ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

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1 ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Aprile 2013

2 Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valore 1 con probabilità 1/3 e 2 con probabilità 2/3. Calcola il suo valor medio E[X] e la sua varianza V ar[x].

3 Esercizio 2 In un urna ci sono 5 palline Rosse e 3 Verdi. a) Se si estraggono a caso 2 palline senza rimessa e X rappresenta il numero di palline Rosse estratte determinare la distribuzione di probabilità di X. b) Se si estraggono a caso 2 palline con rimessa e Y rappresenta il numero di palline Verdi estratte determinare la distribuzione di probabilità di Y.

4 Esercizio 2 - Soluzione a) Poiché l esperimento consiste nell estrarre 2 palline SENZA rimessa ed X rappresenta il numero di palline Rosse estratte, la sua distribuzione di probabilità sarà data da p(x = 0) = = 3 28 p(x = 1) = = p(x = 2) = = 5 14 b) Poiché l esperimento consiste nell estrarre 2 palline CON rimessa ed Y rappresenta il numero di palline Verdi estratte, la sua distribuzione di probabilità sarà data da ( ) 5 2 p(x = 0) = = p(x = 1) = = ( ) 3 2 p(x = 2) = =

5 Esercizio 3 Si lanciano 3 dadi e si considerano le seguenti variabili aleatorie discrete a) X: somma dei punteggi dei 3 dadi; b) Y : prodotto dei punteggi dei 3 dadi. Calcolare il valor medio e la varianza di X e Y.

6 Esercizio 3 - Soluzione a) Consideriamo 3 dadi indistinguibili e supponiamo di lanciarli simultaneamente. La somma dei punteggi dei 3 dadi potrà assumere valori compresi tra 3 e 18. P (X = i) = n i ( 1 6 ) 3, dove i è un valore intero compreso tra 3 e 18, e n i è il numero di modi in cui si può ottenere il valore i. Ad esempio il valore 6 può essere ottenuto come 4+1+1, 3+2+1, ( ) 1 3 E(X) = i P (X = i) = i n i i=3 i= V ar(x) = (i E(X)) 2 P (X = i) i=3 b) Per la variabile aleatoria Y si ragiona allo stesso modo, il valore minimo ottenibile è 1, mentre il massimo 216. Naturalmente non tutti i valori tra 1 e 216 saranno esprimibili come prodotto di 3 interi minori o uguali a 6: pensate ad esempio al numero 7.

7 Esercizio 4 Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l ultima. Decidi di provare lo stesso scegliendo a caso l ultima cifra, disponi di un massimo di 3 tentativi. Quanti tentativi farai in media?

8 Esercizio 4 - Soluzione Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabile aleatoria può assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primo tentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre X = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i tentativi. Quindi si ha P (X = 1) = 1 10 P (X = 2) = = 1 10 quindi il valor medio è P (X = 3) = = 8 10 E(X) = = 27 10

9 Esercizio 5 Un arciere scocca delle frecce contro un bersaglio disponendo di un massimo di 3 tentativi. Al primo tentativo la probabilità di colpire il bersaglio è 1/5, ma ad ogni nuovo tentativo tale probabilità raddoppia rispetto al tentativo precedente. Calcola: a) la probabilità di colpire il bersaglio; b) il numero medio di frecce scoccate.

10 Esercizio 5 - Soluzione a) La probabilità di colpire il bersaglio è data dalla somma delle tre probabilità di colpirlo al primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilità di colpirlo al primo colpo vale 1/5; la probabilità di colpirlo al secondo vale (4/5) (2/5) = 8/25 (non colpisce al primo colpo e ha probabilità doppia di colpirlo al secondo); la probabilità di colpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non colpisce al primo colpo, non colpisce al secondo e ha probabilità doppia, rispetto al secondo tentativo, di colpirlo al terzo). La probabilità cercata è quindi P = = b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X è una variabile aleatoria discreta che può assumere i valori 1, 2, 3; calcoliamo le rispettive probabilità (ricorda che si scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non lo si colpisca): P (X = 1) = 1 5 P (X = 2) = 8 25 P (X = 3) = = Il valor medio è allora E[X] = = 57 25

11 Binomiale (o bernoulliana) Sia E un evento con probabilità p, e consideriamo la v.a. X che conta il numero di volte che E si è verificato in n esperimenti. P (X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k E(X) = n p V ar(x) = n p (1 p) DS(X) = V ar(x) = n p (1 p)

