1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3.

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1 Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n 6 ESERCIZIO 1: 1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. lancio di 3 dadi ESERCIZIO 1 Soluzione: Definizione di Spazio Campionario: Spazio degli eventi elementari (Insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale) = Ω. 1. Ω ={1,2,3,4,5,6} 2. Ω = {(1,1) (1,2) (1,6) (2,1) (2,2) (2,6) (6,1) (6,2) (6,6)} 3. Ω = {(1,1,1) (1,1,2) (1,1,6) (1,2,1) (1,2,2) (1,2,6) (1,6,1) (1,6,2) (1,6,6) (2,1,1) (2,1,2) (2,1,6) (2,2,1) (2,2,2) (2,2,6) (2,6,1) (2,6,2) (2,6,6) (6,6,1) (6,6,2) (6,6,6)} ESERCIZIO 2: Un esperimento casuale consiste nell estrarre una pallina da un urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5. Se si estrae una pallina contrassegnata con un numero dispari si lancia una moneta, mentre se si ottiene un numero pari si lancia un dado. 1. Descrivere lo spazio campionario di tale esperimento 2. Descrivere gli eventi A = esce testa e B = si presentano solo numeri pari ESERCIZIO 2 Soluzione: Possibili risultati: Dispari: T/C Pari: 2 4 {1,2,,6} 1. Ω = {(P1,T) (P3,T) (P5,T) (P1,C) (P3,C) (P5,C) (P2, 1) (P2,2) (P2,3) (P2, 4) (P2,5) (P2,6) (P4, 1) (P4,2) (P4,3) (P4, 4) (P4,5) (P4,6)} 2. A = {(1,T), (3,T), (5,T)} cardinalità = 3 B = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6)} cardinalità = 6 Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 1

2 ESERCIZIO 3: Un urna contiene cinque palline numerate da 1 a 5 delle quali le prime 3 sono nere e le altre gialle. Si estrae un campione con reinserimento di ampiezza due. Sia E1 l evento la prima pallina estratta è nera e sia E2 l evento la seconda pallina estratta è nera : 1. Descrivere lo spazio campionario Ω 2. Descrivere gli eventi E1 e E2 ed E1 E2 3. Se le estrazioni avvengono senza reinserimento, come vengono modificati gli eventi Ω, E1 e E2 ed E1 E2? ESERCIZIO 3 Soluzione: Indichiamo le palline con: N1 N2 N3 G4 G5 1. Ω = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (N3, G4); (N3, G5); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G4, G4); (G4, G5); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3); (G5, G4); (G5, G5)} 2. E1 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (N3, G4); (N3, G5)} E2 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3)} E1 E2 E1 E2 = {(N1, N1); (N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N2); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (N3, N3)} 3. Senza reinserimento: Ω = {(N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, G4); (N3, G5); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G4, G5); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3); (G5, G4)} E1 = {(N1, N2); (N1, N3); (N1, G4); (N1, G5); (N2, N1); (N2, N3); (N2, G4); (N2, G5); (N3, N1); (N3, N2); (N3, G4); (N3, G5)} E2 = {(N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2); (G4, N1); (G4, N2); (G4, N3); (G5, N1); (G5, N2); (G5, N3)} E1 E2 E1 E2 = {(N1, N2); (N1, N3); (N2, N1); (N2, N3); (N3, N1); (N3, N2)} ESERCIZIO 4: Un esperimento consiste nel lanciare due dadi regolari insieme. Dopo aver determinato lo spazio degli eventi elementari, calcolare la probabilità dei seguenti eventi: Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 2

3 1. A = nei due lanci le facce superiori sono uguali, 2. B = nei due lanci le facce superiori hanno somma cinque, 3. C = il numero riportato su una faccia è il doppio dell altra. ESERCIZIO 4 Soluzione: Ω = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} 1. A = {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)} ( ) 2. B = {(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)} ( ) 3. C = {(1,2) (2,1) (2,4) (4,2) (3,6) (6,3)} ( ) ESERCIZIO 5: casi favorevoli 6 1 P A = = = casi possibili 36 6 casi favorevoli 4 1 P B = = = casi possibili 36 9 casi favorevoli 6 1 P C = = = casi possibili 36 6 Un dado regolare viene lanciato tre volte. Determinare: 1. la probabilità che i numeri ottenuti siano pari; 2. la probabilità che la somma dei numeri ottenuti sia cinque. ESERCIZIO 5 Soluzione: 1. P(ottenere 3 pari in 3 lanci) = P(P1 P2 P3) = P(P1) P(P2) P(P3) perchè gli eventi sono indipendenti = = casi favorevoli 6 1 P = = = casi possibili ( somma dei numeri sia 5) ESERCIZIO 6: Nel lancio di un dado sia A l evento esce un numero dispari, B l evento esce un numero pari. 1. Gli eventi A e B sono incompatibili? 2. Gli eventi A e B sono complementari? 3. Gli eventi A e B sono indipendenti? ESERCIZIO 6 Soluzione: 1. Definizione: Se due eventi A e B non possono verificarsi contemporaneamente (ossia se due insiemi sono disgiunti ), si dicono incompatibili e si scrive: A B = non avendo i due insiemi alcun elemento in comune: A e B sono INCOMPATIBILI Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 3

