LEZIONE 2.5. corso di statistica. Francesco Lagona Università Roma Tre. LEZIONE 2.5 p. 1/12

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1 LEZIONE 2.5 p. 1/12 LEZIONE 2.5 corso di statistica Francesco Lagona Università Roma Tre

2 LEZIONE 2.5 p. 2/12 distribuzione doppia di due variabili aleatorie consideriamo la distribuzione doppia di due variabili aleatorie discrete y 1 y 2 y 3 x 1 p 11 p 12 p 13 p 1 x 2 p 21 p 22 p 23 p 2 x 3 p 31 p 32 p 33 p 3 p 1 p 2 p 3 1 dove p hk =P(X = x h,y = y k ) p k =P(Y = y k ) p h =P(X = x h ) le due variabili aleatorie sono indipendenti se p hk = p h p k

3 LEZIONE 2.5 p. 3/12 esempio: variabili indipendenti consideriamo il lancio ripetuto di un dado onesto dove /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 X registra il numero uscito al primo lancio Y registra il numero uscito al secondo lancio X e Y sono indipendenti

4 LEZIONE 2.5 p. 4/12 esempio: variabili dipendenti consideriamo l estrazione senza reibussolamento di due palline da un urna che ne contiene 2 rosse e 3 blu R B dove R B X registra il colore osservato alla prima estrazione Y registra il colore osservato alla seconda estrazione X e Y sono dipendenti

5 LEZIONE 2.5 p. 5/12 somma di due variabili aleatorie sia Z = X +Y la somma di due variabili aleatorie con distribuzione congiunta p xy = P(X = x,y = y) il valore atteso di Z è dato da EZ = x = x (x+y)p xy y xp xy + y x y yp xy = x x y p xy + y y x p xy = x xp x + y yp y =EX +EY

6 LEZIONE 2.5 p. 6/12 somma di due variabili aleatorie la varianza di Z è data da σz 2 = (x+y) 2 p xy (EX +EY) 2 x y = (x 2 +y 2 +2xy)p xy (E 2 X +E 2 Y +2EXEY) x y = x 2 p xy + y 2 p xy +2 xyp xy (E 2 X +E 2 Y +2EXEY) x y y x x y = x 2 p x + y 2 p y +2 xyp xy (E 2 X +E 2 Y +2EXEY) x y x y =σx 2 +σy 2 +2σ xy se X e Y sono indipendenti (p xy = p x p y ), allora xyp xy = x y x xp x yp y = EXEY σ xy = 0 y

7 LEZIONE 2.5 p. 7/12 applicazioni: proprietà della distribuzione binomiale sia X 1...X n una successione di variabili bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con parametro p (EX i = p, σ 2 X i = p(1 p)) la variabile aleatoria somma X = n i=1 X i si distribuisce come una binomiale Bin(n,p): P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k p (0,1),k = 0,1,2,...,n il valore atteso di X è uguale a n EX = E X i = i=1 n EX i = np i=1 la varianza di X è uguale a σ 2 = n σx 2 i = np(1 p) i=1

8 LEZIONE 2.5 p. 8/12 applicazioni np è il numero atteso di successi in una prova che contempla la ripetizione di n prove bernoulliane indipendenti e identicamente distribuite con parametro p il numero atteso di test in 100 lanci di una moneta onesta è = 50 se i ritardi dei treni sono indipendenti l uno dall altro, e la probabilità che ogni treno ritardi è pari a p = 0.1, il numero atteso di ritardi in una linea ferroviaria percorsa da 100 treni è pari a = 10 la frequenza relativa dei successi f = n i=1 X i n ha valore atteso pari alla probabilità p del singolo successo: e varianza pari a Ef = E n i=1 X i n = np n = p σ 2 f = 1 n 2 n i=1 σ 2 X i = np(1 p) n 2 = p(1 p) n

9 LEZIONE 2.5 p. 9/12 applicazioni: campionamento con e senza ripetizione consideriamo un urna con N palline, di cui R rosse e B blu campionamento con ripetizione: estraiamo una pallina e la reimbussoliamo prima di estrarne una nuova, ripetendo la procedura n volte; la probabiltà di osservare b palline blu è data da P(X = b) = ( n b ) ( B N ) b ( 1 B ) n b N campionamento senza ripetizione: estraiamo in blocco n palline; la probabiltà di osservare b palline blu è data da (distribuzione ipergeometrica) P(X = b) = ( B N B ) b)( n b ( N n) quando la frazione di campionamento n/n è molto bassa ( B N B ) b)( n b ( N n) ( n b ) ( B N ) b ( 1 B ) n b N

10 LEZIONE 2.5 p. 10/12 esempio su cinque commissari, solo tre sono favorevoli ad un progetto; qual è la probabilità che il progetto sia approvato a maggioranza se si presentano ai lavori della commissione solo tre commissari? N = 5, B = 3, n = 3 si ha la maggioranza se il numero di voti favorevoli è maggiore o uguale di 2: P(X 2) =P(X = 2)+P(X = 3) = = = 7 10 = 0.7 ( 3 )( 2 2 ( 1) 5 + 3) ( 3 )( 2 3 ( 0) 5 3) in una popolazione di N = 1000 elettori, la metà votano per il candidato A; qual è la probabilità che da un sondaggio effettuato su 10 elettori, il 50% risulti elettore di A? N = 1000,B = 500,n = 10,b = 5 P(X = 5) = ( 500 )( ( ) ) = ( 10 ) =

11 LEZIONE 2.5 p. 11/12 eventi rari quando p è molto basso ed n è molto alto, in modo che np = λ, la probabilità di ottenere k successi in n prove bernoulliane i.i.d. con parametro p è approssimabile con (distribuzione di Poisson) P(X = k) = ( n k)p k (1 p) n k e λ λ k k! esempio: una malattia rara colpisce uno su abitanti; qual è la probabilità che in un paese di abitanti non vi sia nessun caso di questa malattia? n = p =1/ λ =1 P(X = 0) e 1 = 0.37

12 LEZIONE 2.5 p. 12/12 distribuzioni di probabilità distribuzione binomiale di parametri (n,p): indica la probabilità di ottenere k successi in n prove bernoulliane indipendenti con probabilità di successo pari a p ( n P(X = k) = p k) k (1 p) n k k = 0,1,2,...n distribuzione ipergeometrica di parametri(n, B, n): indica la probabilità di ottenere b successi estraendo in blocco un campione di n unità da una popolazione che contiene N unità di cui B successi ( B N B ) b)( P(X = b) = n b ( N n),b = 0,1,2,...min{B,n} distribuzione di Poisson di parametro λ: indica la probabilità di ottenere k eventi da un fenomeno che produce eventi ad un tasso λ P(X = k) = e λ λ k, k = 0,1,2,... k!