Note sulla probabilità

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1 Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico La distribuzione del χ N=1 N=2 N=3 N=5 N= Figura 1: la distribuzione del χ 2 per alcuni valori del parametro N. Se x 1, x 2,..., x N sono N variabili casuali tra loro statisticamente indipendenti e che seguono tutte 1

2 2 1 - La distribuzione del χ 2 la distribuzione normale standardizzata (ovvero la distribuzione di Gauss con media 0 e varianza 1), si può dimostrare che la nuova variabile casuale N (ovviamente non negativa) è caratterizzata da una densità di probabilità ben determinata che si chiama distribuzione del chi quadro; il parametro N prende il nome di numero di gradi di libertà della distribuzione. Dalla definizione discende immediatamente la cosiddetta regola di somma del χ 2 : ovvero, se X ed Y sono due variabili casuali statisticamente indipendenti entrambe distribuite come il χ 2 con N ed M gradi di libertà rispettivamente, la loro somma Z = X + Y è una variabile casuale ancora distribuita come il χ 2 ; però con N + M gradi di libertà. Speranza matematica e varianza di una variabile casuale X distribuita come il χ 2 ad N gradi di libertà valgono { E(X) = N x i 2 Var(X) = 2N Inoltre, come si può supporre osservando la figura 1, anche la distribuzione del χ 2 tende ad una distribuzione normale (avente la stessa media N e la stessa varianza 2N) al crescere di N; tale approssimazione si può ritenere in pratica già buona quando N è superiore a Verifica delle ipotesi col metodo del χ 2 La distribuzione del χ 2 viene spesso usata per verificare la bontà dell accordo tra una ipotesi teorica e dei dati sperimentali. Come esempio, si pensi ad un campione di misure ripetute {x 1, x 2,..., x N } che si ritiene provengano da una distribuzione normale avente media ed errore quadratico medio noti a priori x e σ : ammessa per assurdo vera questa ipotesi, la variabile casuale N ( xi x dovrebbe essere distribuita come il χ 2 con N gradi di libertà. L ipotesi può essere rigettata se il valore calcolato di X è ritenuto troppo grande per poter essere ottenuto sulla base della pura casualità: in pratica bisogna fissare arbitrariamente un valore della probabilità ε che segni il confine tra quelle fluttuazioni ritenute accettabili sulla base della pura casualità e quelle cosí grandi da farci piuttosto ritenere che sia invece falsa l ipotesi di partenza; normalmente si sceglie ε = 99.7% oppure ε = 99%. Operata la scelta, si calcola con l aiuto delle apposite tabelle quel valore X 0 che divide la curva del χ 2 ad N gradi di libertà in due parti con area rispettivamente ε (a sinistra di X 0 ) e 1 ε (a destra); se X > X 0 l ipotesi viene rigettata (ad un livello di confidenza ε), ed accettata altrimenti. Un metodo alternativo è quello di calcolare l area ε sotto la curva del χ 2 ad N gradi di libertà nell intervallo [X, + ]: quanto maggiore è questo valore, tanto migliore è l accordo con l ipotesi. Nel caso che media e varianza della distribuzione normale con cui si esegue il confronto non siano note a priori ma vengano ricavate dal campione stesso attraverso le note formule σ ) 2 x = 1 N N x i e σ x 2 = 1 N 1 N (x i x) 2 si può dimostrare che la variabile N (x i x) 2 σ x 2

3 1.2 - Dati in istogramma 3 è ancora distribuita come il χ 2 : ma il numero di gradi di libertà è in questo caso N 2. Questo è conseguenza di una legge generale, secondo la quale: Il numero di gradi di libertà da associare a variabili che seguono la distribuzione del χ 2 è dato dal numero di contributi indipendenti (ovvero dal numero di termini con distribuzione normale standardizzata sommati in quadratura: qui N, uno per ogni determinazione x i ) diminuito del numero di parametri che compaiono nella formula e che sono stati ottenuti o stimati dai dati stessi (qui due: la media della popolazione e la sua varianza) Esercizi Esercizio 1.1: si sono misurati gli angoli interni di 100 triangoli; i risultati sono riassunti nella tabella seguente: Si chiede di verificare l ipotesi che i dati provengano da una popolazione normale. 1.2 Dati in istogramma Se vogliamo verificare col metodo del χ 2 l ipotesi che dei dati già istogrammati (dopo aver diviso in classi di frequenza i valori di una variabile casuale x) provengano da una densità di probabilità corrispondente ad una funzione nota f(x), le cose sono piú complesse. Ammessa per assurdo vera l ipotesi: 1. La probabilità che una misura cada nella i-esima classe di frequenza, p i, è data dall integrale di f(x) sulla classe stessa. 2. I possibili valori del numero effettivo di misure che cadono in ogni classe si presenteranno secondo la distribuzione binomiale; quindi il numero medio di eventi atteso nella generica classe vale A i = Np i e la sua varianza σ i 2 = Np i (1 p i ). 3. Se è lecito confondere in ogni classe la binomiale con una distribuzione normale, la variabile M ( ) 2 Ai O i (1.1) (M è il numero delle classi, ed O i il numero di eventi effettivamente osservati in ognuna di esse) segue la distribuzione del χ Se poi è anche lecito confondere in ogni classe la binomiale con una distribuzione di Poisson (quindi se p i 1; che implica p i 2 p i e quindi σ i 2 Np i = A i ), la formula (1.1) diventa σ i M (A i O i ) 2 A i (1.2)

