Esercitazioni di Statistica: ES.1.1

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1 Esercitazioni di Statistica: ES.1.1 Le componenti fondamentali dell analisi statistica Unità statistica Oggetto dell osservazione di ogni fenomeno individuale che costituisce il fenomeno collettivo Carattere Caratteristica di ciascuna unità statistica Popolazione o collettivo statistico Insieme di unità statistiche omogenee rispetto ad una o più caratteristiche Modalità Il modo in cui si presenta un carattere. Ciascun carattere è presente in ogni unità con una determinata modalità Tipi di caratteri Qualitativo: sconnesso (scala nominale), ordinato (scala ordinale) Quantitativo: discreto (scala ad intervalli), continuo (scala ad intervalli). In questo tipo di caratteri le modalità sono espresse numericamente Relazioni ed operazioni tra le modalità Caratteri qualitativi quantitativi sconnessi ordinati Uguaglianza e disuguaglianza si si si Ordinamento no si si Addizione e sottrazione no no si 1

2 Esempio. Sconnessi Ordinati Discreti Continui Sesso Grado di soddisfazione n. figli Peso Settore Attività Posizione in graduatoria n. pezzi prodotti Altezza Luogo di nascita Titolo di studio n. rispose esatte ad un test Reddito Stato civile Livello di qualità durata Religione Livello di importanza distanza Colore occhi Esercizio 1. Per uno studente universitario viene rilevato il punteggio ottenuto in 5 diversi test, dove il punteggio ad ogni singolo test è ottenuto dalla somma delle risposte esatte. Sapendo che ogni test contiene 30 quesiti, a) indicare, tra le risposte alternative di seguito riportate, a cosa corrispondono: 1. una unità statistica 2. una modalità 3. il collettivo di riferimento i) singolo studente; ii) l insieme di tutti gli studenti universitari; iii) singolo punteggio; iv) l insieme dei 5 punteggi conseguiti; v) singolo test; vi) l insieme dei 5 test sostenuti; vii) l insieme di tutti i test sostenibili. Soluzione. 1. v; 2. iii; 3. vi. b) indicare il tipo di carattere considerato (se qualitativo, ordinabile o sconnesso, oppure quantitativo, continuo o discreto) e le possibili modalità da esso assumibili. Soluzione. Tipo di carattere: quantitativo discreto; modalità assumibili: numeri interi compresi tra 0 e 30. Esercizio 2. La seguente tabella raccoglie i dati dei primi 5 classificati nella gara individuale di tiro con l arco. Nome Graduatoria Altezza (cm) Residenza Punteggio Mauro Roma 170 Carla Milano 155 Alberto Roma 140 Fabiana Firenze 136 Andrea Torino 91 a) Indicare quale è l unità statistica e quante unità statistiche sono presenti. Soluzione. Unità statistica: singolo atleta; numero unità statistiche: 5. 2

3 b) Indicare quali sono i caratteri e per ogni carattere indicare se è quantitativo, discreto o continuo, oppure qualitativo, sconnesso o ordinato. Soluzione. I caratteri sono: Graduatoria (qualitativo ordinato), Altezza (quantitativo continuo), Residenza (qualitativo sconnesso), Punteggio (quantitativo discreto poichè assume numeri interi). Esercizio 3. Dati i seguenti caratteri, indicare se sono: discreti o continui. Numero di laureati in Scienze Politiche nel 2009 Il peso corporeo (Kg) osservato su un collettivo di individui Numero di voli giornalieri effettuati da una compagnia aerea Il tempo di attesa a uno sportello bancario Soluzione. Rispettivamente: discreto, continuo, discreto, continuo. La distribuzione di un carattere e la sua rappresentazione grafica Distribuzione unitaria L informazione statistica di base prende solitamente la forma di una distribuzione unitaria che consiste in un elenco delle modalità di un carattere osservate sulle unità statistiche che compongono il collettivo oggetto di studio. Limite delle distribuzioni unitarie: poco adatto a grandi numerosità. Unità statistica Modalità di X u 1 x 1 u 2 x 2 u n x n Tabella 1: Distribuzione unitaria semplice 3

