CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - gennaio 000 Elettronici: nn. 4 Informatici: nn. 6. Un lotto contiene pezzi buoni ed un solo pezzo difettoso. Si effettuano tre estrazioni senza restituzione, e sia E i = pezzo difettoso alla i-esima estrazione i =,, ). Determinare i costituenti relativi a questi eventi. Stabilire in che relazione stanno fra loro le corrispondenti probabilità p i, e quale condizione deve essere richiesta affinché esse siano coerenti. C = E, C = E, C = E, C 4 = E c E c E c, p = p = p. Data un urna di composizione incognita, sia H l evento, di probabilità p, individuato dalla proposizione l urna contiene in parti uguali palline bianche e nere. Si estrae una pallina, e sia E l evento pallina bianca. Se P E H c ) = α, calcolare la probabilità di H nell ipotesi E. Determinare poi α in modo tale che H ed E siano stocasticamente indipendenti. P H E) = p p + p)α α =. Sia X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette y = 0, y =, y = x, y = x. Calcolare le funzioni di ripartizione marginali di X ed Y, e stabilire se gli eventi E = {X < x} ed A = {Y < y} sono stocasticamente indipendenti. F X x) = 0, x 0 x, 0 x + x ) x), x, x 0, y 0 F Y y) = y, 0 y, y A ed E stocasticamente indipendenti? SÌ NO 4. Si suppone che la temperatura rilevata quotidianamente in una data città segua una distribuzione normale N θ, x). Sono state osservate, in 5 giorni diversi, le seguenti temperature in gradi Celsius): -, 0,,,, -, -, 0,, 4, 5, 5, -, -, 0 Determinare la distribuzione di probabilità del numero aleatorio Θ, assumendo come distribuzione iniziale una N, θ). βθ x) = N mn,σ n θ), m n = 6 6, σ n = 6 5. Si lancia una moneta: dati gli eventi E n = occorrono n lanci fino alla prima uscita di testa, stabilire se essi sono equiprobabili SÌ NO scambiabili SÌ NO stocasticamente indipendenti SÌ NO incompatibili SÌ NO 6. In un processo di Poisson, la previsione del numero Y di arrivi in [, 8] è uguale a 0. Calcolare l intensità del processo e la probabilità dell evento A=nessun arrivo in [, 5], nell ipotesi che il numero di arrivi in [, 8] sia uguale a 7. ) 7 λ = P A Y = 7) = 5

2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 5 gennaio 000 Elettronici II anno: nn. 4, Informatici e altri CL: nn. 6, Diploma: nn.,,4. Si ritiene, con probabilità p, che i campioni di acqua prelevati a valle di un depuratore siano tutti inquinati sia A questo evento). Si estrae a caso uno di questi, e sia H l evento il campione estratto è inquinato. Se P H A c ) = α, calcolare la probabilità di A nell ipotesi H. Determinare poi α in modo tale che H ed A siano stocasticamente indipendenti. P A H) = p p + p)α α =. Un lotto contiene N pezzi buoni e due pezzi difettosi N 5). Si effettuano tre estrazioni senza restituzione, e sia E i = pezzo difettoso alla i-esima estrazione i =,, ). Determinare i costituenti relativi a questi eventi. Individuare due sottofamiglie di costituenti equiprobabili, e calcolare la probabilità del costituente E c E c E c. C = E E c E, c C = E c E E, c C = E c E c E, C 4 = E E E, c C 5 = E E c E, C 6 = E c E E, C 7 = E c E c E. c a sottofamiglia: {C, C, C } a sottofamiglia: {C 4, C 5, C 6 } P E c E c E c ) = N )N 4) NN ). Si suppone che il numero X k di telefonate che arrivano ad un centralino tra le 8 e le 9 di mattina del giorno k-esimo sia un numero aleatorio con distribuzione di Poisson di parametro incognito θ; questo numero aleatorio ha densità iniziale del tipo βθ) = γθe θ/4, con γ opportuno. Si osserva il numero di telefonate per 0 giorni, ottenendo il campione casuale x = 6,, 4, 5, 6, 5,, 7, 7, 5). Calcolare la costante γ e la distribuzione finale di Θ. γ = 6 βθ x) = G c,λ θ), c = 5 λ = Sia X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette y = 0, y =, y = x, y = x. Calcolare le densità marginali di X ed Y, e stabilire se i numeri aleatori X ed Y sono stocasticamente indipendenti. f X x) = 0 x < x x), < x 0, altrove f Y y) = {, 0 y 0, altrove X ed Y stocasticamente indipendenti? SÌ NO 5. Si considerino estrazioni senza restituzione da un urna contenente palline bianche e nere in proporzioni incognite. Stabilire se gli eventi E i = pallina bianca alla i-esima estrazione sono equiprobabili SÌ NO scambiabili SÌ NO stocasticamente indipendenti SÌ NO incompatibili SÌ NO 6. Dato un processo uniforme su [0, π], con n = 7, calcolare la previsione della terza lacuna L e la probabilità dell evento A = {L 5 > }. IPL ) = π 8 P A) = ) 7 π

