COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV -VE

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1 COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV -VE

2 Scheda : Funzioni circolari, Equazioni e disequazioni goniometriche Risolvi la seguente equazione: sin + 4 sin cos + 5 = 0 Risolvi la seguente disequazione: cos sin cos < 0 Risolvi la seguente disequazione: cos tan Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y ln( sin) A) kπ π + kπ B) Insieme dei numeri reali C) π + kπ π + kπ D) L insieme vuoto =? 5 Determina le coordinate dei punti di intersezione A e B del grafico della funzione y = cos e del grafico della funzione y = sin nell intervallo [0, π] Scheda: soluzioni Impossibile 4 C 5 π kπ < < + k π 4 π π + kπ < < + kπ 4 π 4π A ; B ; ; Scheda Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione: y =? 4sin A) arcsin + kπ 4 π B) ± + kπ C) L insieme vuoto D) L insieme dei numeri reali

3 Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y = sin + cos? A) L insieme vuoto π B) + kπ < < kπ C) kπ + kπ D) R E) < < Risolvi la seguente disequazione: sin sin Scheda : SOLUZIONI B C π + kπ π + kπ = kπ Scheda : Funzioni circolari, Equazioni e disequazioni goniometriche Quali tra queste affermazioni sono VERE? A) L equazione sin cos = 0 è omogenea B) L equazione sin = ha due soluzioni nell intervallo [0, π] C) L equazione sin = 4 non ha soluzioni reali D) La sola soluzione dell equazione cos = nell intervallo [0, π] è π E) L equazione sin cos + cos = 0 equivale a tan + = 0 Risolvi la seguente equazione: sin = Risolvi la seguente equazione: + cos sin = 0 4 Quali delle seguenti sono soluzioni dell equazione: 4cot 4 = 0? (cot=/tan) π A) + kπ 4 B) 5 π 4 + k π

4 π C) + kπ 4 D) 5π + kπ 4 5 Determina per quale valore di k l equazione ksin cos = sin + cos ammette come soluzione π = 4 6 Determina il dominio della seguente funzione reale di variabile reale: y = + sin cos 7 Risolvi la seguente equazione: 8cos + 4 = 0 8 Risolvi la seguente equazione: sin(π ) + sin = 9 Risolvi la seguente equazione: π tan = sin + cos π 6 0 Risolvi la seguente equazione: sin cos = 0 Quale tra le seguenti è la soluzione dell equazione 5sin = 6 nell intervallo [0, π]? A) arcsin B) arcsin 5 6 C) arcsin 6 5 D) Nessuna Scheda : SOLUZIONI B-C = π + kπ = + kπ 4 = + kπ = arctan + kπ 4 B-C 5 k = 4 4

5 D k π = π + kπ = π + kπ 7 = π + kπ = π + kπ 6 6 π = + kπ 4 π = + kπ 6 Scheda 4: Funzioni circolari, Equazioni e disequazioni goniometriche Quante soluzioni ammette l equazione tan = nell intervallo [0, π]? A) Una B) Nessuna C) Infinite D) Due Risolvi la seguente equazione: π tan = 6 Risolvi la seguente equazione: sin cos = 0 4 Determina le coordinate dei punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = sin con la retta di equazione y = nell intervallo [0, π] 5 Sia α [0, π] una delle soluzioni di un equazione della forma cos = m, con < m < ; quale dei seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell equazione? A) [±α + kπ] B) [α + kπ] C) [α + kπ] D) [α + kπ, π α + kπ] 6 Risolvi la seguente disequazione: π tan 7 Risolvi la seguente disequazione: cos + < 0 4 5