4 4 1 - La distribuzione del χ 2 5. Il numero di gradi di libertà della distribuzione è M 1: infatti M sono i contributi normali indipendenti alla (1.1) e nei valori di tutte le A i compare N che è ricavato dal campione; o, se la f(x) dipendesse anche da R parametri ricavati dal campione, il numero di gradi di libertà diventerebbe M R 1. Il punto 3 è verificato se in ognuna delle classi A i 5; se cosí non fosse (e se la definizione delle classi è lasciata allo sperimentatore) si possono eventualmente accorpare piú classi. Il punto 4 si può considerare soddisfatto se in ogni classe p i non supera il per cento Esercizi Esercizio 1.2: nell esperienza dei pendoli, le 100 misure dirette del periodo sono riassunte (già divise in classi di frequenza) nella tabella seguente: t (s) n i t (s) n i Si chiede di verificare se i dati sono in accordo con l ipotesi di una distribuzione normale. Esercizio 1.3: in uno dei suoi esperimenti, l abate Mendel osservò forma e colore dei frutti di molte piante di piselli, classificandole in quattro categorie come segue (O i è qui il numero di piante osservate in ogni categoria): i Tipo O i 1 Rotondi e gialli Rotondi e verdi Oblunghi e gialli Oblunghi e verdi 32 Totale 556 Sulla base delle sue teorie Mendel si aspettava un rapporto tra le popolazioni delle quattro categorie di 9 : 3 : 3 : 1; i risultati sono in accordo con queste previsioni? Esercizio 1.4: il Bortkewitch studiò il numero di morti per calci di cavallo nell esercito prussiano, registrando i decessi verificatisi in 10 corpi d armata nel corso di 20 anni (per un totale quindi di N = 200 casi). Le frequenze assolute n i del numero di morti per corpo d armata e per anno i sono riassunte nella tabella seguente; si chiede di verificare se i dati sono in accordo con la distribuzione di Poisson. i n i Totale 200

5 5 2 Soluzione degli esercizi Esercizio 1.1: media ed errore quadratico medio del campione valgono x = e σ x = 0.48; inoltre 100 ( ) 2 xi x 99 Un valore almeno pari ad X viene ottenuto da una distribuzione del χ 2 a 98 gradi di libertà nel 45.3% dei casi; quindi l accordo è buono. Esercizio 1.2: σ x Figura 2: misure dirette del periodo con il pendolo. media ed errore quadratico medio del campione valgono x = e σ = ; nella figura 2 è disegnato l istogramma dei dati assieme alla funzione di Gauss di riferimento (normalizzata all istogramma). Nella tabella seguente vi sono i dati necessari al calcolo del χ 2 :

6 6 2 - Soluzione degli esercizi t (s) p i A i O i < > (si sono unite alcune classi in modo da avere A i 5 in ogni intervallo). La formula (1.2) ci permette di calcolare X 13.42, che va confrontato con la distribuzione del χ 2 a 7 gradi di libertà; la probabilità che per motivi casuali si presenti un valore non inferiore a quello trovato è solo del 6.26%: quindi l accordo è assai cattivo. Esercizio 1.3: il numero totale di osservazioni è N = 556; secondo la teoria quindi il numero di eventi A i attesi nelle varie categorie sarebbe: La variabile casuale i p i A i O i Np i q i = N = = N = = N = = N = (A i O i ) A i dovrebbe essere distribuita come il χ 2 a 3 gradi di libertà; in realtà la prima classe contiene il 56.25% degli eventi attesi, per cui è meglio usare la (1.1) invece della (1.2). Quindi 4 (A i O i ) Np i q i Secondo le tabelle, un valore inferiore a quello osservato si presenta casualmente nel 3.26% dei casi (e quindi nel 96.74% dei casi il valore è almeno pari a quello osservato); quindi i risultati sono in accordo piú che ottimo con la teoria. Esercizio 1.4: il numero medio di morti per corpo d armata e per anno è α = 1 N 4 i n i 0.61 i=0 Nella seguente tabella sono riportate le probabilità p i (calcolate dalla distribuzione di Poisson), il numero atteso A i = Np i di decessi ed il numero osservato n i ; i dati per i > 1 sono stati poi raggruppati in un unica classe:

7 7 i p i A i n i Np i q i > Figura 3: i dati sperimentali (istogramma) confrontati con le previsioni della teoria (cerchi), per l esercizio 1.4; in linea tratteggiata e con un quadrato sono rappresentati, rispettivamente, i dati e le previsioni per i > 1. La variabile casuale ( ) ( ) ( ) è distribuita come il χ 2 a 1 grado di libertà; come nell esercizio 1.3 le prime due classi corrispondono a

8 8 2 - Soluzione degli esercizi p i elevati, per cui è meglio usare la (1.1) invece della (1.2): ( ) ( ) ( ) Quindi la probabilità di ottenere per motivi puramente casuali un valore almeno pari a quello osservato è del 77.51%, e quindi i dati sono in ottimo accordo con l ipotesi di una distribuzione di Poisson; nella figura 3 la distribuzione teorica è confrontata poi coi dati sperimentali.