3 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 6 febbraio 000 Diploma: nn. Elettronici II anno: nn. 4 Informatici et al.: nn. 6. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme con previsione IPX) = 5 e varx) =. Trovare la densità di probabilità di X. fx) =, x, ) 0, altrove. Un vettore aleatorio X, Y ) ha densità di probabilità fx, y) = x+y) sul quadrato [0, ] [0, ]. Calcolare le distribuzioni marginali, la covarianza di X, Y, e stabilire se X e Y sono indipendenti. ) f X x) = x + ), x 0, ) 0, altrove X e Y indipendenti? SÌ NO + y, y 0, ) f Y y) = 0, altrove. Si lanciano contemporaneamente due dadi. Si considerino i seguenti eventi A = i due numeri ottenuti sono diversi tra loro B = i due numeri ottenuti sono entrambi pari Calcolare le probabilità P A B) e P B A). covx, Y ) = 9 P A B) = P B A) = 5 4. Dati due eventi A, B con P A c ) =, P Bc ) =, P A B) =, determinare codominio, previsione e varianza del numero aleatorio X = B 8 A. C X = {, 0, } IPX) = varx) = Contrassegnare con V vero) o F falso) le seguenti affermazioni: - In un processo uniforme, le lacune non hanno la stessa varianza V F - Numeri aleatori scambiabili hanno la stessa distribuzione V F - In un processo di Poisson, gli arrivi in 0, t) hanno distribuzione esponenziale V F - Le statistiche d ordine di un processo uniforme sono scambiabili V F 6. I costituenti relativi agli eventi A, B, E sono C = A B E c, C = A B c E, C = A c B c E. Determinare se le valutazioni P A) = 0.5, P B) = 0., P E) = 0.7 sono coerenti. Verificare poi la coerenza delle valutazioni P A) = 0.7, P B) = 0., P E) = 0.5. Coerenza di P SÌ NO Coerenza di P SÌ NO

4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 aprile 000 Scrivere le risposte negli appositi spazi e motivarle dettagliatamente su fogli allegati. Data una successione {E i } di eventi indipendenti ed equiprobabili con P E i ) =, si consideri il numero aleatorio X = numero di prove fino al successo. Calcolare la previsione di Y = X e la probabilità dell evento E = 6 Y 9). IPY ) = 9 P E) = 0 7. Dati tre numeri aleatori X, Y, Z con varx) = vary ) = varz) = 4 e con ρx, Y ) = ρx, Z) = ρy, Z) =, e posto U = X + Y Z, calcolare varu) = varx Y ) = 4 covx, Y ) = 4. Sia X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sull insieme A = {x [0, ], y [0, logx + )]}. Determinare la densità congiunta hx, y), la densità marginale h x) e, per ogni fissato x [0, ], la densità condizionata h y x). x, y) A hx, y) = log y 0, logx + )) h y x) = logx + ) logx + ) x [0, ] h x) = log 4. Utilizzando i costituenti generati dagli eventi A, B, C, calcolare P A B), P A c B c C), P B), sapendo che i tre eventi dati sono scambiabili e che P A B C) = P A c B c C c ) = 8, P Ac B C) = 0. P A B) = 40 P A c B c C) = 0 P B) = Si estraggono a caso senza restituzione n pezzi da un lotto che ne contiene 5, ottenendo sempre pezzi difettosi. Se è noto che il lotto contiene al più un pezzo non difettoso, calcolare il numero n di estrazioni necessarie affinché la probabilità di H = il lotto contiene un pezzo non difettoso, che prima delle estrazioni era stata valutata P H) =, risulti minore o uguale di 0. n = 6. Si consideri l intervallo [0, ] e un punto x al suo interno e si scelgano a caso in [0, ] tre punti X, X, X. Calcolare la probabilità p che almeno due di essi appartengano a [0, x], e la previsione del numero aleatorio Y = X ) X ) ). p = x x) IPY ) = 4

