Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

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1 Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità 7 marzo 20

2 Indice Indici di curtosi e simmetria Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4

4 Indice di simmetria β = E[(X µ)3 ] σ 3 dove - β = 0, nel caso di perfetta simmetria; - β < 0, per l asimmetria a destra; - β > 0, per l asimmetria a sinistra. Indice di curtosi e se γ 2 = β 2 3 dove β 2 = E[(X µ)4 ] σ 4 - γ 2 > 0, la curva si definisce leptocurtica (più appuntita ); - γ 2 < 0, la curva si definisce platicurtica, cioè più piatta di una normale; - γ 2 = 0, la curva si definisce normocurtica, cioè piatta come una normale.

6 Esempio: Variazioni del tasso Euribor

7 Distribuzioni di probabilità L istogramma serve a descrivere i dati del campionamento. Il campione è un insieme scelti da una popolazione più ampia. La distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore della variabile alla probabilità che tale valore si trovi all interno della popolazione Esempio: è possibile considerare le variazioni del tasso Euribor come variabile casuale poichè assume valori diversi nella popolazione in conseguenza di meccanismi casuali.

8 Variabile casuale: è una funzione che associa ad ogni evento elementare A dello spazio campionario Ω uno ed un solo numero reale X. Ω A X P:x->P(x) P(x) L insieme dei valori di X costituisce uno spazio campionario numerico, su cui si può definire una misura di probabilità. Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità Può essere utile approssimare la 80 distribuzione empirica dei dati con 70 una distribuzione teorica (funzione matematica) R 0 Esempio Esperimento: lancio 3 volte di una moneta Variabile casuale X = numero delle teste uscite. Distribuzione di Probabilità: Probabilità che sia uscita testa X volte LEGGE DI PROBABILITA I dati sono considerati delle variabili casuali

9 Variabili casuali Discrete sono definite in uno spazio campionario discreto e possono assumere un numero finito (o un infinità numerabile) di valori. Continue Sono definite in uno spazio campionario continuo e possono assumere tutti i valori di un certo intervallo. Valore atteso (o media aritmetica): n E( X ) = µ = xi Pr( X = x i ) i= Varianza: 2 V(X) = σ = k i= 2 (x µ ) Pr(X = x ) i i Il valore atteso di X è dato da Varianza: V x χ M ( X ) = µ = x p( x) dx µ V(X) = σ = (x x χ 2 ) p(x)dx ( X ) E( X ) E( X ) = 2 x p( x) dx x p( x) dx 2 x χ x χ = Scarto qudratico medio o deviazione standard SQM ( X ) = σ = V ( X ) Scarto qudratico medio o deviazione standard SQM ( X ) = σ = V ( X )

10 Indice Indici di curtosi e simmetria Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4

11 Alcuni esempi Indici di curtosi e simmetria Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Esempio ( Controllo di qualità di un processo produttivo). Un azienda produttrice di materiale per l edilizia ispeziona ogni prodotto che esce dalla sua linea produttiva. Il prodotto può essere ritenuto buono o difettoso. L esperienza passata indica che il 5% dei pezzi prodotti è difettoso. Se si estraggono a caso 4 pezzi (in modo indipendente), determinare qual è la probabilità di non estrarre alcun pezzo difettoso? 2 qual è la probabilità che ci siano più di due pezzi difettosi? 3 qual è il valore atteso e la varianza dei pezzi difettosi; Esempio 2: Il 70% delle case è costruito in cemento armato e il restante 30% con altri materiali. Qual è la probabilità che estraendo casulamente due case entrambe siano state costruite in cemento armato?

12 La VCD Bernulliana Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La v.c. Bernulliana indica il numero di successi in una prova. Si considera un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso e sia p la probabilità di S. Definizione La variabile casuale Bernullliana (o indicatore) assume valore uno se si verifica S e zero altrimenti, ossia Distribuzione X = se è vero S X = 0 se è vero S p (x) = { p se x = 0 p se x = Momenti E (X) = p; Var (X) = p( p).

13 La VCD Binomiale Bin(n, p) Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La v.c. Binomiale indica il numero di successi in n prove indipendenti Si ripete n volte un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso. Sia p la probabilità di S. L esperimento è ripetuto in modo che le n prove sono indipendenti; la probabilità di successo p non cambia di prova in prova. Definizione La variabile casuale discreta semplice X, numero di ripetizioni dell esperimento che danno luogo ad un successo, è chiamata variabile casuale Binomiale. Le possibili determinazioni della Binomiale sono: 0,, 2,..., n

14 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Distribuzione binomiale: ( ) n p (x) = p x ( p) n x, x = 0,,..., n x Momenti: E (X) = n xp (x) = x=0 n ( ) n x p x ( p) n x = np x x=0 Additività: Var (X) = np ( p) X Bin (n, p) indip Y Bin (m, p) Z = X + Y Bin (n + m, p)