6 8 Risolvi la seguente equazione: tan 4 tan + = 0 9 Risolvi la seguente equazione: sin + sin(π + ) = 0 0 Risolvi la seguente disequazione: cos > cos Quali delle seguenti sono affermazioni VERE? A) L equazione tan = non ha soluzioni reali B) L equazione sin = non ha soluzioni reali π + kπ C) L insieme delle soluzioni dell equazione tan = è S = π + kπ D) L insieme delle soluzioni dell equazione sin = è S = E) L equazione 4sin = non ha soluzioni reali Scheda 4: SOLUZIONI A 4 5 A 6 π π + k 9 = π + kπ = π + kπ 4 A π ;, 5 B π ; π 5 + k π < π + k π 7 Impossibile B-D = π + kπ = π + kπ 6 5 = π + kπ = π + kπ = π + kπ 6 6 π 5 + kπ < < π + kπ 6

7 Scheda 5: Equazioni e disequazioni esponenziali Completa ponendo il simbolo corretto scelto tra <, =, >: a) b) 7 7 c) Determina il dominio delle seguenti funzioni: a) y = ( ) b) y ( ) = Determina l espressione analitica della funzione il cui grafico è simmetrico di y = rispetto alla retta di equazione y = 4 Risolvi la seguente equazione: 9 = 5 Determina per quali valori di a l equazione strettamente crescente a y = a definisce una funzione esponenziale 6 Risolvi la seguente equazione: = 0 7 Determina a, b e c, con b > 0, in modo che il grafico della funzione di equazione = + y ab c sia quello rappresentato in figura 7

8 8 Risolvi la seguente disequazione: Quali delle seguenti affermazioni sono VERE? A) La funzione definita da y = a, con a R +, a, ha come asintoto l asse y = B) Le due funzioni di equazioni a e y = a hanno lo stesso grafico per ogni a R + C) La funzione definita da y = a è crescente per ogni a R +, con a 55 y = D) Le funzioni di equazioni 8 e y = 05 intersecano l asse y nello stesso punto E) La funzione definita da y = è esponenziale 0 Risolvi il seguente sistema: y 4 4 = y = Risolvi la seguente equazione: 8 Ordina le seguenti frasi in modo che la sequenza corrisponda alle equazioni proposte: L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione è impossibile A) = B) = C) 9 D) E) = = 0 = 8

9 Scheda 5: SOLUZIONI a) 4 9 > 4 0 ; b) 5 > ; c) a) ; b) < > y = 4 4 = 4 5 < a < 0 6 = 0 = > 7 a = 4, b =, c = A-B-D 0 0 = 0, y = D-C-A-B-E Scheda 6: Funzione esponenziale, Equazioni e disequazioni esponenziali Risolvi la seguente equazione: 8 = + Stabilisci se la seguente affermazione è vera o falsa: Ogni funzione esponenziale ha come asintoto orizzontale l asse Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze: ( ) ( ) 4 Determina, per la funzione y = + 4, dominio, immagine ed equazione dell asintoto orizzontale 5 Quali di queste affermazioni sono VERE? 9

10 A) La funzione definita da B) La funzione definita da 5 y = 5 y = ha come asintoto l asse y è crescente y = C) La funzione definita da 5 ha come asintoto l asse D) La funzione y = a, con 0 < a <, ha come immagine R + E) La funzione y = a +, con 0 < a <, ha come dominio R 0 6 Determina per quali valori di k reale l equazione nell incognita : 6 soluzione reale k e = k non ha alcuna 7 Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta l equazione della funzione esponenziale il cui grafico compare nella figura? 5 y = + A) 5 y = B) y = C) 5 y = D) 5 8 Determina il dominio della seguente funzione: 9 Risolvi la seguente disequazione: + y = + 0

11 0 Risolvi la seguente equazione: = Quali di queste funzioni esponenziali hanno come dominio l insieme dei numeri reali? y = A) e B) y = e + C) y = + e D) y = e Scheda 6: SOLUZIONI = È falsa Dominio: R; immagine: ( 4, + ); asintoto: y = 4 5 B-C-D 6 0 k < 7 C 8 > = A-B-C Scheda 7: Funzione esponenziale, funzione logaritmica, equazioni e disequazioni esponenziali, equazioni e disequazioni logaritmiche Risolvi la seguente equazione: = +