5 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 0 maggio 000 Modulo: nn. 4 Corso intero : nn. 6. Si effettuano due estrazioni con restituzione da un urna contenente palline bianche e nere. Dati gli eventi A = pallina nera alla prima estrazione, B = pallina bianca alla prima estrazione, E = pallina bianca alla seconda estrazione determinare i costituenti possibili relativi ai tre eventi dati) e le loro probabilità. C = A B c E; C = A c B E; C = A B c E c ; C 4 = A c B E c P C ) = 6 5 P C ) = 9 5 P C ) = 4 5 P C 4 ) = 6 5. Sia X un numero aleatorio con distribuzione geometrica di parametro p e sia Y = X. Dati k e n interi positivi, calcolare IPY ) = p P k Y k + ) = p) k p P Y > n + k) X > k) = p) n. Dato un vettore aleatorio X, Y ) con distribuzione uniforme sul cerchio unitario, calcolare la probabilità dell evento E = X, Y ). P E) = 8 9π 4. Un lotto contiene un gran numero di pezzi di due tipi: buoni B) e difettosi D). La frazione θ di pezzi buoni ha una distribuzione iniziale del tipo βθ) = k θ, θ Si estraggono 4 pezzi, ottenendo x = B, B, B, B). Determinare, utilizzando per la verosimiglianza l approssimazione binomiale, la distribuzione finale di θ. βθ x) = 64 5 θ ) θ 5. Data un urna di composizione incognita, contenente palline bianche o nere, sia H r = le palline bianche nell urna sono r r =,..., N). Si effettuano n estrazioni con restituzione; posto E i = pallina bianca alla i-esima estrazione ed E = h palline bianche su n estrazioni, si chiede Gli eventi E ed E sono logicamente indipendenti? SÌ NO Gli eventi E i i =,..., n) sono stocasticamente indipendenti? SÌ NO Gli eventi E i i =,..., n) sono scambiabili? SÌ NO Calcolare P E i H r ) = r ) n r ) h P E H r ) = r ) n h N h N N 6. Dati 5 numeri aleatori indipendenti e con distribuzione uniforme su [0, c], si ha NON È NECESSARIO FARE CALCOLI!) i) IPX 4) X ) ) = IPX ) ) SÌ NO ii) Le statistiche d ordine hanno distribuzione esponenziale SÌ NO Se Y,..., Y 5 sono numeri aleatori non indipendenti, si può avere iii) Y = X ),..., Y 5 = X 5) SÌ NO iv) Y = L,..., Y 5 = L 5 SÌ NO v) Detta l k la densità di L k k =,..., 5), essa non dipende da k SÌ NO

6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - giugno 000 Scrivere le risposte negli appositi spazi Modulo: nn. 4 Corso intero : nn. 6. Da due sacchetti contenenti i 90 numeri della tombola, due persone estraggono indipendentemente con restituzione, una pallina numerata fino a quando viene estratto per la prima volta un multiplo di 0 la prima persona) oppure un numero multiplo di 5 la seconda persona). Se N è il numero aleatorio) di estrazioni che la seconda persona fa in più rispetto alla prima, calcolare la previsione di N. IPN) = 5. È noto che un lotto di 50 pezzi contiene o pezzi tutti difettosi evento H, con probabilità /0) oppure un solo pezzo difettoso. Calcolare la probabilità condizionata di H nell ipotesi D che, effettuando una sola estrazione, si trovi un pezzo difettoso. P H D) = Sia X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta { k xy), x, y) A fx, y) = 0, altrove essendo A il quadrato di vertici 0, 0),, 0),, ), 0, ). Determinare la costante k e, per ogni x [0, ] fissato, la densità condizionata marginale di Y x. xy k = 4 x, y [0, ] f Y y x) = 4. Un numero aleatorio X ha codominio {,, 5, x}, con probabilità rispettive { 0, 5,, p} e previsione IPX) = 5. Calcolare la varianza del numero aleatorio Y = X + 0. vary ) = 6 5. Dato un processo uniforme su [0, ], con n = 4, calcolare la probabilità dell evento e la previsione di X ) X ). P X ) ) = 8 9 IPX ) X ) ) = 5 X ) ) 6. Siano φ X t) = + t + 6 t, φ Y t) = 4 t + 4 t le funzioni generatrici di due numeri aleatori indipendenti discreti a valori interi 0. Determinare il loro codominio e quello del numero aleatorio Z = X + Y. Calcolare poi F 5 ) ed F π), essendo F la funzione di ripartizione di Z. C X = {0,, } C Y = {, } C Z = {,,, 4, 5} F ) 5 = 4 F π) =

