Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione. Paola Giacomello Dip. Scienze Sociali ed Economiche Uniroma1

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1 Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione 1

2 Definisco il problema da studiare: es. tempo di percorrenza tra abitazione e università Carattere: tempo ossia v.s. continua Popolazione: N studenti che frequentano l università È una popolazione finita Unità statistica: ogni singolo studente Campione: una parte degli studenti che frequentano l università (n di N) 1 passo: quantificare il problema ossia rilevare i dati Due strade Rilevazione totale Rilevazione campionaria 2

3 Perché un campione? Problemi di tempo, costi, difficoltà ad individuare l intera popolazione Come faccio a trarre conclusioni dai dati campionari su tutta la popolazione studentesca? Utilizzo le tecniche della statistica inferenziale Le tecniche della statistica inferenziale ci permettono di estendere le informazioni dedotte dal campione a tutta la popolazione campione inferenza popolazione probabilità 3

4 Ma da che tipo di popolazione campiono? Popolazione finita e suoi parametri Una Popolazione finita è un insieme di unità su cui si può osservare un certo carattere. (es: gli investimenti annui di tutte le aziende di un paese; il numero di figli di ogni famiglia italiana) I parametri della popolazione sono delle costanti che descrivono aspetti caratteristici della distribuzione del carattere nella popolazione stessa. media della popolazione Varianza della popolazione 1 N N i 1 x 2 2 N ( x ) i 1 i N 1 i 4

5 N=dimensione della popolazione n = dimensione campionaria n/n = frazione di campionamento popolazione campione x 1 ; x 2 ;...x n X 1 ; X 2 ; X 3 ;...X N 5

6 Abitualmente la regola di selezione del campione è di tipo probabilistico, cosa significa? l estrazione del campione avviene in accordo con qualche specifica distribuzione di probabilità. In questo caso è necessario individuare: lo spazio campionario S, formato da tutti i possibili campioni estraibili con una medesima tecnica da una popolazione. la probabilità di ogni campione c in S di essere estratto La coppia {S, probabilità dei campioni in S} è detta piano di campionamento. 6

7 Campionamento casuale semplice I campioni possono essere estratti casualmente dalla popolazione: con ripetizione o bernoulliani: una volta estratta un unità viene rimessa dentro la popolazione e quindi potrebbe essere nuovamente estratta; senza ripetizione o esaustivi: una volta estratta un unità questa viene messa da parte e quindi non può essere estratta più di una volta. Al di là del tipo di estrazione si individuano anche i campioni non ordinati da quelli ordinati diversi tra loro se almeno conta invece anche l ordine con un unità del primo campione cui si presentano le diverse non è contenuta nel unità. secondo campione. 7

8 Esempio disegno campionario Popolazione composta da 4 grandi aziende (N=4);Carattere= Fatturato annuo ; x1, x2 49, x3 65, x Spazio campionario S, costituito dai campioni ordinati di dimensione 2, estratti con ripetizione (questo mi permette di definire la probabilità di ogni campione). C 1 = C 5 = C 9 = C 13 = C 2 = C 6 = C 10 = C 14 = C 3 = C 7 = C 11 = C 15 = C 4 = C 8 = C 12 = C 16 = Ogni campione ha uguale probabilità di essere estratto, pari a 1/16 (insieme a S mi permette di definire il piano di campionamento 8

9 Popolazione X i f i 1/4 1/4 1/4 1/4 I Campione I x 1 =52 I x 2 =52 II Campione II x 1 =52 II x 2 = Campione. 15 x 1 =74 15 x 2 =65 16 Campione 16 x 1 =74 16 x 2 =74 X 1 = v.c.campionaria X 1 P(X 1 )= 4/16 4/16 4/16 4/16 Il primo elemento di ogni campione descrive una v.c. campionaria con la stessa distribuzione di probabilità del carattere X popolazione e così tutti gli altri elementi del campione sino ad X n 9

10 Popolazione X 1, X 2...X i...x N I Campione I x 1, I x 2... I x i... I x n II Campione II x 1, II x 2... II x i... II x n.....ω Campione ω x 1, ω x 2... ω x i... ω x n X 1 X 2...X i... X N Il primo elemento di ogni campione descrive una v.c. campionaria con la stessa distribuzione di probabilità del carattere X popolazione Se il campionamento è bernoulliano le v.c. campionarie sono iid, nel campionamento in blocco sono solo id 10

