UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 05-6 P.Baldi Lista di esercizi, 8 gennaio 06. Esercizio Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli, X, compaiono con probabilità 0.46, 0.8 e 0.6 rispettivamente. Supponiamo inoltre che una colonna del totocalcio riguardi 3 partite, com era fino a poco tempo fa e inoltre che i risultati delle singole partite siano indipendenti. Calcolare la probabilità che nella schedina di domenica a il compaia più ( di 4 volte; b il simbolo X non compaia mai; c i simboli e X insieme compaiano 7 volte. Esercizio Una moneta equilibrata viene lanciata 8 volte. a Quale delle sequenze T T T T T T T T T T T T CCCC T CT T CT CC è più probabile? b Rispondere alla stessa questione, supponendo ora che la moneta dia T con probabilità p = 3 e C con probabilità p = 3. Esercizio 3 Una moneta equilibrata viene lanciata più volte. Qual è la probabilità che al decimo lancio a si siano avute esattamente 5 teste? b Si sia avuto testa almeno una volta? c Si abbia testa per la prima volta al decimo lancio? Esercizio 4 Una fabbrica produce componenti elettronici. Questi escono da due linee di produzione, A e B, nelle proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. La linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 0%, contro 7% per B. a Qual è la probabilità che un chip scelto a caso sia difettoso? b I chip vengono venduti in confezioni di 0 pezzi, tutti prodotti dalla stessa linea. Una di queste viene ispezionata. b Qual è la probabilità che essa risulti contenere esattamente pezzo difettoso? b Sapendo che essa contiene pezzo difettoso, qual è la probabilità che essa provenga dalla linea A? Qual è la probabilità che provenga dalla linea B? Quale delle due eventualità è più probabile?

2 Esercizio 5 00 palline sono distribuite a caso in 0 scatole. a Qual è la probabilità che la scatola n. contenga 0 palline? b Qual è la probabilità che le scatole n. e n. contengano insieme 5 palline? c Qual è la probabilità che la n. contenga 0 palline e la n. 5? Esercizio 6 Un urna contiene 0 dadi di cui truccato in modo da dare con probabilità e ognuno degli altri 5 risultati con probabilità 0 (gli altri 9 dadi sono equilibrati. Dall urna viene estratto un dado che è poi lanciato tre volte a Qual è la probabilità che i risultati siano due volte e una volta un numero diverso da? b Qual è la probabilità che il dado sia truccato sapendo che i tre lanci hanno dato due volte e una volta un numero diverso da? b Sapendo che i tre lanci hanno dato due volte e una volta un numero diverso da, è più probabile che si tratti di un dado truccato oppure di uno equilibrato? Esercizio 7 Un dado viene lanciato successivamente più volte. a Qual è la probabilità che dopo n lanci non sia ancora comparso il numero 6? b Indichiamo con T il numero di lanci necessario per ottenere 6 per la prima volta. b Quanto vale la probabilità P(T > n (cioè che dopo n lanci il 6 non sia ancora comparso? b Qual è la probabilità P(T = n (cioè che il 6 compaia per la prima volta esattamente allo n-esimo lamcio? Esercizio 8 Si suppone che il numero di pazienti che manifestano in un anno una complicazione postoperatoria grave in seguito ad una data operazione chirurgica in un ospedale segua una legge di Poisson di parametro λ =. a Qual è la probabilità che in quell ospedale non ci sia nessun caso di complicazione postoperatoria? b Qual è la probabilità che ci siano piu ( di casi di complicazione postoperatoria? E più di 3? E più di 4?

3 Soluzioni Esercizio. a Se supponiamo che i risultati delle singole partite siano indipendenti, il numero, Y, di che compare in una colonna vincente seguirà una legge binomiale B(3, 0.6. La probabilità richiesta è dunque 3 ( 3 P(Y 4 = 0.6 k k. k Per fare il calcolo numerico, conviene piuttosto calcolare P(Y 3, cioè ( ( k=4 ( ( = b Il numero, Z, di X che compaiono nella schedina segue una legge B(3, 0.8. Dunque la probabilità che il simbolo X non compaia mai è P(Z = 0 = ( = c Uno dei simboli e X ha la probabilità di comparire in corrispondenza di una singola partita con probabilità = Dunque, sempre assumendo che i singoli risultati siano indipendenti, il numero di volte che uno di questi simboli compare nella schedina dei risultati sarà una v.a. binomiale B(3, La probabilità di 7 apparizioni sarà dunque ( ( = 0.8 Esercizio. a Poiché siamo in presenza di prove ripetute indipendenti gli eventi esce T al primo lancio, esce T al secondo lancio lancio,... sono indipendenti. Dunque la probabilità di avere T T T T T T T T sarà uguale alla probabilità di avere T al primo lancio moltiplicata per la probabilità di avere T al secondo..., cioè } {{ } (8volte = 8 Ma anche la probabilità di avere C in un singolo lancio è uguale a. Dunque, ripetendo il ragionamento di prima, anche la probabilità di avere T T T T CCCC o T CT T CT CC saranno uguali a 8. In realtà tutte le possibili ottine sono equiprobabili. b Ora, sempre usando il fatto che i lanci sono indipendenti, la probabilità di una sequenza di 8 T o C è uguale a p k ( p 8 k, dove k è il numero di T nella sequenza e

