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1 SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA S.I.G.I. STATISTICA II Esercitazione n. 3 Esercizio 1 Una v.c. X si dice v.c. esponenziale con parametro λ se possiede funzione di densità fx = λ e λx, 0 x < Dato un campione casuale di n osservazioni: determinare la funzione di verosimiglianza; derivare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ; [Suggerimento: La procedura risulta spesso semplificata se si massimizza la log-verosimiglianza] sulla base dello stimatore ottenuto per λ, definire lo stimatore di massima verosimiglianza per la media di X. [Suggerimento: Si ricordi la relazione tra la v.c. esponenziale e la v.c. gamma, da cui è immediato ottenere il valore atteso di X. Quindi, utilizzare la proprietà 1 pag. 242 degli stimatori di massima verosimiglianza] dati i seguenti valori: 0,2978 0,2536 0,6291 0,5297 0,5692 determinare la funzione di verosimiglianza come funzione del parametro sconosciuto e fornire la stima di massima verosimiglianza. considerando i dati del punto precedente, disegnare la funzione di verosimiglianza per i valori di λ pari a 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esercizio 2 Si supponga che per un campione di n = 16 pezzi di metallo, la perdita di peso in gr dopo un certo intervallo di tempo sia stata la seguente: 2,66 2,03 3,67 3,60 2,41 3,25 3,32 3,11 3,36 3,11 4,27 3,95 4,28 3,82 4,50 3,38 Assumendo una distribuzione normale

2 SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 2 si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per la media della perdita di peso dei pezzi di metallo. si determini l ampiezza dell intervallo e si studi come varia tale ampiezza al variare della varianza campionaria mantenendo costante la dimensione campionaria. Esercizio 3 La varianza campionaria del tempo di funzionamento di un campione di 30 frigoriferi è risultata pari a 9 1. Determinare i limiti di un intervallo fiduciario al 95% per la varianza del tempo di funzionamento di tutti i frigoriferi. Se lo stesso intervallo fosse richiesto per la deviazione standard, quali sarebbero i limiti? [Suggerimento: Ci si avvalga della relazione funzionale esistente tra varianza e deviazione standard] Quale assunzione si è indirettamente adottata nel calcolare i limiti di confidenza dei punti precedenti? Esercizio 4 In uno studio medico sulle problematiche alle coronarie è stato selezionato un campione di n = 88 pazienti, rappresentativi di un gruppo di individui che presentano approssimativamente gli stessi fattori di rischio classe di età, fumo, colesterolo, ecc.. Dei soggetti estratti 15 riportano di soffrire di problemi alle coronarie. per gli individui che appartengono alla classe di rischio individuata, qual è la probabilità di soffrire di problemi alle coronarie? calcolare un intervallo di confidenza al 90% per la suddetta probabilità. [Suggerimento: Per tale calcolo si assuma il caso dei grandi campioni]

3 SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 3 Soluzioni Esercizio 1 Sia X Esponenzialeλ, per cui la funzione di verosimiglianza per un campione casuale di n osservazioni è data da mentre la log-verosimiglianza è Lλ = n fx i = λ n e λ P n x i lλ = log Lλ = n logλ λ Lo stimatore di massima verosimiglianza sarà quel valore λ che massimizza lλ, o equivalentemente Lλ. Quindi n x i lλ λ = n n λ x i = 0 ˆλ = 1 n n x i = 1 x 2 lλ λ 2 = n λ 2 < 0 il che garantisce che il valore trovato sia un massimo. La v.c. esponenziale è un caso specifico della v.c. gamma, con parametro α = 1 usando la notazione di pag del libro. Ricordando che il valore atteso di una v.c. gamma è EX = α/λ, si ottiene EX = 1 λ Utilizzando la proprietà di invarianza delle stime di massima verosimiglianza, possiamo scrivere ÊX = 1ˆλ = x i = x n ovvero lo stimatore di massima verosimiglianza per la media di una v.c. esponenziale è la media campionaria. Per il campione dato di n = 5 osservazioni, si ha x i = , da cui la funzione di verosimiglianza la quale è massimizzata da Lλ = λ 5 e λ ˆλ = 1 x = /5 = La funzione di verosimiglianza per i dati valori di λ è riportata nella figura seguente:

4 SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 4 Lλ λ Lλ MLE λ Esercizio 2 Si tratta di calcolare un intervallo di confidenza per la media di una popolazione di cui non si conosce la varianza, sulla base di un campione di piccole dimensioni. Quindi, si userà la statistica T = X µ S/ n ovvero la v.c. t di Student con n 1 gradi di libertà. In generale, quindi, un intervallo di confidenza per µ al livello 1 α100% è dato da x tα/2;n 1 s/ n ; x + t α/2;n 1 s/ n Nel nostro caso n = 16, x = 3 42, s = , α = 0.01, t 0 01/2;15 sostituendo nella formula generale i limiti di un intervallo di confidenza al 99% sono /16 ; / ; 3 92 = 2 947, per cui L ampiezza del precedente intervallo è pari ad 1. Assumendo la medesima dimensione campionaria, l ampiezza di tale intervallo aumenta all aumentare della varianza campionaria, e, viceversa, diminuisce al diminuire della varianza campionaria.

5 SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 5 Esercizio 3 Il problema consiste nel determinare un intervallo fiduciario o di confidenza per la varianza di una popolazione che si assume essere distribuita normalmente e questo risponde all ultimo punto. Sotto l ipotesi di normalità la v.c. n 1S 2 /σ 2 χ 2 n 1, per cui un intervallo di confidenza per σ 2 al livello 1 α100% è dato da n 1S 2 /χ 2 n 1;1 α/2 ; n 1S 2 /χ 2 n 1;α/2 Essendo n = 30, s 2 = 9 1, α = 0 05, χ /2;29 = 16 05, χ /2;29 intervallo di confidenza per σ 2 al livello 95% sono = 45 72, i limiti di un /45 72 ; / ; Lo stesso intervallo per la deviazione standard σ si ottiene come segue n 1S 2 /χ 2n 1;1 α/2 ; n 1S 2 /χ 2 n 1;α/ ; ; 4 05 Esercizio 4 La probabilità di soffrire di problemi alle coronarie è data da ˆp = 15/88 = Assumendo che il campione sia sufficientemente grande da giustificare l approssimazione della distribuzione binomiale con una normale, i limiti di un intervallo fiduciario al 90% sono ˆp z α/2 ˆp1 ˆp/n ; ˆp + zα/2 ˆp1 ˆp/n /88 ; / ;

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