4 Unità statistica Modalità di X Modalità di Y u 1 x 1 y 1 u 2 x 2 y u n x n y n Tabella 2: Distribuzione unitaria multipla Distribuzione di frequenza Rappresentazione tabellare che riporta le modalità del carattere ed il numero (assoluto, relativo, percentuale) delle unità che condividono la stessa modalità. Distribuzione di frequenze assolute Dato un collettivo di n unità statistiche che presentano il carattere X con modalità x 1,...,x K, si ha: Modalità di X Frequenze assolute x 1 n 1 x 2 n 2 x K Totale n K Tabella 3: Distribuzione di frequenze assolute dove n k à la frequenza assoluta della modalità x k (k = 1,..., K) del carattere X e rappresenta il numero di volte che questa si presenta nel collettivo. n 4

5 Distribuzione di frequenze relative Modalità di X Frequenze relative x 1 f 1 x 2 f 2 x K f K Totale 1 Tabella 4: Distribuzione di frequenze relative dove f k = n k n è la frequenza relativa della modalità k (k = 1,..., K) del carattere X. Distribuzione di frequenze percentuali Modalità di X Frequenze percentuale x 1 p 1 x 2 p 2 x K p K Totale 100 Tabella 5: Distribuzione di frequenze percentuali dove p k = 100 nk n è la frequenza percentuale della modalità x k (k = 1,..., K) del carattere X. Le distribuzioni di frequenze possono riassumersi in una tabella del seguente tipo: 5

6 Modalità di X n k f k p k x 1 n 1 f 1 p 1 x 2 n 2 f 2 p 2 x K n K f K p K Totale n Tabella 6: Distribuzione di frequenze assolute, relative e percentuali Distribuzioni per classi di frequenze per caratteri quantitativi Un carattere continuo può, in teoria, assumere infinite modalità. Per questo può essere conveniente organizzare i risultati in una tabella in cui le modalità sono raggruppate in classi (in genere chiuse a sinistra e aperte a destra). L ampiezza della classe è definita dalla differenza tra l estremo superiore e l estremo inferiore della classe. Esempio. Da uno studio, rileviamo le seguenti quantità di nicotina (mg) per 13 pazienti: {0.38, 0.61, 0.63, 0.64, 0.70, 0.71, 0.97, 0.98, 1.03, 1.06, 1.08, 1.09, 1.94} Classi nicotina (mg) Valore centrale n k f k p k [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Totale Arbitrarietà della suddivisione in classi. Linee guida: al fine di facilitare l interpretazione della distribuzione, qualora possibile, le classi dovrebbero avere la stessa ampiezza evitare di costruire classi caratterizzate da un numero di frequenze molto basso (vedi esempio sopra) equilibrio tra due esigenze in conflitto: sintesi e grado di risoluzione 6

7 Esercizio 4. Data la seguente tabella: Studente Punteggio Sesso Occhi Soddisfazione Altezza Peso A 26 M Nero Molto B 30 F Verde Molto C 18 F Marrone Poco D 26 M Marrore Abbastanza E 30 M Azzurro Molto F 18 M Azzurro Niente G 24 F Marrone Abbastanza H 18 M Verde Poco a) Indicare i tipi di caratteri considerati (qualitativo, ordinabile o sconnesso, oppure quantitativo, continuo o discreto). Soluzione. Rispettivamente: discreto, sconnesso, sconnesso, ordinabile, continuo, continuo. b) Costruire le distribuzioni di frequenze (assoluta, relativa e percentuale) per ogni carattere considerato (se il carattere considerato è continuo si consideri il raggruppamento in classi). Soluzione. Sesso n k f k p k M F Occhi n k f k p k Verdi Neri Marroni Azzurri Soddisfazione n k f k p k Niente Poco Abbastanza Molto Altezza n k f k p k [ ) [ ) [ ) Voto n k f k p k Peso n k f k p k [55 60) [60 65) [65 70)