4 p =la probabilità di T. Dato che p = 3 > p = 3, sono più probabili le sequenze con più teste. La prima sequenza è la più probabile. Esercizio 3. Indichiamo con X il numero di T ottenuto nei primi 0 lanci. Sappiamo che X segue una legge binomiale B(0, (numero di apparizioni in una sequenza di prove indipendenti. A partire da questa due osservazione la risposta alle questioni proposte è immediata, tranne forse per la d. a P(X = 5 = ( 0 5 ( 0 = b P(X = P(X = 0 = ( 0 = c Se indichiamo con X i l esito dello i-esimo lancio, la probabilità richiesta è P(X = C, X = C,... X 9 = C, X 0 = T. Poiché gli eventi relativi agli esiti di lanci diversi sono indipendenti, questa probabilità è uguale al prodotto P(X = CP(X = C... P(X 9 = CP(X 0 = T = = Esercizio 4. a Indichiamo con A, B e C rispettivamente gli eventi il pezzo proviene dalla linea A, proviene dalla linea B e il pezzo è difettoso. Il punto chiave è che i dati del problema ci permettono di affermare che P(A = 0.3, P(B = 0.7, P(C A = 0., P(C B = 0.7. Inoltre gli eventi A e B costituiscono una partizione dell evento certo (sono disgiunti e la somma delle loro probabilità vale. Dunque per la formula delle probabilità totali P(C = P(C AP(A + P(C BP(B = = 0.5. b Se consideriamo una scatola contenente 0 pezzi provenienti dalla linea A, allora ciascuno di essi può essere difettoso con probabilità 0.. Possiamo inoltre supporre che ogni pezzo sia difettoso oppure no indipendentemente dagli altri. Dunque il numero di pezzi difettosi in una scatola di 0 proveniente dalla linea A si modellizza con una v.a. di legge binomiale B(0, 0.. Analogamente se la scatola proviene dalla linea B il numero di pezzi difettosi seguirà una legge B(0, 0.7. Se ora indichiamo con C l evento nella scatola vi è (esattamente un pezzo difettoso, allora avremo ( 0 P(C A = = = 0.39 ( 0 P(C B = = = 0.3. Usando la formula delle probabilità totali abbiamo P(C = P(C AP(A + P(C BP(B = = 0.34.

5 b La probabilità che la scatola con un solo pezzo difettoso provenga dalla linea A non è altro che la probabilità condizionale P(A C. Per calcolarla si usa la formula di Bayes: P(A C = P(C AP(A P(C = = Allo stesso modo P(B C = P(C BP(B P(C = = È quindi più probabile che la scatola provenga dalla linea B. Esercizio 5. a Poniamo { se la i esima pallina finisce nella scatola X i = 0 altrimenti. La probabilità che una singola pallina finisca nella scatola vale 0 poiché, per come il problema è posto, possiamo supporre che tutte le scatole abbiano la stessa probabilità di essere scelte. Dunque P(X i = = 0 e cioè X i B(, 0. Inoltre le v.a. X,..., X 00 si possono supporre indipendenti. Il numero di palline finite nella scatola è dunque Y = X X 00 ; se ne ricava che Y, numero di palline che sono finite nella scatola numero, è binomiale B(00, 0 per cui la probabilità richiesta vale ( 00 P(Y = 0 = 0 ( 0 0 ( 90 = b Indichiamo con Y il numero di palline che finiscono nella scatola o nella. Ripetendo gli argomenti precedenti Y è binomiale B(00, 0 (ora la probabilità di finire nella scatola o nella è 0 = 5. Dunque ( 00 ( 4 75 P(Y = 5 = = c Indichiamo con Y, Y, Y 3 il numero di palline che finiscono rispettivamente nella scatola, nella e in una qualunque delle scatole dalle 3 alla 0. Allora la loro legge congiunta è multinomiale di parametri 0, 0, 4 5 rispettivamente. Quindi P(Y = 0, Y = 5 = 00! ( 0 ( 5 ( !5!75! 0 0 5

6 Esercizio 6. a La probabilità di osservare in un singolo lancio è 6 se il dado è equilibrato e se il dado è truccato. Dunque il numero di uni in tre lanci sarà una v.a. di legge binomiale B(3, 6 se il dado è equilibrato e B(3, se è truccato. Indichiamo con B 0 l evento il dado prescelto è equilibrato e con B l evento il dado prescelto è truccato. I dati del problema permettono quindi di affermare che P(A B 0 = Dunque ( 3 ( 6 P(B 0 = 9 0, P(B = = 5 7 = 0.07, P(A B = P(A = P(A B 0 P(B 0 + P(A B P(B = 5 7 ( ( b Si tratta di calcolare P(B A. La formula di Bayes dà subito P(B A = P(A B P(B P(A = 3 8 = = 3 8 = = 0 = 0.. b Poiché evidentemente P(B 0 A = P(B A = 5 8, è più probabile che si tratti di un dado equilibrato. Esercizio 8. Si tratta di applicare le formule della legge di Poisson. a La probabilità che una v.a. di Poisson di parametro λ = prenda il valore 0 è 0 e 0! = e = = 36.8% b La probabilità di osservare casi o più è uguale a meno la probabilità di osservarne 0 oppure, dunque 0 e 0! e! = e = 0.64 = 6.4%. La probabilità di osservare 3 casi o più è uguale a meno la probabilità di osservarne 0 oppure oppure, cioè 0 e 0! e! Infine per 4, tenendo conto che 3! = 6, 0 e 0! e! e! =.5e = 0.08 = 8.0%. e! e 3 3! = 0.09 =.9%.