11 S C 1 = C 5 = C 9 = C 13 = C 2 = C 6 = C 10 = C 14 = C 3 = C 7 = C 11 = C 15 = C 4 = C 8 = C 12 = C 16 = Questi sono tutti i possibili campioni che compongono S Nella realtà io considero uno di questi campioni e lo utilizzo, ad esempio, per stimare μ la media della popolazione Supponiamo di estrarre il campione C 15 questo fornisce un valore di media pari a 69,5. Se avessi estratto un altro campione avrei ottenuto un altro valore di stima di μ. Ho tante stime puntuali di μ quanti sono i possibili campioni. Queste stime formano la v.c. media campionaria detta statistica media campionaria X 11

12 Campioni C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = C 6 = C 7 = C 8 = C 9 = C 10 = C 11 = C 12 = C 13 = C 14 = C 15 = C 16 = Media C 1 52,0 C 2 50,5 C 3 58,5 C 4 63,0 C 5 50,5 C 6 49,0 C 7 57,0 C 8 61,5 C 9 58,5 C 10 57,0 C 11 65,0 C 12 69,5 C 13 63,0 C 14 61,5 C 15 69,5 E(X) =60 C 16 74,0 Distribuzione dello stimatore media campionaria X P(X) X P(X) X 2 P(X) 49,0 0,0625 3, ,063 50,5 0,1250 6, ,781 52,0 0,0625 3,25 169,000 57,0 0,1250 7, ,125 58,5 0,1250 7, ,781 61,5 0,1250 7, ,781 63,0 0,1250 7, ,125 65,0 0,0625 4, ,063 69,5 0,1250 8, ,781 74,0 0,0625 4, ,250 1,00 60, ,75 Var(X) = 3650, = 50,75 12

13 Spazio campionario e spazio delle medie Popolazione Media µ Varianza 2 la v.c. media campionaria è generata dall associazione a ciascun campione dello spazio campionario di un numero reale, dato dalla media aritmetica dei valori contenuti nel campione stesso S Spazio campionario Campione 1 Osservazione 1 Osservazione 2 Osservazione n Campione 2 Osservazione 1 Osservazione 2 Osservazione n Campione 3 Osservazione 1 Osservazione 2 Osservazione n Insieme di tutti i possibili campioni casuali di ampiezza n x 1 x 2 x 3 R Spazio delle medie campionarie Distribuzione campionaria della media Media Varianza X X 2 2 X /n 13

14 Distribuzione della popolazione X fi X fi X 2 fi 49,0 0,25 12,25 600,25 52,0 0,25 13,00 676,00 65,0 0,25 16, ,25 74,0 0,25 18, ,00 1,00 60, ,50 μ = 60,00 σ 2 = 3701, = 101,50 La media della media campionaria coincide con la media della popolazione La varianza della media campionaria coincide con la varianza della popolazione / n E(X ) Var( X ) n 2 14

15 La statistica media campionaria e la sua distribuzione campionaria Una statistica campionaria è una funzione a valori reali delle osservazioni campionarie: media campionaria: 1 X n T n X i i1 t( X, X 2,, X 1 n ) La statistica campionaria è una variabile casuale a cui è associata una distribuzione di probabilità detta distribuzione campionaria. 15

16 Proprietà della v.c. media campionaria il valore atteso E(X ) la varianza Se X ~ N ; Var(X ) 2 allora 2 X n ~ N ; n 2 Qualunque sia la popolazione, per il Teorema del Limite Centrale X lim P n n z dove Z è una v.c. Normale standardizzata P Z z 16

17 Campionamento casuale semplice senza ripetizione non ordinati Popolazione di N = 4 unità; campioni di n = 2 unità Popolazione X Possibili campioni Valori di x x (1; 2) 110; (1; 3) 110; (1; 4) 110; (2; 3) 120; (2; 4) 120; (3; 4) 80; 90 85