4 2. Definizione: A denota l evento complementare di A, ossia l evento tale che: A A = Ω Poiché A B = Ω e A B =, A e B sono COMPLEMENTARI. 3. Definizione: Se due eventi A e B sono indipendenti se e solo se: P(A B) = P(A) P(B) Poiché A B = φ, non avendo i due insiemi alcun elemento in comune: P(A B) = P(φ) = 0 (3 / 6) (3 / 6), Α e B NON sono INDIPENDENTI. ESERCIZIO 7: Siano A e B due eventi in Ω tali che P(A) = 0.5 e P(A B) = 0.6. Determinare P(B) nel caso in cui: 1. A e B sono eventi incompatibili 2. A e B sono eventi indipendenti 3. P(A B) = 0.4 ESERCIZIO 7 Soluzione: 1. Se A e B sono incompatibili: A B = φ e P(A B) = P(φ) = 0 P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) = 0.6 P(B) = = Se A e B sono eventi indipendenti: P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) = P(A)+ P(B) P(A) P(B) P(A B) = 0.6 = P(B) 0.5 P(B) P B 0.5 P B = ( ) ( ) P ( B) ( 1 0.5) = P ( B ) = = Definizione: Dati due eventi A e B, con P(B)> 0, la probabilità di A condizionata a B (ossia P( A B) condizionata dal fatto che si è verificato l evento B) è: P ( A B) =. P B da cui: P(A B) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A)+ P(B) P(B) P(A B) P ( B) 0.4 P ( B) = P ( B) ( 1 0.4) = 0.1 P ( B ) = Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 4 ( )

5 ESERCIZIO 8: Sapendo che la percentuale di persone che hanno i capelli rossi in Piemonte, in Sardegna e nelle Marche è rispettivamente del 5%, 1% e 2%, e che le tre regioni hanno rispettivamente 4.5, 2 e 1.5 milioni di abitanti. Calcolare la probabilità che la regione di origine di una persona, scelta a caso tra gli abitanti delle tre regioni, sia la Sardegna, supposto che: a) abbia i capelli rossi b) non abbia i capelli rossi ESERCIZIO 8 Soluzione: Definiti gli eventi come: P: regione di origine Piemonte S: regione di origine Sardegna M: regione di origine Marche R: capelli rossi I dati forniti del testo si possono così riportare: P ( R P ) = 0.05, P ( R S ) = 0.01 e ( ) P ( P ) = =, P ( S ) = = e ( ) P R M = P M = = a) Ora abbiamo gli elementi per applicare la formula di Bayes e ricavare la probabilità richiesta: ( ) P S R P( R S ) P( S ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = P R P P P P R S P S P R M P M P ( S R) = = = = Ovvero il 7.27%. b) Per risolvere il secondo punto dobbiamo considerare l evento complementare R, ed utilizzare la formula di Bayes P ( R P ) = 0.95, ( ) ( ) P S R P R S = 0.99 e P ( R M ) = 0.98 P( R S ) P ( S ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = P R P P P P R S P S P R M P M P ( S R) = = = = Ovvero il 25.63%. ESERCIZIO 9: In una fabbrica ci sono tre linee di produzione: A, B e C; le quali forniscono rispettivamente il 55%, 30% e il 15% della produzione totale. Supposto che le percentuali di prodotti difettosi che provengono dalle tre linee siano rispettivamente il 2%, il 3% ed il 6%, calcolare: a) la probabilità che un prodotto scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso b) la probabilità che un prodotto difettoso provenga dalla linee A Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 5

6 ESERCIZIO 9 Soluzione: Definiti gli eventi come: A: il prodotto proviene dalla linea A B: il prodotto proviene dalla linea B C: il prodotto proviene dalla linea C D: prodotto difettoso I dati forniti del testo si possono così riportare: P ( A ) = 0.55, P ( B ) = 0.3 e P ( C ) = 0.15 P ( D A ) = 0.02, P ( D B ) = 0.03 e ( ) P D C = 0.06 Dalla formula della probabilità condizionate ricaviamo che: P A P D A = P A D = = P B P D B = P B D = = P C P D C = P C D = = a) la probabilità che un prodotto scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso, si ricava quindi dal teorema delle probabilità totali come: P D = P D linea P linea = = Ovvero del 2.9%. b) per calcolare la probabilità che un prodotto difettoso provenga dalla linea A è necessario utilizzare la formula di Bayes P( D A) P( A) P ( A D) = P D A P A + P D B P B + P D C P C P ( A D) = = = P D ( ) Ovvero del 37.93% Elena Siletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 6