Esercizi sul calcolo delle probabilità

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1 Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità P(A)? P(A)=1-p(A c )=1-0,3=0,7 P(A B)? P(A U B)? 1

2 P(A B c )=0,5 P(A)=0,7 noti Obiettivo P(A B)? Che cos è P(A B c )? Ω A B P(A B c )=P(A)-P(A B) P(A B)=P(A)-P(A B c )=0,7-0,5=0,2 Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? 2

3 Esempio: superenalotto Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Casi favorevoli =1 Casi possibili = Combinazioni di 90 elementi di classe 6 = C 90,6 C 90,6 =90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)= C 90,6 =90!/(6! 84!)= Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame 3

4 Soluzione Casi favorevoli = 1 Casi possibili C 20,4 =4845 Pr = 1/4845=0,00021 Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa? 4

5 Soluzione Pr (carta di quadri U carta rossa) = Pr (carta di quadri) +Pr(carta rossa) -P(carta di quadri carta rossa)= 13/52+26/52-13/52=26/52=1/2 Da un mazzo di 52 carte da poker se ne estraggono a sorte 5. Si determini la probabilità che delle 5 carte 3 siano assi 5

6 Soluzione Casi favorevoli tre assi C 4,3 Casi favorevoli due altre carte qualsiasi C 48,2 Casi possibili =C 52,5 Pr richiesta = C 4,3 C 48,2 / C 52,5 =0,0017 Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli La probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 La probabilità che l esito del secondo lancio sia un numero doppio dell esito del primo lancio 6

7 Soluzione (senza usare la regola della prob. condizionata) Probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 Spazio degli eventi Ω:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} Casi possibili = 6 Casi favorevoli =1 Prob richiesta =1/6 Soluzione (usando la regola della prob. condizionata) Probabilità che l esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 A= esito del primo lancio sia 5 B = somma dei punteggi è 7 Ob. P(A B)? P(A B)=P(B A)P(A)/P(B) B:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(B)= 1/6 P(A)= 1/6 P(B A)=1/6 P(A B) = 1/6 1/6 / 1/6 = 1/6 7

8 5.45 Un urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Calcolare Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima estrazione (evento A)? Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione (evento B) dato che nella prima estrazione è stata estratta una pallina bianca (evento A)? Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una pallina bianca Soluzione Formalizzazione A=estrazione pallina bianca prima estraz P(B A)= estrazione pallina bianca seconda estr. data prima estraz bianca? P(A)=15/23 P(B A)= 14/22 15Bianche 8Nere P(A B) =P(B A) P(A)=(14/22)*(15/23) 8

9 Soluzione Probabilità che l esito del secondo lancio sia un numero doppio dell esito del primo lancio (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Ω Casi favorevoli=3 Casi possibili =36 Prob richiesta = 1/12 Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A= Il primo boero contiene il buono B= Il secondo boero contiene il buono P(A B)= entrambi i boeri contengono il buono 9

10 Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A= Il primo boero contiene il buono B A= Il secondo boero contiene il buono dato che il primo buono è già stato estratto P(A B) = P(A) P(B A)= (2/30) (1/29)=0,0023 Esercizi da svolgere 10

11 Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? Dati due eventi incompatibili A e B tali che P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le seguenti probabilità P(A c ) P(A B ) P(A U B) P(A c U B c ) P(A c B c ) 11

12 Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue B B c A A c E si calcolino P(A B c ) e P(A c B c ) Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado. 12

13 Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel bancone di un supermercato, 10 scadono fra una settimana, 50 fra due settimane e le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni scelte a caso due scadano tra una settimana, due scadano fra due settimane e una fra tre settimane Si calcoli la probabilità che estraendo a sorte due carte da un mazzo di 40 appaiano 2 assi. Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell estrazione della seconda 13

14 Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l evento complementare di B (B c ) sono indipendenti Un dado viene lanciato 2 volte. Si indichi con A l evento al primo lancio esce un numero minore o uguale a 2 e con B l evento al secondo lancio esce un numero uguale o superiore a 5. Calcolare la probabilità dell evento unione di A e B. 14

15 Si hanno tre scatole che contengono: la prima, 2 banconote da 100; la seconda, 1 banconota da 100 e 1 da 50; la terza, 2 banconote da 50. Si scelga a caso una delle tre scatole (tra loro equiprobabili) e si estragga una banconota. Risulta estratta una banconota da 100; qual è la probabilità che la scatola dalla quale è stata estratta sia la prima? Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3; ogni urna contiene 5 palline. La generica urna i contiene i palline bianche e (5-i) palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad esempio, l urna numero 2 contiene 2 palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si estrae a caso un urna, e da questa una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca. 15