12 Distribuzione di Poisson Supponiamo di conoscere il numero medio di eventi µ che accadono in un dato intervallo di tempo ed indichiamo con X la v.a. che conta il numero di eventi accaduti nel fissato intervallo di tempo per il fenomeno (di Poisson) in esame. P (X = k) = µk k! e µ E(X) = µ V ar(x) = µ DS(X) = V ar(x) = µ

13 Distribuzione geometrica Sia E un evento con probabilità p che chiamiamo successo e supponiamo di ripetere delle prove. Consideriamo la v.a. X che conta il numero di prove necessarie ad ottenere il primo successo. P (X = k) = (1 p) k 1 p E(X) = 1 p V ar(x) = 1 p DS(X) = 1 p V ar(x) = p 2 p 2 Le variabili aleatorie geometriche godono di una proprietà rilevante, detta assenza di memoria: se nei primi n tentativi non è stato ottenuto alcun successo, la probabilità di dover attendere altri m tentativi prima del primo successo non dipende da n.

14 Esercizio 6 In una serie di 15 prove una variabile aleatoria X con distribuzione binomiale ha valor medio E(X) = 3. Quanto vale la sua varianza V ar(x)?

15 Esercizio 6 - Soluzione Se una variabile aleatoria discreta X ha una distribuzione binomiale allora E(X) = n p e V ar(x) = n p (1 p), dove n è il numero delle prove e p il parametro della binomiale che rappresenta una probabilità. Dai dati dell esercizio e dalle precedenti relazioni segue che p = E(X) n = 3 15 = 1 5, da cui V ar(x) = = 12 5

16 Esercizio 7 In un sacchetto ci sono 8 biglie rosse, 2 gialle e 10 blu. Si estrae con rimessa per 5 volte. Calcola la probabilità di estrarre: a) esattamente 4 rosse; b) almeno 1 rossa. c) Quante palline gialle saranno estratte in media?

17 Esercizio 7 - Soluzione Si hanno 20 palline in totale quindi P (R) = 8 20 P (G) = 2 20 P (B) = a) b) ( 5 P (4R) = 4 ) ( ) 8 4 ( ) ( ) 12 5 P (almeno 1R) = 1 P (0R) = 1 20 c) Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di palline gialle estratte: poiché l estrazione è con rimessa, X ha una distribuzione binomiale con p = P (G) = 2/20 e n = 5, quindi E[X] = n p = 1 2

18 Esercizio 8 Scegliendo a caso tra tutte le parole di 6 lettere formate da un alfabeto composto dalle sole lettere A,C,G,T calcola: a) la probabilità di ottenere la parola AACGTA; b) scegliendo a caso con rimessa, quante estrazioni dovrai fare in media per veder comparire questa parola?

19 Esercizio 8 - Soluzione a) La probabilità di ottenere la parola AACGTA è p = dove a denominatore c è il numero di possibili parole di 6 lettere formate con l alfabeto di 4 lettere in questione. b) Indicando con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di estrazioni per vedere estratta la parola in questione, è facile notare che X ha una distribuzione geometrica e quindi il suo valor medio vale E[X] = 1/p = 4 6.

20 Esercizio 9 Sia data una variabile aleatoria X. Sapendo che E[X] = 4 e E[X 2 ] = 20 calcola la deviazione standard di X ed il valor medio della variabile aleatoria (2 + 4 X) 2.

21 Esercizio 9 - Soluzione La varianza di X può essere ottenuta dalla relazione V ar[x] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = = 4 quindi la sua deviazione standard vale σ[x] = V ar[x] = 4 = 2 Per calcolare il valor medio di (2 + 4 X) 2 si utilizzano le proprietà di linearità del valor medio e le informazioni a disposizione: E[(2 + 4 X) 2 ] = E[ X + 16 X 2 ] = E[4] + E[16 X] + E[16 X 2 ] = E[X] + 16 E[X 2 ] = = 388

22 Esercizio 10 Sapendo che la probabilità di avere un figlio maschio in Italia vale p 51.35%, quanti figli ti aspetti di dover fare in media per avere un figlio maschio?

23 Esercizio 11 In un gioco a premi investi 50 euro sapendo che hai una probabilità del 8% di vincere 500 euro, una probabilità del 12% di vincere 100 euro, una probabilità del 20% di vincere 50 euro ed una probabilità del 60% di non vincere niente. Ti aspetti, in media, di guadagnare o perdere giocando?