12 Il valore del logaritmo log + log log 8 log 8 4 è: A) O 4 B) 7 O C) O D) 45 O Due delle seguenti affermazioni sono FALSE Quali? A) L equazione log4 log5 6 = è logaritmica B) Log ( ) = Log + Log, con 0 < < C) Le funzioni D) È sempre y = > 0 e y = log/5 si intersecano in un punto che ha l ascissa uguale all ordinata 4 Risolvi la seguente disequazione: ln > ln 5 È vero che log 7 + log = + log8? 6 Il dominio della funzione ( ) = ln + ( ) A) < O B) < O C) 0 < O D) 0 < O f è l insieme degli reali tali che: 7 In un castagneto sono presenti 80 alberi Ogni anno vengono piantati dei nuovi alberi di castagno in ragione del 50% del numero presente Quanti anni occorrono per avere 405 alberi? Scrivi una funzione che permetta di ricavare gli alberi presenti nel castagneto, dopo un generico numero a di anni, della kt forma: N( t) = N0e, in cui N rappresenta il numero degli alberi dopo un tempo t e N 0 il numero degli alberi all istante t = 0

13 Scheda 7: SOLUZIONI =, = 0 D A-B 4 < < e 5 Vero 6 A 7 Occorrono 4 anni Scheda 8: Funzione esponenziale, Funzione logaritmica, Equazioni e disequazioni esponenziali, Equazioni e disequazioni logaritmiche e Risolvi la seguente equazione: 0 = e cifra decimale 0 e dai un valore della soluzione approssimato alla seconda Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni molto rapidamente Si è passati da 5,8 donatori effettivi registrati per milione di popolazione nel 99 a 0,8 nel 004 Assumendo una crescita esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione nel 00? (Arrotondare ai decimi) Considera la funzione f() = e + e e Determina le coordinate del punto A in cui la curva grafico della funzione incontra la curva rappresentativa dell equazione y = e 4 Determina il dominio della funzione ( ) = ln ( 4 ) f 5 Determina il dominio della seguente funzione: f ( ) = e + ln ln 6 Se ln indica il logaritmo di in base e, risulta tali che: A) 0 O ln + ln + = ln + per tutti e soli gli reali

14 B) O C) e O D) e O 7 Una sola delle seguenti affermazioni è FALSA Quale? A) ( ) /5 può essere uguale sia a sia a O B) L equazione 0 = 0 ha infinite soluzioni se > 0 O C) Le potenze di numeri reali negativi con esponente irrazionale non si definiscono O D) La funzione y = non ha come immagine R O 8 Risolvi la seguente equazione: e = 0 e Scheda 8: SOLUZIONI 0, 64 Circa 9,4 A ( ln( 5 ); 5 ) ( 0, ) (, e ] 6 C 7 D 8 L equazione è impossibile Scheda 9: Calcolo combinatorio In quanti modi posso disporre 5 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 8 penne, tutte diverse tra loro? Le targhe delle automobili sono formate da una coppia di lettere, una terna di numeri e infine una coppia di lettere Le lettere variano possono essere solo perché sono state tolte la I, la O, la Q e la U Quante targhe sono possibili? 4