15 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Soluzione esercizio: Controllo di qualità di un processo produttivo Si tratta di calcolare P(X = 0): p=0.05; n=4; x=0; Y = BINOPDF(x, n, p); Risp: Y = Si tratta di calcolare P(X > 2) = P(X 3) = P(X = 2): x=2; Y = -BINOCDF(x, n, p); Risp: Y = Il valore atteso e la varianza sono dati da: [m v]=binostat(4,0.05) Risp: m =0.2 Risp: v = 0.9

16 Esempi Indici di curtosi e simmetria Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Estrazioni da un urna con rimessa 2 Se n = si ha Bin (, p) = B (p) 3 Distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = /3 con MATLAB: y = binopdf (0 : 5, 5, /3), bar([0 : 5], y), gridon)

17 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Esempio. Un azienda ha in media 4 ordini al giorno. a) Qual è la probabilità che in un certo giorno, si abbiano esattamente 5 ordini? b) Qual è la probabilità che si abbiano meno di 3 ordini al giorno? c) Se l azienda ha più di 8 ordini al giorno guadagna un premio dalla casa madre di 000 euro. Qual è il guadagno atteso in un mese (30gg)? ordini Poiss(4) -> la v.c. è il numero di ordini in un mese!!!

18 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Altri esempi sulla distribuzione di Poisson Esempio : numero di guasti Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: che in una giornata non abbia nessun guasto; 2 la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata. Esempio 2: analisi del fenomeno infortunistico Da alcuni studi è emerso che il numero di medio di incidenti mortali nel settore edile è pari a 2 incidenti alla settimana. Qual è la probabilità che in due settimane ci siano più di 5 incidenti?

19 La VCD di Poisson (λ) Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La variabile di Poisson X è una variabile casuale discreta che descrive il numero di realizzazioni di un evento aleatorio E per unità di tempo, superficie o volume. Si considera un evento che ricorre nel tempo in modo casuale (es: interruzioni di energia elettrica, chiamate a un centralino di pronto intervento, infortuni sul lavoro, incidenti stradali, richieste di intervento per manutenzione ecc.) in modo che: Le variabili casuali N(t, t + t), numero di ricorrenze nell intervallo (t, t + t), hanno funzione di probabilità che dipende dall ampiezza dell intervallo t ma non dalla origine t ( assunzione di stazionarietà); 2 le variabili casuali N(t, t 2 ) e N(t, t 2 ) sono indipendenti se si riferiscono ad intervalli disgiunti.

20 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Funzione di probabilità: Momenti: p(x) = (λ t)x e λ t x! Var(X) = E(X) = x=0 = λ t x=0 x (λ t)x e λ t = λ t x! x(x ) (λ t)x e λ t + λ t (λ t) 2 = x!

21 Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Approssimazione della Binomiale: se n grande e p è piccolo Bin (n, p) = (λ = np) lim n np=λ ( n )p x ( p) n x = λx x x! e λ Esempio: Dal punto di vista pratico se X è una binomiale con n = e π = 0000 è un problema calcolare p(x > 5) ma in base al precedente risultato tale probabilità può essere approssimata usando la f.d.p. di una Poisson con parametro λ = nπ = = 5.. matlab: y = poisspdf (0 : 20, 5), bar([0 : 20], y))

22 Esercizio Indici di curtosi e simmetria Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: che in una giornata non abbia nessun guasto; 2 la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.

24 Un ingegnere deve studiare la resistenza alla compressione del cemento. Ipotizzando che la resistenza alla compressione sia una variabile casuale distribuita come una Normale con media µ = 3000 psi e varianza σ 2 = 000psi, determinare la probabilità che un provino estratto a caso abbia una resistenza maggiore di 3050 psi Probability Greater than Lower Bound is Density Critical Value

25 Normale Standard e Normale generica

26 La VCC Normale Standard N (0, ) Densità di Z Ripartizione di Z Momenti φ (x) = 2π e 2 x 2 Φ (x) = x E (Z ) = 0 φ (t) dt Var (Z ) = E ( Z 2) =

27 Problema diretto: Aree = Probabilità: P (a < X < b) = b a φ (x) dx = Φ (b) Φ (a) Problema inverso: Quantili (Percentili): z α = Φ ( α) = z α SIMMETRIA: P (Z < a) = P (Z > a) Kurtosi Φ (z) = Φ ( z) z α = z α EZ 4 = 3.

28 VCC Normale generica N ( µ, σ 2) Densità di X N ( µ, σ 2) Ripartizione di X Momenti Standardizzazione f ( x; µ, σ 2) = σ φ ( x µ σ ) F ( x; µ, σ 2) ( ) x µ = Φ σ = σ 2π e 2( x µ σ ) 2 E (X) = µ e Var (X) = σ 2 X N ( µ, σ 2) Z = X µ σ N (0, ) Z N (0, ) X = µ + σz N ( µ, σ 2)

29 Problema diretto: Aree = Probabilità: ( a µ P (a < X < b) = P < Z < b µ ) σ σ b µ ( ) ( ) σ b µ a µ = φ (x) dx = Φ Φ σ σ a µ σ Problema inverso: Quantili (Percentili): x α = µ + σφ ( α) = µ + σz α = x α Unità di misura della gaussiana N ( µ, σ 2) è σ : P (µ σ < X < µ + σ) = 0.68 P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0.95 P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0.997