7 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 7 giugno 000 Modulo: nn. 4 Corso intero : nn. 6. Il numero X di chiamate telefoniche che arrivano in ora ad un ufficio segue la distribuzione di Poisson, e la probabilità che in tale intervallo di tempo non arrivi alcuna telefonata è uguale ad e. Calcolare il numero medio Y di telefonate che arrivano all ufficio fra le 9 e le. Y =. Un lotto contiene 8 pezzi difettosi e 0 buoni. Calcolare il numero minimo) n di estrazioni con restituzione) necessarie affinchè la probabilità che venga estratto almeno un pezzo difettoso sia maggiore di 4. n = 5. Sia T il tempo di attesa fino al primo guasto di un sistema costituito da due componenti A e B in serie. Il componente A ha un tempo di attesa X fino al primo guasto con distribuzione esponenziale di parametro, mentre quello Y del componente B ha distribuzione esponenziale di parametro. Supponendo X e Y indipendenti, determinare il tasso di avaria del numero aleatorio T. ht) = 5 4. Sia X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta { kxy, x, y) A fx, y) = 0, altrove essendo A = {x, y) : x 4, y 4}. Determinare la costante k e la previsione di Z = XY. k = 6 IPZ) = 9 5. Contrassegnare le risposte corrette: - Le lacune di un processo uniforme sono numeri aleatori indipendenti e SÌ NO con la stessa distribuzione - Eventi scambiabili sono indipendenti ed equiprobabili SÌ NO - Le lacune di un processo uniforme non sono indipendenti SÌ NO - Eventi indipendenti ed equiprobabili sono incompatibili SÌ NO - Esiste un valore k tale che la densità della k-esima statistica d ordine SÌ NO coincide con la densità della k-esima lacuna 6. Dato un processo di Poisson di intensità λ =, siano rispettivamente X e Y gli arrivi in [0, ] e in, ]. Calcolare la probabilità dell evento {X + Y > 0}, la previsione di X + Y e la probabilità condizionata di X = 0 X + Y = ). P X + Y > 0) = e IPX + Y ) = P X = 0 X + Y = ) =

8 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - luglio 000 Scrivere le risposte negli appositi spazi Modulo: nn. 4 Corso intero : nn. 6. Date due apparecchiature A e B, il tempo di attesa misurato in ore) fino al primo guasto di B ha un andamento quadratico rispetto a quello di A. Se il tempo di attesa X fino al primo guasto di A ha distribuzione esponenziale di parametro λ =, e se B viene messo in funzione ore prima di A, 4 calcolare la previsione del tempo di attesa Y fino al primo guasto di B. IPY ) = IP[X + ) ] = 5. Sia H l evento, di probabilità, un urna contiene tutte palline bianche. Se l urna contiene 0 palline, sia H c = l urna contiene una sola pallina bianca. Si effettua una estrazione, e si trova una pallina bianca sia A questo evento): calcolare P H A). P H A) = 5 6. Tra due punti A e B passa corrente attraverso due conduttori in parallelo. Il primo ha un interruttore I, l altro due interruttori I, I in serie: indicando con gli stessi simboli I k k =,, ) gli eventi stocasticamente indipendenti) che affermano che il corrispondente interruttore è chiuso passa corrente), calcolare la probabilità dell evento C = passa corrente fra A e B, sapendo che P I ) = P I ) =, P I ) =. P C) = 7 4. Se X e Y sono numeri aleatori indipendenti con distribuzione normale standard, è noto che Z = X 7Y ha distribuzione normale. Calcolare previsione e varianza di Z, e la covarianza di X e Z. IPZ) = 0 varz) = 58 covx, Z) = 5. Siano X, X, X numeri aleatori indipendenti e con distribuzione uniforme su [0, ]. Calcolare la probabilità degli eventi {X ) }, {X ) } e la previsione della lacuna L. P X ) ) = P X ) ) = IPL ) = 6. Siano X e Y, rispettivamente, gli arrivi in [0, ] e, ] di un processo di Poisson di intensità λ =. Calcolare la probabilità che non si abbia alcun arrivo nei due intervalli e, posto A = {X + Y = }, calcolare la previsione di X A. P X = 0, Y = 0) = e IPX A) =