15 In quanti modi posso mettere nella libreria 5 libri sapendo che sono di autori diversi, che del primo autore ci sono 6 libri e del secondo 9 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso autore? 4 Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, 5 uomini e 4 donne, devono uscire a raccogliere gli applausi In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si possono disporre se l ultimo della fila è un uomo (sempre considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili)? 5 In quanti modi diversi si possono scegliere persone per un interrogazione tra i 4 alunni di una classe? 6 In un gioco da tavolo si lanciano 5 dadi contemporaneamente In quanti modi si possono presentare le 5 facce? 7 Usando solo le cifre,,, 6, 7, 8, quanti numeri di sei cifre, tutte distinte, si possono scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono almeno una volta la cifra 7? 8 La combinazione di una cassaforte è formata da 8 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9) Sapendo che le cifre possono ripetersi e che l ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo 0 pari)? Scheda 9: SOLUZIONI a) 6 b) a) 70 b) c) Scheda 0: Problemi di probabilità Il mazzo di carte del gioco del poker, quando si gioca in quattro, è costituito da carte, 8 per ogni seme Si distribuiscono 5 carte per ogni giocatore Qual è la probabilità di ricevere 4 Assi? (Suggerimento dell insegnante: determina il numero di casi possibili nell estrarre 5 carte contemporaneamente da un mazzo di carte, per determinare il numero di casi favorevoli (ricevere 4 assi) suddividi le carte in due insiemi: l insieme dei 4 assi e l insieme delle altre 8 carte, determina poi il numero di casi favorevoli nell estrarre 4 assi dall insieme dei 4 assi e il numero di casi favorevoli nell estrarre una carta dall insieme delle altre 8 carte, moltiplica poi le possibilità 5

16 Nel gioco del lotto si chiama «ambo» una puntata su due numeri Si vince se tra i cinque numeri estratti sono presenti i due giocati Qual è la probabilità di vincere? Suggerimento dell insegnante: determina il numero di casi possibili nell estrarre 5 numeri contemporaneamente da un urna contenente 90 numeri, il numero di casi favorevoli è dato dalle combinazioni di 5 numeri contenenti i due numeri giocati, dal momento che i due numeri giocati sono fissi è quindi come estrarre numeri da un urna contente gli altri 88 numeri Nel gioco del lotto si gioca un estratto semplice puntando su un numero da a 90 su una determinata ruota Se tra i cinque estratti è presente tale numero, si vince Qual è la probabilità che ciò accada? 4 Si lanciano 0 monete Qual è la probabilità che escano 5 Testa? (Suggerimento: distribuzione binomiale individua la probabilità di successo in un lancio, il numero di lanci e il numero di successi richiesto) 5 Si lanciano 5 monete Qual è la probabilità che escano esattamente Testa? 6 Si ricevono cinque carte da un mazzo da poker a) Qual è la probabilità che siano tutte di cuori? b) Qual è la probabilità che siano tutte di uno stesso seme? 7 Da un mazzo di carte si estraggono Asso,,, 4, 5, 6, 7 di uno stesso seme, si mescolano queste carte e le si scoprono una alla volta Qual è la probabilità che escano nella sequenza Asso,,, 4, 5, 6, 7? 8 Si lanciano 5 monete Qual è la probabilità che escano almeno tre Testa? Suggerimento dell insegnante: almeno tre testi significa P( teste o 4teste o 5teste ) che risulta P( teste) + 9 Supponiamo di avere un urna contenente 5 palline numerate da a 5 Si estraggono a caso due palline, una alla volta, e con reinserimento Calcola la probabilità dei seguenti eventi: la prima pallina ha un numero pari e la seconda è 0; almeno una delle due palline ha un numero dispari 0 Due carte vengono estratte da un mazzo di 5, senza reinserimento Calcola la probabilità: che la prima carta sia di cuori e la seconda rossa; che la seconda carta sia rossa Sono date urne contenenti rispettivamente 5 biglie di cui 8 rosse, 5 biglie di cui 4 rosse e 0 biglie di cui 4 rosse Si lancia un dado Se esce 6 si sceglie la prima urna, se esce 4 si sceglie la seconda urna, altrimenti si sceglie la terza Si estraggono biglie contemporaneamente Calcola la probabilità che le biglie siano rosse 6

