I appello di calcolo delle probabilità e statistica

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1 I appello di calcolo delle probabilità e statistica A.Barchielli, L. Ladelli, G. Posta 8 Febbraio 13 Nome: Cognome: Matricola: Docente: I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. 1 Domande di teoria D 1 P,SP Dato uno spazio di probabilità Ω, F, P e due eventi E, F Ω indipendenti, dimostrare che ciascuna delle tre coppie è formata da eventi indipendenti. E, F c E c, F E c, F c Risposta: Cfr. S. M. Ross, probabilità e statistica per l ingegneria e le scienze II edizione, Apogeo 3.8. D SP,S Sia X 1,..., X 5 un campione normale di media µ incognita e varianza 4. Si consideri il problema di verifica delle ipotesi H : µ =.3 contro H 1 : µ.3. Determinare la funzione di potenza del test: rifiuto H se 5 X > z α/. Giustificate adeguatamente la risposta. Risposta: Cfr. S. M. Ross, probabilità e statistica per l ingegneria e le scienze II edizione, Apogeo D 3 SP, P Dare la definizione di covarianza tra due variabili aleatorie e di coefficiente di correlazione lineare. Riportare le loro principali proprietà e dimostrarne qualcuna. Risposta: Dispense pp D 4 S Fissato un modello statistico con parametro incognito ϑ, dare la definizione di intervallo di confidenza di livello 1 α per kϑ. Risposta: III parte lucidi Prof. Ladelli 1

2 Esercizi Esercizio 1 SP,P Siano dati dadi a 6 facce equilibrati. Il primo dado viene modificato: il valore 1 è sostituito dal valore 6, che ora appare su due facce. 1. I due dadi vengono lanciati. Calcolare la probabilità che la somma dei numeri ottenuti sia 11. Risposta: Siano X 1 e X i numeri ottenuti sul primo e sul secondo dado rispettivamente. Allora P X 1 + X = 11 = P X 1 = 5, X = 6 + P X 1 = 6, X = 5 = P X 1 = 5P X = 6 + P X 1 = 6P X = 5 = = Si sceglie ora un dado a caso entrambi i dadi hanno la stessa probabilità di essere scelti, lo si lancia, e si ottiene un 6. Calcolare la probabilità che il dado scelto sia quello modificato. Risposta: Sia I l evento viene scelto il dado modificato e S l evento si ottiene 6. Per la formula di Bayes P I S = P S IP I P S IP I + P S I c P I c = + 1 = Si sceglie di nuovo un dado a caso entrambi i dadi hanno la stessa probabilità di essere scelti e lo si lancia volte. Gli eventi S 1 nel primo lancio si ottiene 6 e S nel secondo lancio si ottiene 6 sono indipendenti? Dimostrare quanto affermato. Risposta: Sono dipendenti. Sia I l evento viene scelto il dado modificato. Per k = 1,, P S k = P S k IP I + P S k I c P I c = + 1 = 1 4. Mentre, usando il fatto che S 1 e S sono indipendenti condizionatamente alla scelta del dado, P S 1 S = P S 1 S IP I + P S 1 S I c P I c = P S 1 IP S IP I + P S 1 I c P S I c P I c = = = P S 1P S.

3 Esercizio SP,P 1 punti X 1, Y 1,..., X 1, Y 1 vengono scelti a caso ed indipendentemente nel quadrato Q := {x, y R : x, y [, 1]} con la seguente densità di probabilità { 3 fx, y = x + y se x, y Q altrimenti. 1. Calcolare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria X 1 e la sua media. Risposta: Detta F X x := P X 1 x la funzione di ripartizione di X 1, poiché X 1 [, 1], si ha che F X x = se x < e F X x = 1 se x 1. Se x [, 1: Da qui si ha EX 1 =. Calcolare P X 1 Y 1. Risposta: P X 1 Y 1 = f X x = F X x = {x y} x xf X x dx = fx, y dx dy = 3 x + y dy = 3 x + 1, 3 t + 1 dt = 1 x3 + x. 3 x3 + x dx = = 5 8. y 3 dy dx x + y y 3 = + y dy = Calcolare, il più precisamente possibile, la probabilità che tra i 1 punti X 1, Y 1,..., X 1, Y 1 ce ne siano più di 7 a destra della retta di equazione x = 1/. Risposta: Il numero N di punti a destra della retta x = 1/ è una variabile aleatoria binomiale di parametri n = 1 e p = P X 1 > 1/ = 1 F X 1/ = Per il teorema del limite centrale si ha, con la correzione di continuità, 7.5 np P N > 7 = 1 P N Φ 1 Φ =.35. np1 p Senza correzione di continuità 7 np P N > 7 = 1 P N 7 1 Φ 1 Φ = np1 p 3