18 Popolazione Xi fi 110 0, , , ,25 Media campionaria x P( x ) 115 0, , , , ,17 Calcolate μ e σ 2 x 0,35 0,3 0,25 0,2 x E( ) e Var( ) e fate le opportune considerazioni Distribuzione della popolazione (in rosso) e della v.c. media campionaria in blu 0,15 0,

19 Esempio di spazio campionario continuo Supponiamo che la durata del periodo di gestazione sia descritto da una v.c. normale con media 265 e deviazione standard 18. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Lo spazio campionario dei campioni casuali di ampiezza 5 estraibili da questa popolazione è composto da infiniti campioni. Nella tabella qui accanto ne sono riportati 15. Si tratta di un sottoinsieme dell infinità di campioni di ampiezza 5 che costituiscono lo spazio campionario in questione. 282,1 270,6 256,5 300,1 276,2 249,4 266,6 303,5 254,4 255,0 258,2 259,5 269,5 316,3 240,0 253,3 270,6 299,4 250,2 262,7 248,6 291,5 264,3 258,5 265,9 269,1 232,2 267,0 252,2 256,6 257,7 268,4 249,3 284,0 274,2 268,0 278,1 297,7 255,9 252,3 285,1 278,8 263,3 284,1 249,6 272,8 314,1 262,4 285,3 257,0 245,2 267,4 274,5 259,5 226,9 271,1 291,7 275,4 282,9 242,3 229,1 236,7 243,0 280,9 250,8 230,9 246,2 262,4 240,6 287,6 Cap. 246, ,2 230,3 280,6 291,3

20 Distribuzione campionaria della media e distribuzione campionaria della varianza x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 s 2 282,1 270,6 256,5 300,1 276,2 277,1 255,36 249,4 266,6 303,5 254,4 255,0 265,8 484,37 258,2 259,5 269,5 316,3 240,0 268,7 821,25 253,3 270,6 299,4 250,2 262,7 267,2 387,71 248,6 291,5 264,3 258,5 265,9 265,8 252,97 269,1 232,2 267,0 252,2 256,6 255,4 218,04 257,7 268,4 249,3 284,0 274,2 266,7 185,55 268,0 278,1 297,7 255,9 252,3 270,4 337,05 285,1 278,8 263,3 284,1 249,6 272,2 235,39 272,8 314,1 262,4 285,3 257,0 278,3 516,85 245,2 267,4 274,5 259,5 226,9 254,7 359,87 271,1 291,7 275,4 282,9 242,3 272,7 349,76 229,1 236,7 243,0 280,9 250,8 248,1 400,03 230,9 246,2 262,4 240,6 287,6 253,5 493,12 246,7 262,2 230,3 280,6 291,3 262,2 610,81 x Anche la varianza campionaria è una v.c. è generata dall associazione a ciascun campione dello spazio campionario di un numero reale, dato dalla varianza dei valori contenuti nel campione stesso. 20

21 Campionamento casuale stratificato Nel campionamento casuale stratificato la popolazione viene suddivisa in strati. Da ogni strato vengono poi estratti, tramite un campionamento casuale semplice, le unità da inserire nel campione. Esempio strati: Regioni; età; sesso. Popolazione Variabile di stratificazione p rimo strato s econdo strato t erzo strato estrazione casuale campione 21

22 Campionamento casuale a grappoli Nel campionamento casuale a grappoli la popolazione viene suddivisa in sottoinsiemi detti grappoli. Si selezionano, con un estrazione casuale senza ripetizione, un certo numero di grappoli e si prendono come unità campionarie tutte le unità appartenenti ai grappoli estratti. 22

23 Campionamento casuale a grappoli e a stadi Nel campionamento casuale a due stadi la popolazione viene suddivisa in un certo numero di grappoli. Al primo stadio si estrae senza ripetizione un certo numero di grappoli. Da ciascuno di questi si estrae con ripetizione (secondo stadio) un certo numero di unità. primo stadio secondo stadio Unità primarie grappoli Unità secondarie unità elementari 23

24 Campionamento casuale a grappoli e a stadi Popolazione Criterio di raggruppamento grappolo 1 grappolo 2 grappolo 3 grappolo k estrazione casuale dei grappoli unità primarie estrazione casuale delle unità dai grappoli unità secondarie campione di unità elementari 24