Statistica Matematica 1 - Corso di Studi in Matematica Prova scritta

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1 Numero del computer: Statistica Matematica 1 - Corso di Studi in Matematica Istruzioni per il compito. (I) Riconsegnare solo i fogli pinzati (dove bisogna scrivere lo svolgimento del compito). I fogli a quadretti sono fogli di brutta e non vanno riconsegnati. (II) I file con i dati si trovano nella cartella E:\ Dati\ Esame Stat Bisogna salvare tutti i file e gli eventuali registri di Statistica creati durante lo svolgimento del compito in tale cartella. In tale cartella si trovano: (a) il formulario; (b) il file nome cognome.txt Questo file deve essere rinominato con il proprio nome e cognome (ad es. mario rossi.txt) senza essere aperto. Per superare l esame bisogna totalizzare almeno 18 punti, di cui almeno 16 tra gli esercizi della prima parte e la domanda teorica.

2 Prima parte PRIMA PARTE Risolvere i seguenti esercizi, riportando esclusivamente le risposte richieste senza i passaggi e le motivazioni. Esercizio 1. [3+3pt] (i) Sia dato un campione casuale di taglia n estratto da una popolazione avente funzione di probabilità θ θx f(x,θ) = e, θ > 0, x N. x! Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di θ. Funzione di massima verosimiglianza: Stimatore di massima verosimiglianza: (ii) Sia dato un campione casuale di taglia 1 estratto da una popolazione avente densità f(x,θ) = 2θ 2 xe θ2 x 2, θ > 0, x > 0. Usando la quantità pivotale Y = θx scrivere un intervallo di confidenza del 90% per θ. Legge di Y : Intervallo di confidenza:

3 Prima parte Esercizio 2. [ pt] (i) I tempi di combustione (in secondi) di 10 unità di un tipo di combustibile sono risultati i seguenti 50.6; 54.8; 54.4; 44.9; 42.1; 69.8; 53.6; 66.1; 48.0; Assumendo che i dati siano normali, scrivere un intervallo di confidenza del 95% per la varianza del tempo di combustione. Quantità pivotale: Intervallo di confidenza: (ii) Le rotture di sistema nei personal computer sono dovute a molte cause. Si pensa che per il 10% siano dovute a problemi di software, per il 5% siano dovute a problemi di hardware, per il 25% siano dovute ad errori dell operatore, per il 25% siano dovute a problemi di sovraccarico e per il resto ad altre cause. In una indagine su 150 rotture si è rilevato che 13 sono state dovute a problemi di software e 10 di hardware; 42 sono state causate da errori dell operatore, 65 da sovraccarico e le restanti sono state dovute ad altri fattori. Verificare al 99% se i dati sperimentali confermino la supposizione teorica sulle cause di rottura. Statistica del test: Regione critica: Risultato del test:

4 Prima parte (iii) Nel file colesterolo.sta sono riportati le quantità (in mg/dl) di colesterolo nel sangue di 1000 pazienti prima e dopo la somministrazione del farmaco. Siano X e Y le variabili aleatorie che misurano le quantità di colesterolo prima e dopo la cura, rispettivamente. Scrivere l equazione della retta di regressione di Y su X. Determinare un intervallo di confidenza del 95% per la quantità di colesterolo dopo la cura in un paziente con una quantità di colesterolo di 265 mg/dl prima della cura. Retta di regressione: Intervallo di confidenza: (iv) In una grande fattoria americana è stato condotto uno studio per valutare l effetto di dieci metodi di preparazione del suolo nel primo anno di crescita delle pianticelle di pino di taglio. I dati contenuti nel file piante.sta misurano, per ognuna delle piante, la crescita media dopo il primo anno di vita. Verificare al 90% l ipotesi che la crescita media delle piante sia influenzata dal metodo di preparazione del suolo. Statistica del test: Regione critica: Risultato del test:

5 Domanda teorica Domanda teorica. [4pt] Intervalli di confidenza: definire i concetti di ampiezza, fiducia, precisione e discutere eventuali loro legami con la taglia del campione.

6 Seconda parte SECONDA PARTE Esercizio 3. [10pt] Eseguire una analisi statistica dei dati contenuti nel file prod agr.sta.