9 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 5 settembre 000 o Modulo: nn. 4 Corso intero: nn. 6. Siano A, B, C tre eventi di probabilità, rispettivamente, α,, e tali che A B Cc =, A B c C =, A c B C =, A c B c C c =. Determinare per quali valori di α dette probabilità sono coerenti. 6 α 5 6 Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [0, ]: determinare la distribuzione di Y = log X. { e F Y y) = y, y 0 0, y < 0 Sia X = { numero di lanci di un dado fino all uscita del numero 6 per la prima volta}, Y = { numero di lanci di un dado fino all uscita del numero 6 per la seconda volta}. Calcolare la probabilità degli eventi {X = n}, {Y X = m} e quella dell evento condizionato {Y X = m) X = n}. P X = n) = 5n P Y X = m) = 5m P Y X = m) X = n) = 5m 6 n 6 m 6 m 4 Una fabbrica con due macchinari diversi M, M produce, nelle proporzioni rispettive p e q p, q > 0, p + q = ), dei pezzi indistinguibili, ma di qualità diversa, con tempi di vita esponenziali, di parametri rispettivi λ, µ > 0. Scelto un pezzo a caso, determinare la distribuzione di probabilità del suo tempo di vita T. Calcolare IPT ). Supponendo che il pezzo sia in vita al tempo s, qual è la probabilità che sia stato prodotto da M? F T t) = { pe λt qe µt, t 0 0, t < 0 IPT ) = p λ + q µ P M T > s) = pe λs pe λs + qe µs 5 Dato un processo di Poisson di intensità α =, si supponga che il numero di arrivi nell intervallo [0, ] sia uguale a 4. Calcolare, in tale ipotesi, la probabilità p che tutti gli arrivi si verifichino prima di un fissato istante t IR +, p dipende da α? SÌ NO Determinare la densità di probabilità fτ) del tempo di attesa fra primo e secondo arrivo. t 4, t [0, ] p = 6 fτ) = e τ, τ 0, t 0, τ < 0 6 Contrassegnare con V vero) o F falso) le seguenti affermazioni: - Le distribuzioni marginali del vettore X, Y ) si possono determinare a partire dalla distribuzione F congiunta solo se X e Y sono indipendenti - Eventi scambiabili sono indipendenti F - La distribuzione congiunta del vettore X, Y ) si può determinare a partire dalle distribuzioni V marginali se X e Y sono indipendenti - Le lacune di un processo uniforme hanno stessa varianza V - La densità dell ultima statistica d ordine coincide con la densità dell ultima lacuna F

10 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 4 ottobre 000 o Modulo: nn. 4 Corso intero: nn. 6. Si lanciano 5 dadi; calcolare la probabilità p che almeno tre di essi mostrino la stessa faccia. p = 08. Tre scatole contengono ciascuna due biglie, la prima ne ha due bianche, la seconda una bianca e una gialla, la terza due gialle. Si sceglie una scatola a caso e quindi da essa una biglia. Nell ipotesi che la biglia sia gialla, qual è la probabilità p che sia gialla anche l altra biglia? p = Una fabbrica produce fusibili per televisori: si estraggono con restituzione) 5 pezzi da un lotto e si osserva che 5 di essi sono difettosi. Il numero aleatorio Θ rappresenta la frazione θ di pezzi difettosi nel lotto, e come distribuzione iniziale βθ) si sceglie B 0, θ). Determinare la distribuzione di probabilità finale βθ x). βθ x) = 6! 4!! θ4 θ) = B 5, θ) 4 Sia X un numero aleatorio con distribuzione ) normale di valor medio µ e varianza σ. Determinare X µ la funzione caratteristica di Z =. σ φ Z t) = it 5. Sono scelti 5 punti a caso nell intervallo [0, ], e sia X ) la prima statistica d ordine; calcolare la funzione di ripartizione di Y = log X ). e y ) 5, y 0 F Y y) =, y 0 6 Contrassegnare con V vero) o F falso) le seguenti affermazioni: - Se E,..., E n sono stocasticamente indipendenti a due a due, allora E,..., E n sono stocasticamente F indipendenti - L indipendenza logica implica l indipendenza stocastica F - Un numero aleatorio con distribuzione di Poisson ha previsione e varianza coincidenti V - La probabilità condizionata può essere definita solo quando l evento condizionante ha probabilità positiva - Data un urna di composizione incognita, si effettuano estrazioni con restituzione. Gli eventi E j = pallina bianca alla j-esima estrazione sono indipendenti F F