17 Scheda 0: SOLUZIONI a) ; b) a) 7/5 b) 76/5 0 / 5/04 b) ½ 7

18 Scheda : Variabile casuale discreta Una ditta dispone di 0 linee telefoniche La probabilità, in un istante qualsiasi, che una data linea sia occupata è 5 Determina il numero medio di linee telefoniche libere Suggerimento dell insegnante si ricorda che il valore atteso di variabile casuale che si distribuisce secondo una Binomiale è dato da n p Carlo è un buon tiratore e a ogni tentativo ha una probabilità p di riuscire a colpire il bersaglio Stabilisci quanto vale p sapendo che, in tre tentativi, la probabilità che Carlo colpisca almeno una volta il bersaglio è 0,99 Suggerimento dell insegnante: la probabilità di non colpire il bersaglio P( X = 0) = p ( p), scrivi la probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta e ponila 0 uguale a p = 0,9 O p = 0,98 O p = 0,80 O 4 p = 0,88 O 5 p = 0,84 O La seguente tabella definisce una variabile aleatoria (si tratta della distribuzione di una variabile casuale discreta?) Vero Falso 4 Trova la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria della tabella riportata di seguito 5 Si lanciano 4 dadi equi e sia X la variabile aleatoria che conta il numero di dadi in cui è uscito il numero Calcola (suggerimento dell insegnante: è come lanciare un dado 4 volte) 8

19 a la probabilità che X = 0; b la probabilità che X = ; c la media di X; 6 Supponiamo di avere urne, una contenente 4 palline bianche e nere e l altra contenente palline bianche e nere Si lancia una moneta per decidere da quale urna estrarre: se esce testa si estrae dalla prima urna, se esce croce si estrae dalla seconda Vengono estratte 4 palline dall urna scelta, una alla volta e con reinserimento Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte Calcola la probabilità che sia X= Suggerimento dell insegnante: calcola la probabilità che l estrazione avvenga dalla prima urna e che da essa escano uscite due palline bianche e due nere 4 P ( U b,n) =, calcola la probabilità che l estrazione avvenga dalla seconda urna e che da essa escano uscite due palline bianche e due nere Scheda SOLUZIONI 8 C Falso 4 Varianza =,97; scarto quadratico medio =,99 5 a) 0,48 b) 0,57 6 0,56 Scheda : Correlazione e regressione e Connessione Data la seguente tabella, determina l equazione della retta di regressione e calcola i valori di y per = e per = 7 Esercizio senza soluzione 9

20 I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda degli ordini da soddisfare La seguente tabella riporta quante persone lavorano in 5 semestri X = numero di semestre 4 5 Y = numero di dipendenti a Rappresenta la nuvola di punti e determina le coordinate del baricentro b Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata Arrotonda il risultato alla terza cifra decimale c Scrivi l equazione della retta di regressione che esprime il personale in funzione del tempo d Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno nell azienda nel decimo semestre (senza soluzione) Esercizio senza soluzione In una classe di 6 allievi viene fatta un indagine sull ultimo libro letto La seguente tabella riporta i risultati dell indagine X indica il sesso (M o F) e Y il genere del libro X Y romanzo giallo fantasy M F 8 a Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine b Determina le distribuzioni marginali di X e Y c Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y d Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y e Valuta il grado di connessione Scheda SOLUZIONI y = 0,9 +,7; per =, y =,; per = 7, y =,05 0

21 Scheda : Variabile casuale continua e inferenza Il tempo di una corsa in tai è distribuito secondo una normale con media 0 minuti e deviazione standard pari a 0 minuti a)qual è la probabilità che il tempo di una corsa scelta a caso sia: a superiore alla media? b inferiore a 5 minuti? c superiore a 5 minuti? a)quale percentuale di corse ha una durata inferiore a 5 minuti? a)determina il valore di Z tale che P ( Z z) = 0 75 a)qual è il tempo superato dal 75% delle corse? Scheda : Soluzioni X N(0;00 ) P ( X > 0) = 0 5 P(X < 5) = = P ( X > 5) = P (X < 5) = P ( Z < 0 5) = % P ( Z z) = 0 75 z = z = 0 z = da cui = *0 = 5 00