Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico. Prova del

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Evelina Simone
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1 Compito A Statistica A Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico Prova del Cognome e Nome......N 0 di Matricola Esercizio 1 Si considerino tre variabili casuali X 1, X 2 e X 3 che seguono tutte una distribuzione esponenziale con parametro rispettivamente uguale a 1, 2 e 4. a) Si calcoli media e varianza di Y = X 1 + X 2 X 3 nel caso in cui le variabili siano mutuamente non correlate. b) Si calcoli media e varianza di Y = X 1 + X 2 X 3 nel caso in cui il coefficiente di correlazione di ciascuna coppia sia ρ( X i, X j ) = 0.4 per ogni i, j = 1, 2, 3 e i j. Date quattro variabili casuali X 1, X 2, X 3 e X 4 mutuamente non correlate, lo sono anche U = 2X 1 X 4 e V = X 1 + X 2 +X 3? Motivare la risposta.

2 Esercizio 2 Due fornitori riforniscono una grande struttura ospedaliera di cateteri il cui diametro deve essere compreso tra 5.45 e 5.55 mm. Il diametro medio dei cateteri del primo fornitore è mm e da un indagine campionaria è stato rilevato che il 94% dei cateteri, sempre del primo fornitore, ha un diametro maggiore di 5.46 mm. La varianza dei cateteri del secondo fornitore è mm 2 e da un indagine campionaria è stato rilevato che il 95% dei cateteri, sempre del secondo fornitore, ha un diametro minore di 5.52 mm. Il primo fornitore rifornisce il 70% dei cateteri e il secondo il rimanente 30%. Assumendo che la distribuzione dei diametri sia normale: a) determinare la percentuale di cateteri ricevuti dalla struttura ospedaliera con diametro compreso tra 5.45 e 5.55 mm; b) avendo ricevuto una fornitura di 150 cateteri dal primo fornitore ed una di 100 cateteri dal secondo, qual è la probabilità che il diametro medio dei cateteri della fornitura del primo fornitore sia di almeno 0.05 millimetri superiore al diametro medio dei cateteri della fornitura del secondo?

3 Esercizio 3 Un urna contiene 5 palline bianche e 6 nere; si estraggono senza reimmissione due palline che vengono messe in una seconda urna che contiene già tre palline bianche e due nere. Dalla seconda urna, così modificata, si estraggono, sempre senza reimmissione, due palline. a) Calcolare la probabilità di estrarre due palline bianche nell estrazione finale. b) Avendo estratto due palline bianche nell estrazione finale, qual è la probabilità che nella prima estrazione fossero state estratte due palline nere?

4 Esercizio 4 I ginecologi sostengono che la durata media delle gravidanze dal concepimento alla nascita (in giorni) sia 266. A tale scopo rilevano la durata delle gravidanze di un gruppo di 11 puerpere da detta popolazione; i risultati, espressi in giorni, sono nella tabella sottostante: Secondo rilevazioni fatte in precedenza, la durata delle gravidanze può essere considerata distribuita secondo una normale. Rispondere ai seguenti quesiti: a) Determinare l intervallo di fiducia per la vera durata media delle gravidanze al livello 95%;. b) con quale livello di fiducia si può ottenere un intervallo di fiducia per la vera durata media delle gravidanze con ampiezza giorni? c) Determinare la numerosità del campione necessaria per avere un intervallo di fiducia per la vera durata media delle gravidanze di detta popolazione di ampiezza 8 giorni con un livello del 95%.

5 Compito B Statistica A Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico Prova del Cognome e Nome......N 0 di Matricola Esercizio 1 Si considerino tre variabili casuali X 1, X 2 e X 3 che seguono tutte una distribuzione normale con media uguale a 2i, con i =1, 2 e 3 e varianza comune uguale a 9. a) Si calcoli media e varianza di Y = X 1 X 2 + X 3 nel caso in cui le variabili siano mutuamente non correlate. b) Si calcoli media e varianza di Y = X 1 X 2 + X 3 nel caso in cui il coefficiente di correlazione di ciascuna coppia sia ρ( X i, X j ) = 0.6 per ogni i, j = 1, 2, 3 e i j. Date quattro variabili casuali X 1, X 2, X 3 e X 4 mutuamente non correlate, lo sono anche U = X 1 2X 4 e V = X 1 X 2 +X 3? Motivare la risposta.

6 Esercizio 2 Due fornitori riforniscono una grande struttura ospedaliera di cateteri il cui diametro deve essere compreso tra 5.45 e 5.55 mm. La varianza dei cateteri del primo fornitore è mm 2 e da un indagine campionaria è stato rilevato che il 6% dei cateteri, sempre del primo fornitore, ha un diametro inferiore a 5.46 mm. La media dei cateteri del secondo fornitore è mm e da un indagine campionaria è stato rilevato che il 94% dei cateteri, sempre del secondo fornitore, ha un diametro maggiore di 5.45 mm. Il primo fornitore rifornisce il 70% dei cateteri e il secondo il rimanente 30%. Assumendo che la distribuzione dei diametri sia normale: c) determinare la percentuale di cateteri ricevuti dalla struttura ospedaliera con diametro minore di 5.45 mm oppure maggiore di 5.55 mm; d) avendo ricevuto una fornitura di 70 cateteri dal primo fornitore ed una di 30 cateteri dal secondo, qual è la probabilità che il diametro medio dei cateteri della fornitura del primo fornitore sia di almeno 0.05 millimetri superiore al diametro medio dei cateteri della fornitura del secondo?

7 Esercizio 3 Si consideri il canale binario simmetrico in figura: 1 p 0 0 p p p Si trasmettono i caratteri equiprobabili a, b e c codificati rispettivamente con 11, 01 e 10. Se si riceve 00 si richiede la ritrasmissione. a) Qual è la probabilità di rifiutare la prima trasmissione? b) Qual è la probabilità di dover ritrasmettere almeno una volta? c) Sapendo che è stato trasmesso il carattere a, calcolare la probabilità che venga ricevuto correttamente.

8 Esercizio 4 Allo scopo di stimare i parametri della distribuzione della durata delle chiamate che arrivano ad un call center nei giorni lavorativi, vengono rilevate le durate di 11 chiamate (indipendenti) pervenute in un giorno lavorativo. Le durate, espresse in secondi, sono nella tabella sottostante: Secondo rilevazioni fatte in precedenza, la durata delle chiamate può essere considerata distribuita secondo una normale. Rispondere ai seguenti quesiti: a) Determinare l intervallo di fiducia per la vera durata media delle chiamate al livello 95%;. b) con quale livello di fiducia si può ottenere un intervallo di fiducia per la vera durata media delle chiamate con ampiezza secondi? c) Determinare la numerosità del campione necessaria per avere un intervallo di fiducia per la vera durata media delle chiamate di detta popolazione di ampiezza 8 secondi con un livello del 95%.

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