Integrazione Numerica. Teoria ed Esempi

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1 Integrazione Numerica Teoria ed Esempi

2 Sommario Analisi del problema Teoria dell integrazione numerica Metodo dei rettangoli Metodo dei trapezi Metodo delle parabole Esempi di calcolo Funzione integrabile Discussione su errori e metodo di analisi Funzione non integrabile Conclusioni Credits Sotware

3 Problema di partenza Si vuole calcolare il valore dell integrale deinito b a d Essa rappresenta l area sottesa alla curva nell intervallo [a,b] 3

4 Pre - Requisiti Per calcolare b a d Ci serve il valore dell integrale indeinito d 4

5 Problemi di Integrazione L integrale indeinito non sempre è calcolabile con i metodi classici dell analisi. Ad esempio, i seguenti integrali non sono calcolabili e d sin d 5

6 Soluzione al problema L integrazione numerica è la soluzione al nostro problema. Utilizzando l integrazione numerica Integrale sempre calcolabile Risultato approssimato Facilità di traduzione in algoritmo L integrazione numerica si applica solo a integrali deiniti. 6

7 Metodi di Integrazione Numerica Metodi di integrazione numerica Metodo dei Rettangoli Metodo dei Trapezi Metodo delle Parabole Ogni metodo ha dierenti Diicoltà di calcolo manuale Eicienza 7

8 Convenzioni adottate Tutti i metodi che saranno presentati presumono che il problema sia di calcolare il valore dell integrale b a d Supponendo continua, derivabile e sempre positiva nell intervallo [a,b] i ragionamenti si applicano comunque in modo analogo anche se essa è negativa. 8

9 Errori Ogni metodo di integrazione numerica è un metodo approssimato, che porta quindi con sé un errore, che viene stimato e a, b, n L errore dipende da Estremi di integrazione Numero di suddivisioni dell intervallo 9

10 Errori Notare che con la dicitura e a, b, n Intendiamo dire che l errore sarà sempre minore o uguale di un valore calcolato in unzione di a, b e n. Il valore nel secondo membro della disequazione è quindi il limite superiore del nostro errore, che di sicuro non verrà superato. 0

11 Metodo dei rettangoli Dividiamo l area di integrazione in n parti rettangolari uguali tra di loro. Ciascuna parte avrà quindi ampiezza h b a n Questa quantità h è detta passo di integrazione.

12 Metodo dei rettangoli

13 Metodo dei rettangoli Per come è stato costruito il graico, ogni rettangolo ha per base un segmento IJ di lunghezza e come altezza j i i 3

14 Metodo dei rettangoli Ogni rettangolo avrà quindi area A j i i Notiamo ora che ogni rettangolo ha base h, quindi l area del i-esimo rettangolo sarà uguale a A i h 4

15 5 Metodo dei rettangoli Intuitivamente, la somma delle aree dei rettangoli equivale, a meno di un errore, all area sottesa alla curva e, quindi all integrale cercato n i i n i i n n b a n a b h h h h h d S

16 Metodo dei rettangoli Il metodo presentato ha un errore pari a Dove e b a n M ' < M In altre parole, M è il valore massimo assunto dalla derivata prima della unzione integrando nell intervallo di integrazione. 6

17 Metodo dei trapezi Questa volta, ogni intervallo di integrazione ha la orma di un trapezio rettangolo di lati i j j i Segmento i j 7

18 Metodo dei trapezi 8

19 Metodo dei trapezi In questo caso, l area dell i-esimo trapezio è uguale a A i i h 9

20 0 Metodo dei trapezi L area totale è quindi uguale a n i i i n i i i n n n n b a n a b h h h h h d S

21 Metodo dei trapezi Per sempliicare i calcoli, la ormula può essere scritta come 0 0 n i n i n a b

22 Metodo dei trapezi Il metodo presentato ha un errore pari a Dove b a n 3 e '' < M M In altre parole, M è il valore massimo assunto dalla derivata seconda della unzione integrando nell intervallo di integrazione.

