CALCOLO DELLE PROBABILITA - 14 Gennaio 2015 CdL in STAD, SIGAD

Transcript

1 Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 4 Gennaio 5 CdL in STAD, SIGAD Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo: h 45. Non è consentito l utilizzo di libri o appunti. si ottiene risolvendo correttamente 5 esercizi.. Dati eventi E, E, E, con P (E ) P (E ) 5, P (E E ) P (E E ), P (E E E ), verificare la coerenza e calcolare la probabilità p dell evento E ce. Inoltre, calcolare la funzione di ripartizione del numero aleatorio X E + E E E. Coerenza? Si NO p F (x). Il gioco del Nuovo Miliardario è costituito da un lotto del quantitativo di biglietti con una struttura premi illustrata in Figura. Il costo di ciascun biglietto è C 5, euro. Supponiamo di acquistare il primo biglietto del lotto. Indichiamo con X la vincita aleatoria in euro relativa al primo biglietto acquistato. Calcolare: i) P (X ); ii) P (5 X ); iii) la probabilità condizionata δ di vincere un premio del valore di 5 euro sapendo di avere un biglietto con una vincita (positiva). Infine, calcolare il guadagno relativo atteso r di chi acquista il biglietto (r E( X C C )). Figura : Stuttura premi Nuovo Miliardario P (X ) ; P (5 X ) ; δ ; r ;. Vi sono tre carte, una è bianca su entrambi i lati, una è rossa su entrambi i lati e una è bianca da un lato e rossa dall altro. Ogni carta è nascosta in una scatola. Un giocatore sceglie a caso una delle tre scatole, estrae la carta e la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato, allora il conduttore propone al giocatore di voler scommettere che anche l altro lato della carta sia dello stesso colore, cioè propone una scommessa in cui se entrambi i lati della carta sono dello stesso colore vince il conduttore, se invece sono di colore diverso vince il giocatore. Indichiamo con B, R e M rispettivamente gli eventi la carta estratta è bianca su entrambi i lati, la carta estratta è rossa su entrambi i lati e la carta estratta è rossa da un lato e bianca dall altro e con I B, l evento il lato visibile della carta estratta è bianco. Calcolare la probabilità condizionata γ che il conduttore vinca la scommessa supposto che il lato visibile sia bianco. γ

2 4. Il tempo aleatorio X, impiegato in un percorso, ha una densità f(x), per x <, f(x) ax, per x, ] ed f(x) 4 x, per x > ; calcolare la costante a e il valore atteso µ di X. Inoltre, stabilire se P (X > µ) > P (X µ). a µ P (X > µ) > P (X µ)? 5. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f(x, y) (x ) +(y ) π e, per ogni (x, y) R. Verificare che X, Y siano stocasticamente indipendenti. Calcolare la funzione caratteristica del numero aleatorio Z X + Y e la probabilità p dell evento condizionato ( X, Y ) ( X, Y ). X, Y Indip? SI No ψ Z (t) p 6. I tempi di vita X, Y relativi a due dispositivi hanno una densità congiunta f(x, y) e x y, per x, y, con f(x, y) altrove. Indicando con Z il massimo di X, Y, calcolare la funzione di rischio h(z) e il valore atteso µ di Z. h(z) µ

3 Soluzione Provvisoria.. Coerenza: I Costituenti sono C E E E, C E E E c, C E E c E, C 4 E E c Ec, C 5 E c E E, C 6 E c E E c, C 7 E c Ec E, C 8 E c Ec Ec. Per verificare la coerenza dell assegnazione P (E ) P (E ) 5, P (E E ) P (E E ), P (E E E ) occorre verificare la risolubilità del seguente sistema 5 x + x + x + x 4 ; o equivalentemente del sistema ovvero di 5 x + x + x 5 + x 6 ; x + x ; x + x 5 ; x ; x x 8 ; x h, h,..., 8, x + x 4 x 6 x x 5 x x 7 + x 8 x h, h,..., 8, x 4 x x 6 x x 5 x x 8 x 7 x h, h,..., 8. Il precedente sistema ammette soluzioni per x 4 e x 8 Si ha p P (Ec E ) P (E ce E ) + P (E ce E c) x 5 + x 6 4. Oppure, Si ha p P (Ec E) P (Ec E ) P (E ) P (E E ) 5. Inoltre X {, }, con P (X ) P (E E ) P (E ) + P (E ) P (E E ) Allora: F (x), per x < ; F (x), per x < ; F (x), per x, cioè se x <, F (x) se x <, se x.

4 . Si ha Inoltre P (X ) P (X > ) δ P (X 5) (X > )] P (5 X ) , P (X 5) (X )] P (X > ) P (X 5) P (X > ) , Poichè si verifica che E(X), 6, si ha Si ha r,6 5 5, 8, cioè il giocatore perde mediamente 8 centesimi per ogni euro giocato.. Si ha γ P (B I B ) P (I B B) P (I B ) 4. Dev essere + f(x)dx ax dx + + a. Allora µ E(X) P (I B B)P (B) P (I B B)P (B) + P (I B R)P (R) + P (I B M)P (M) + +. xf(x)dx ˆ 4 dx x a x ] x 4 x dx + x dx ] + x quindi: P (X > µ) P (X > 5 9 ) dx 4 ] + x 9 x , con 9 P (X µ) P (X > µ).74. Pertanto: P (X > µ) < P (X µ). 5. Si ha f (x) f (y) (x ) +(y ) π e dy e (x ) π (x ) +(y ) π e dx e (y ) π ] a +, pertanto: + 4 ] + 7 x ; π e (y ) dy π e (x ) ; π e (x ) dx π e (y ) ; pertanto: X N,, Y N,, con f(x, y) f (x)f (y); ovvero X e Y sono stocasticamente indipendenti. Si ha E( X + Y ) E(X) + E(Y ) + e var( X+Y ) 4var(X)+9var(Y )+cov( X, Y ) Poichè Z è una combinazione lineare di numeri aleatori stocasticamente indipendenti e con distribuzione normale, si ha Z N, e quindi t it ψ X+Y (t) ψ X+Y (t) e. Inoltre, osservando che ( X, Y ) ( X, Y ) ( X, Y ), segue p P ( X, Y ) ( X, Y )] P ( X, Y ) P ( X, Y ) P ( X )P ( Y ) P ( X )P ( Y ) Φ,() Φ, ()]Φ, () Φ, ()] Φ, () Φ, ()]Φ, () Φ, ()] Φ() Φ()]Φ() Φ( )] Φ() Φ( )]Φ() Φ( )] Φ() Φ()] Φ() Φ( )] Φ() Φ()] (Φ() Φ()]) 4. 4

5 6. Per ogni fissato z >, si ha F (z) P (max(x, Y ) z) P (X z, Y z) ˆ z ˆ z e x y dxdy ˆ z ˆ z e x dx e y dy ( e z )( e z ) e z e z + e z ; S(z) F (z) e z + e z e z. Pertanto: h(z) f(z) λ, si ha S(z) S (z) S(z) e z +e z e z e z +e z e z ez +e z e z +e z. Inoltre, ricordando che + λze λz dz µ zf(z)dz ze z dz + ze z dz ze z dz