di calcolo Unità i x i S i p i q i (p i - q i ) Elisa 1 25 François 2 25 Dorotea 3 50 Beatrice 4 75 Andrea Cristian Totale 500 dove abbiamo proceduto a ordinare le unità statistiche componenti il collettivo in senso ascendente, sulla base dell ammontare del carattere detenuto da ciascuna di esse. Così impostato, appare chiaro che il problema è analogo a quello relativo al calcolo di un qualsiasi parametro di forma nel caso di distribuzione unitaria delle frequenze Pagina 5

6 Risulterà che Tab. 3 - Prospetto di calcolo Unità i x i S i p i q i (p i - q i ) Elisa ,1667 0,0500 0,1167 François ,3333 0,1000 0,2333 Dorotea ,5000 0,2000 0,3000 Beatrice ,6667 0,3500 0,3167 Andrea ,8333 0,5500 0,2833 Cristian ,0000 1, Totale 500 1,2500 Pagina 6

7 Procediamo al calcolo del rapporto di concentrazione nella formulazione standard: g = n 1 p i q i n 1 = 1,2500 p i 2,5000 = 0,5 Calcoliamo adesso il rapporto di concentrazione utilizzando la formula rapida: g = 1 2 n 1 q i n 1 = 1 2 1,2500 = 1 2 0,25 = 0,5 6 1 Quindi, nel caso di distribuzione unitaria, le due formule ci consentono di pervenire allo stesso risultato. Nel prossimo esercizio dimostriamo che tale identità di risultati, nel caso di una distribuzione non unitaria, non si verifica Pagina 7

8 Esercizio 2. La ACME Corporation è una media impresa del comparto manifatturiero con 120 dipendenti. Abbiamo informazioni circa le qualifiche dei dipendenti e i relativi livelli stipendiali, che riassumiamo nel seguente prospetto di sintesi: Tab. 4 - Livelli stipendiali nella ACME Corp. Livello stipendiale Numero unità Retribuzione netta media mensile (US $) Operaio semplice Operaio specializzato Impiegato amministrativo Funzionario amministrativo Capo divisione Amministratore delegato Totale 120 Dall esame della tabella, risulta evidente che in questo caso siamo in presenza di una distribuzione non unitaria del carattere, in quanto uno stesso livello stipendiale caratterizza più unità statistiche. In questo caso è appropriato misurare la concentrazione tramite il rapporto di concentrazione? Verifichiamolo replicando la procedura del precedente esercizio Pagina 8

9 Predisponiamo il prospetto di calcolo, modificandolo opportunamente per tenere in considerazione il fatto che, in questo caso, siamo in presenza di una distribuzione non unitaria: Tab. 5 - Organizzazione del prospetto di calcolo Livello stipendiale N i C i x i x i N i S i p i q i (p i - q i ) Operaio semplice Impiegato amministrativo Operaio specializzato Funzionario amministrativo Capo divisione Amministratore delegato Totale 120 Notare che, diversamente dal caso precedente, dovremo inserire due colonne aggiuntive, di cui una relativa alla cumulata delle unità statistiche (C i ) e l altra relativa agli stipendi corrisposti alle unità statistiche caratterizzate dalla stessa qualifica (x i N i ). Pagina 9

10 Procediamo adesso a effettuare i calcoli: Tab. 6 - Prospetto di calcolo Livello stipendiale N i C i x i x i N i S i p i q i (p i - q i ) Operaio semplice , ,00 0,3750 0,2419 0,1331 Impiegato amministrativo , ,00 0,5833 0,4583 0,1250 Operaio specializzato , ,00 0,9167 0,8405 0,0761 Funzionario amministrativo , ,00 0,9667 0,9104 0,0562 Capo divisione , ,00 0,9917 0,9552 0,0365 Amministratore delegato , ,00 1,0000 1, Totale ,00 0,4269 Pagina 10

11 Procediamo al calcolo del rapporto di concentrazione nella formulazione standard: g = k 1 p i q i k 1 = 0,4269 p i 3,8333 = 0,1114 Calcoliamo adesso il rapporto di concentrazione utilizzando la formula rapida: g = 1 2 k 1 q i k 1 = 1 2 3,4064 = 1 2 0,68128 = 0, Quindi, nel caso di distribuzione non unitaria, non soltanto le due formule non ci consentono di pervenire allo stesso risultato, ma nel secondo caso il risultato è palesemente assurdo, in quanto, come si ricorderà, il rapporto di concentrazione è definito nell intervallo chiuso di estremi 0, 1. Quindi dovremo ricorrere ad una misura di concentrazione più robusta, basata su tecniche di integrazione numerica, che come sappiamo è l indice di concentrazione di Gini, definito dalla seguente relazione: R = n n 1 1 k p i p i 1 q i + q i 1 Pagina 11