8 Le rappresentazioni grafiche La rappresentazione grafica di uno o più fenomeni statistici non aggiunge nè toglie alcuna informazione alla tabella che ne illustra la distribuzione di frequenza. Le rappresentazioni grafiche consentono di cogliere con evidenza visiva la struttura e l andamento di uno o più fenomeni, il confronto tra più distribuzioni. Attraverso un grafico si riescono ad evidenziare aspetti fondamentali di una distribuzione di frequenza. I grafici a barre (barplot) per tutti i caratteri tranne che caratteri quantitativi continui. Le barre presentano tutte uguale larghezza; in ordinata appaiono le frequenze assolute o quelle relative. frequenza relativa frequenza assoluta EL ME MA LA EL ME MA LA Figura 1: Grafico a barre per la distribuzione del titolo di studio in un collettivo di 100 soggetti; frequenze relative (sinistra) e assolute (destra); EL=licenza elementare (3 soggetti), ME=licenza media (20 soggetti), MA=maturita (47 soggetti), LA=laurea (30 soggetti). Gli istogrammi per caratteri quantitativi continui. Definiamo la densità di frequenza (indicata con h k ) come il rapporto tra la frequenza (assoluta o relativa) e l ampiezza (indicata con A k ) di una classe. Ad ogni classe è associato un rettangolo, tale che: la base è pari a A k e l altezza è pari a h k. L area del rettangolo è dunque pari alla frequenza (assoluta n k = A k h k o relativa f k = A k h k ) associata alla classe. L area totale è pari a n o 1 a seconda della frequenza considerata (assoluta o relativa). L istogramma è profondamente diverso dal grafico a barre Le barre possono avere larghezze diverse tra loro 8

9 È possibile richiedere l istogramma delle frequenze assolute solo se le classi hanno la stessa larghezza. densita durata Figura 2: Istogramma della distribuzione del tempo impiegato da 100 studenti per recarsi all universita ; le cifre all interno dei rettangoli indicano le aree dei rettangoli. Esercizio 5. Utilizzando le distribuzioni di frequenze dell esercizio 4, rappresentare Soddisfazione, Voto, Altezza e Peso mediante un opportuna rapprentazione grafica. Soluzione. Soddisfazione: grafico a barre; Voto: grafico a barre; Altezza: istogramma; Peso: istogramma. Di seguito vengono riportate le tabelle utili per la costruzione degli istogrammi. Altezza n k A k h k [ ) [ ) [ ) Tot 8 Peso n k A k h k [55 60) [60 65) [65 70) Tot 8 9

10 Esercizio piccole imprese vengono classificate in base al fatturato prodotto (in milioni di euro) ed i risultati ottenuti sono rappresentati nel seguente istogramma: densita fatturato Ricostruire la distribuzione di frequenze (assolute, relative) corrispondente Soluzione. Classi di fatturato h k A k f k n k (0 10] (10 15] (15 20] (20 40] Tot Esercizio 7. Data la seguente distribuzione percentuale degli occupati per settore di attività economica, ricostruire la distribuzione di frequenze assolute e relative (n=19498). Soluzione. Settore p k Agricoltura 18 Industriale 39 Economico 43 10

11 Settore p k f k n k Agricoltura Industriale Economico L indice di entropia Come misura di eterogeneità della distribuzione del carattere su di un collettivo si può assumere l indice di entropia H. Considerata la distribuzione di frequenze relative del carattere X, l indice di entropia H è uguale a: H = K f k ln f k = (f 1 ln f 1 + f 2 ln f f K ln f K ). (1) k=1 Questo indice assume valori compresi tra 0 (caso di eterogeneità nulla) e ln(k) (caso di eterogeneità massima). Esercizio 8. Date le seguenti 4 distribuzioni di frequenze relative del genere in 4 collettivi di studenti universitari iscritti a diversi gruppi di corsi di laurea. Gruppo M F Scientifico Medico Politico-Sociale Letterario Qual è il massimo valore che l indice di entropia può assumere in ognuna delle 4 distribuzioni? In quale gruppo c è maggiore eterogeneità rispetto al genere? Soluzione. Gruppo M F f M lnf M f F lnf F H Scientifico Medico Politico-Sociale Letterario La massima eterogeneità raggiungibile dalla distribuzione del genere è ln(2) = 0.69 ed il gruppo con massima eterogeneità rispetto al genere è: SCIENTIFI- CO. 11