23 Metodo delle parabole Suddividendo l intervallo sempre in n parti, si a passare una parabola per 3 punti. Ne consegue che n deve essere pari. 3

24 4 Metodo delle parabole Il valore dell integrale è dato dalla ormula ] 4 [ 3 ] [ 3,, n i i n i i n n n n h h A Dispari Pari

25 Metodo delle parabole Il metodo presentato ha un errore pari a Dove b a 80n 5 e 4 IV < M M In altre parole, M è il valore massimo assunto dalla derivata quarta della unzione integrando nell intervallo di integrazione. 5

26 Un esempio concreto Utilizziamo il oglio elettronico di Microsot Oice Ecel per simulare il calcolo di un integrale. Il primo esempio è il calcolo di un integrale che sappiamo calcolare con i metodi classici, per valutare l eicienza dei nostri metodi Ci aiutiamo con Derive per lo studio classico della unzione in esame 6

27 Funzione scelta Data la unzione Vogliamo valutare l integrale d 0 7

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29 9 Calcolo classico La unzione in esame è una polinomiale biquadratica, acilmente integrabile. [ ] 4,53 4, d d

30 Divisione dell intervallo E chiaro che aumentando il numero di divisioni, la precisione dell integrale aumenta Il nostro intento, tuttavia, è valutare la dierente precisione dei tre metodi di integrazione Per questo motivo, stabiliamo che il numero di suddivisioni sarà costante 30

31 Preparazione della tabella Nella tabella, necessitiamo di queste colonne i: indice della suddivisione 0 30 i: ascissa della parte sinistra della suddivisione i. i: valore della unzione nel punto di ascissa i Valori assoluti delle derivate prima, seconda e quarta per la valutazione dell errore 3

32 Parametri del sistema Limite ineriore dell intervallo di integrazione Limite superiore dell intervallo di integrazione Numero di suddivisioni dell intervallo di integrazione Passo di integrazione Δ h b n a 3

33 Colonna i e i La colonna i contiene il valore dell ascissa sinistra dell intervallo i. i iδ La colonna i contiene il valore dell ordinata della unzione nel punto di ascissa i. 33

34 Calcolo degli integrali Una volta creata la tabella, il calcolo degli integrali è semplice, si tratta di applicare le ormule prima ricavate. I risultati ottenuti sono riportati a ianco Metodo dei rettangoli Area 4, Metodo dei trapezi Area 4, Metodo delle parabole Area 4,

35 Calcolo degli errori Le ormule degli errori richiedono il valore massimo di una derivata nell intervallo di integrazione Siccome con il oglio elettronico non possiamo calcolare direttamente questo valore, aggiungiamo una colonna con la derivata nei punti i. Il valore massimo sarà trovato in questo insieme. 35

36 Valore massimo delle Derivate Se non vogliamo aumentare di troppo il livello di complessità del nostro lavoro soprattutto se stiamo lavorando con il oglio elettronico questo è l unico compromesso possibile, ed è, tutto sommato, accettabile. Utilizzando questo metodo aggiungiamo un piccolo errore sull errore, che stimeremo empiricamente. 36

37 Errore sull errore Valuteremo l errore sull errore come dierenza: se questo numero è per noi accettabile, stabiliremo che il nostro metodo è buono. I E E reale teorico Decidiamo che la dierenza è considerata piccola e quindi accettabile se essa è nell ordine di grandezza dei centesimi. I E 0, E 37

38 Errori ricavati Metodo Errore teorico Errore reale Dierenza Rettangoli 0,0400 0,066 0,03589 accettabile Trapezi 0, , ,0058 accettabile Parabole 0, , , accettabile 38

39 Commenti sugli errori Gli Indici sugli errori sono tutti ineriori alla soglia da noi scelta, quindi possiamo considerarli accettabili. Decidiamo allora che il nostro metodo è suicientemente preciso. A questo punto, possiamo permetterci di utilizzare i nostri metodi di integrazione numerica per calcolare integrali non calcolabili con metodi di analisi classica. 39

40 Un caso concreto Possiamo adesso utilizzare con sicurezza i nostri metodi per calcolare un integrale non risolubile con metodi classici. e 0 Questi sono i casi in cui l integrazione numerica è veramente utile indispensabile d 40

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42 Risultati ottenuti Metodo Area Errore Rettangoli, , Trapezi, , Parabole,4665 0,

43 Conclusioni Integrazione numerica Tecniche approssimate per il calcolo di integrali deiniti Utilizzata per calcolare gli integrali non risolubili con l analisi classica Ideale per il calcolo computerizzato Facilità di traduzione in algoritmi Facilità di adattamento per ogli elettronici 43

44 Conclusioni Metodi di integrazione numerica Metodo dei rettangoli Rapidità di calcolo: elevata Precisione: scarsa Metodo dei trapezi Rapidità di calcolo: media Precisione: media Metodo delle parabole Rapidità di calcolo: bassa Precisione: elevata 44

45 Credits Lavoro realizzato da Andrea Asta Appunti e dimostrazioni tratte da M. Dodero, Elementi Matematica 4 Appunti cartacei del Pro. Giovanni Santandrea, Lab. Matematica Riiniture e immagini tratte dal motore di ricerca alla voce Integrazione Numerica 45

46 Sotware Presentazione Microsot Oice PowerPoint Sotware Matematici Derive or Windows Microsot Oice Ecel 46