4 Esercizio 3 SP,S Sia X 1,..., X n un campione proveniente dalla densità: [ ], fx µ, θ := 1 µ exp dove µ > e θ R sono parametri incogniti. x θ µ 1. Sia θ = 1. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆµ n di µ. Risposta: Si ha: lµ = log fx k µ, 1 = n log n log µ 1 µ l µ = n µ + 1 µ X k 1. X k 1 µ 1 n Quindi ˆµ n = n 1 n X k 1. X k 1.. Sia θ = 1. Determinare la distorsione e l errore quadratico medio dello stimatore ˆµ n. Risposta: ˆµ n è corretto in quanto: Eˆµ n = E X 1 1 = 1 µ x 1 e x 1 µ dx = 1 µ Quindi MSEˆµ n = Varˆµ n = Var X 1 1 /n. E X 1 1 = 1 µ Ne segue MSEˆµ n = µ /n. x 1 e x 1 µ dx = 1 µ = 1 µ x e x µ dx = 1 µ x e x µ dx xe x µ dx = µ. x e x µ dx = µ. 3. Siano ora µ e θ entrambi incogniti. Sapendo che EX 1 = θ e VarX 1 = µ, determinare gli stimatori µ n e θ n, di µ e θ rispettivamente, con il metodo dei momenti. Risposta: Abbiamo dunque EX 1 = θ e EX 1 = VarX 1 + EX 1 = µ + θ. Uguagliando i momenti teorici con i momenti empirici otteniamo θ n = X n e µ n = n 1 n X k X n /. 4

5 Esercizio 4 SP,S La seguente tabella contiene dati relativi a moduli di memoria RAM da 4 GB difettosi prodotti da due aziende. I dati sono suddivisi in base al produttore QWE o ASD ed in base al tipo di difetto riscontrato A, B, C o D. A B C D QWE corp ASD electr Sia p la proporzione di moduli difettosi della QWE corp. di categoria C o D. Impostare un opportuno problema di verifica d ipotesi su p per stabilire se si può affermare che la maggior parte dei moduli difettosi della QWE corp. ricadono nelle categorie C o D. Proporre un test statistico, calcolarne il p-value e trarne le conclusioni. Risposta: Il problema di verifica d ipotesi richiesto è H : p p = 1/, H 1 : p > 1/. Utilizzando il test sulla frequenza di una popolazione si ottiene X n p Z = n = , p 1 p.5.5 dove n = = 561 e X n = Il p-value è pari a 1 ΦZ.158 %. A tutti i livelli superiori al % si può respingere l ipotesi nulla e affermare che la maggior parte dei moduli difettosi della QWE corp. ricadono nelle categorie C o D.. Relativamente ai dati della QWE corp. si utilizzi il test del chi quadrato per determinare a quali livelli si può respingere l ipotesi che il difetto riscontrato sia uniformemente distribuito nelle quattro categorie A, B, C e D. Risposta: La dimensione del campione è n = 561. Numerando le classi da 1 a 4 e dette O i, p i = 1/4, la frequenza empirica assoluta e quella teorica relativa della classe i = 1,..., 4, si ha: 4 X Oi := n np i=1 i Questo valore va confrontato con i quantili destri della densità χ a 4 1 = 3 gradi di libertà. Poiché χ 3,.5 = 7.815, il p-value è maggiore del 5%. Sulle tabelle di Maggi trovate anche χ 3,. = 4.64, χ 3,.15 = e il p-value è tra questi due valori vicino al %, e l ipotesi non può essere rigettata a nessun livello ragionevole. 3. Si utilizzi il test chi quadrato per determinare a quali livelli si può respingere l ipotesi che il tipo di errore riscontrato sia indipendente dal produttore. Risposta: La dimensione del campione è N = 198. Numerando le 4 classi e detta O ij la frequenza empirica assoluta nella classe i, j, O i = j O ij, O j = i O ij, i = 1,, j = 1,..., 4 otteniamo: X = N ij O ij O i O j Questo valore va confrontato con i quantili destri della densità χ a 14 1 = 3 gradi di libertà. Poiché χ 3,.5 = 7.815, il p-value è molto maggiore del 5%, e l ipotesi di indipendenza non può essere rigettata a nessun livello ragionevole. Sulle tabelle di Maggi trovate anche χ 3,.995 =.7, e il p-value è vicino al 99.5%. 5

6 Esercizio 5 S Si vuole verificare il carico di rottura medio di alcuni cavi. A tal fine si eseguono prove di rottura su altrettanti cavi identici ottenendo i carichi di rottura X 1,..., X, con media campionaria pari a 1.49t. Da considerazioni teoriche si può assumere che il campione ottenuto sia normale di deviazione standard 1.t. 1. Dare un intervallo di confidenza 9% simmetrico per il carico di rottura medio. Risposta: Sia µ il carico di rottura medio dei cavi, σ := 1. le unità nella soluzione sono sempre le tonnellate e n :=. Il campione è assunto essere Nµ, σ quindi un intervallo di confidenza per µ è dato da: σ σ X n z.5, X n + z.5 1.5, n n. I cavi sono considerati sicuri se il loro carico di rottura medio è di almeno 1t. Coi dati a nostra disposizione, possiamo ritenerci ragionevolmente tranquilli che i cavi siano sicuri? Proporre un test statistico che permetta di stabilire se i cavi sono sicuri, determinarne il p-value e dire se al 5% di significatività si può respingere l ipotesi nulla con i dati assegnati. Risposta: Sia µ := 1. La scelta sensata delle ipotesi è: H : µ µ contro H 1 : µ > µ. Si può respingere l ipotesi nulla al livello α se Z := X n µ σ n > zα. Il p-value del test è dato da 1 ΦZ. Con i dati del campione si ha: Z 1.86 e 1 ΦZ.34. Si può rifiutare H al 5% di significatività. 3. Calcolare la probabilità di commettere un errore di II tipo nel test di livello 5% del punto precedente nel caso in cui il carico di rottura medio reale sia di 1.7t. Risposta: Sia µ 1 = 1.7 Xn µ P errore II tipo = P µ=µ1 n z.5 σ Xn µ 1 = P µ=µ1 n z.5 µ 1 µ n σ σ = Φ z.5 µ 1 µ σ n Φ