12 L indice di concentrazione Di nuovo, predisponiamo il prospetto di calcolo, osservando che possiamo mantenere lo schema seguito in precedenza fino alla determinazione delle quantità p i e q i : Tab. 7 - Organizzazione del prospetto di calcolo Livello stipendiale p i q i (p i - p i-1 ) (q i + q i-1 ) (p i - p i-1 )(q i + q i-1 ) Operaio semplice 0,3750 0,2419 Impiegato amministrativo 0,5833 0,4583 Operaio specializzato 0,9167 0,8405 Funzionario amministrativo 0,9667 0,9104 Capo divisione 0,9917 0,9552 Amministratore delegato 1,0000 1,0000 Totale Pagina 12

13 L indice di concentrazione Procediamo quindi a svolgere le operazioni indicate nell intestazione delle colonne del prospetto di calcolo: Tab. 8 - Prospetto di calcolo Livello stipendiale p i q i (p i - p i-1 ) (q i + q i-1 ) (p i - p i-1 )(q i + q i-1 ) Operaio semplice 0,3750 0,2419 0,3750 0,2419 0, Impiegato amministrativo 0,5833 0,4583 0,2083 0,7002 0, Operaio specializzato 0,9167 0,8405 0,3333 1,2989 0, Funzionario amministrativo 0,9667 0,9104 0,0500 1,7510 0, Capo divisione 0,9917 0,9552 0,0250 1,8656 0, Amministratore delegato 1,0000 1,0000 0,0083 1,9552 0, Totale 0, Il valore dell indice di concentrazione di Gini sarà pari a R = n n 1 1 k p i p i 1 q i + q i 1 = ,8200 = 0,1815 Pagina 13

14 L indice di concentrazione Esercizio 3. L indice di concentrazione è una misura robusta anche nel caso di un carattere continuo ripartito in classi. Riprendiamo i dati relativi alle pensioni erogate in Italia nel 2013 per classi di importo mensile, già utilizzati nell esercitazione del 30 marzo e riportati nella tabella seguente: Tab. 9 - Numero di pensioni erogate per classe di importo mensile. Italia 2013 Classi di importo N i fino a 499,99 euro ,99 euro , ,99 euro , ,99 euro , ,99 euro , ,99 euro euro e più Totale Pagina 14

15 L indice di concentrazione Nel caso di un carattere continuo ripartito in classi, per procedere al calcolo della misura di concentrazione dovremo considerare un valore rappresentativo per ciascuna classe di modalità del carattere, che come sappiamo è la semisomma degli estremi che delimitano la classe. Organizziamo quindi il seguente prospetto di calcolo: Tab Organizzazione del prospetto di calcolo Classi di importo x i N i C i x i N i S i p i q i fino a 499,99 euro 250, ,99 euro 750, , ,99 euro 1250, , ,99 euro 1750, , ,99 euro 2250, , ,99 euro 2750, euro e più 3500, Totale Pagina 15

16 L indice di concentrazione Procediamo quindi a svolgere i calcoli per la determinazione delle quantità p i e q i : Tab Prospetto di calcolo Classi di importo x i N i C i x i N i S i p i q i fino a 499,99 euro 250, ,1128 0, ,99 euro 750, ,3979 0, , ,99 euro 1250, ,6230 0, , ,99 euro 1750, ,8018 0, , ,99 euro 2250, ,8963 0, , ,99 euro 2750, ,9425 0, euro e più 3500, ,0000 1,0000 Totale Pagina 16

17 L indice di concentrazione Utilizziamo quindi le quantità p i e q i per calcolare l indice di concentrazione: Tab Prospetto di calcolo (continuazione) Classi di importo p i q i (p i - p i-1 ) (q i + q i-1 ) (p i - p i-1 )(q i + q i-1 ) fino a 499,99 euro 0,1128 0,0205 0,1128 0,0205 0, ,99 euro 0,3979 0,1757 0,2850 0,1962 0, , ,99 euro 0,6230 0,3800 0,2251 0,5557 0, , ,99 euro 0,8018 0,6073 0,1789 0,9873 0, , ,99 euro 0,8963 0,7616 0,0945 1,3689 0, , ,99 euro 0,9425 0,8539 0,0462 1,6155 0, euro e più 1,0000 1,0000 0,0575 1,8539 0, Totale 0, Il valore dell indice di concentrazione di Gini sarà pari a R = 1 k p i p i 1 q i + q i 1 = 1 0,6705 = 0,3295 Pagina 17