30 99.73% 95.46% µ-3σ µ+3σ µ-2σ µ+2σ 68.26% µ-σ µ+σ

31 La distribuzione T-Student Sia Z una variabile casuale normale standard e X una chi quadro con k gradi di libertà. Se Z e X sono indipendenti in probabilità allora il rapporto T = Z V k è una variabile casuale di Student con k gradi di libertà. Per curiosità notiamo che questa variabile casuale ha una densità che ad occhio è difficilmente distinguibile da quella della normale standard sopratutto per k > 30. La V.C. T di Student ha valore atteso nullo e la varianza per k > 2 è pari a k k 2

32 La distribuzione t-student E caratterizzata dal parametro k che indica i gradi di libertà

33 La distribuzione Chi-quadro La variabile casuale χ 2 è una v.c. continua ottenuta dalla somma di un numero k di v.c. normali standardizzate e indipendenti al quadrato: χ 2 = i= kz i

34 Esempio: la variabile casuale Esponenziale La durata X in ore di una macchina, prima che si verifichi un guasto, segue una legge Esponenziale di valore atteso E(X) = 2 ore. Calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi prima di un ora. 2 Calcolare la probabilità che il terzo guasto si verifichi dopo 3.45 ore, nell ipotesi che la realizzazione di due guasti successivi siano eventi indipendenti.

35 La VCC Esponenziale Exp(λ) Sia X t un processo di Poisson di media λ > 0. Si chiama v.c. Esponenziale la v.c. X che misura l istante del primo arrivo, X Exp(λ). Esempio: Se X t rappresenta il numero di guasti di un macchinario nell intervallo [0, t] e λ è il numero medio di guasti nellunità di tempo, la v.c. X = istante in cui avviene il primo guasto è una v.c. Esponenziale di parametro λ.

36 La densità di probabilità è f (x) = λe λx La funzione di ripartizione è F(x) = e λx Momenti E(X) = λ Var(X) = λ 2 La somma di n v.c. esponenziali, X, X 2,..., X n, indipendenti di parametro λ è una variabile Gamma di parametri n e λ X + X X n = Y Ga(n, λ)

37 Distribuzione esponenziale di parametro λ=/ f(x) F(x)

38 Esercizio: Un apparecchio elettronico è soggetto a guasti casuali che si realizzano nel tempo secondo un processo di Poisson. In media si ha un guasto ogni 3 giorni (il tempo medio tra un guasto e il successivo è di 3 giorni). Qual è la probabilità: che il primo guasto avvenga prima di 3 gg.? Che il primo guasto avvenga dopo 5 gg.? Che in 5 gg. non si abbia alcun guasto? Che in 5 gg.si realizzino esattamente due guasti? Che il secondo guasto avvenga prima di 5 gg?

39 Soluzione: P(X < 3) = exp( 3/3) = exp( ) = In MatLab: expcdf(3,3) 2 P(X > 5) = P(X < 5) = 0.8 = In MatLab: -expcdf(5,3) 3 E uguale alla probabilità precedente ed equivale ad una v.c. di Poisson dove X t è il numero di guasti nellintervallo [0, 5], P(X 5 = 0) = In MatLab: poisscdf(0,/3*5) 4 Si tratta di una v.c. di Poisson, P(X 5 = 2) = In MatLab: poisspdf(2,/3*5) 5 Si tratta di una variabile casuale Gamma di parametri n = 2 e λ = /3 ed è uguale a

40 La v.c. GAMMA Sia X t la v.c che rappresenta il numero di guasti di un apparecchio elettronico nell intervallo di tempo [0,t] e λ il numero medio di guasti nell unità di tempo. La v.c. X= istante in cui avviene l n-esimo guasto è una v.c. gamma di parametri (n, λ) X ~ Γ(n, λ ) D is t r. p ro b. n = n = 2 n = 3 n = D is tr. c u m. n = n = 2 n = 3 n = 4 f(x) F(x) g g g g

41 La VC di Weibull Indici di curtosi e simmetria f Distribuzione di Weibull ( t) = βα β t β e t α β t 0, α > 0 Valore atteso e varianza: E( X ) = αγ 2 V ( X ) = α ( + β ) 2 Γ( + 2 β ) Γ ( + β ) [ ] La funzione di Ripartizione (cumulata): F( X t) = e β t α

42 Distribuzione di Weibull con α= D is t r. p ro b. β = 0. 5 β = (E x p ) β = 2 (R a y le ig h ) β = D is t r. c u m. β = 0. 5 β = (E x p ) β = 2 (R a y le ig h ) β =

43 Svolgere in Matlab il seguente esercizio: La v.c. X che esprime il tempo di rottura (in ore) di una partita di lampadine ha una distribuzione di Weibull con a = 625 e β = 2. Trovare la densità e la funzione di ripartizione di X 2 Determinare la probabilità che le lampadine si guastino dopo 500 ore.