Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gioco del lotto, sulla ruota di Roma, da un urna contente 90 palline distinte se ne estraggono 5 senza rimbussolamento; calcolare a la probabilitá di fare ambo secco (cioé di indovinare due numeri su due numeri giocati b la probabilitá di fare ambo (e non terno! giocando tre numeri c la probabilitá di fare ambo giocando cinque numeri N.B. tutti i passaggi devono essere giustificati, non é necessario dare risposta numerica Soluzione: a Utilizziamo la regola casi favorevoli su casi possibili. Indichiamo con A l evento ambo secco ( 88 3 P (A = ( 90 5 b Indichiamo con B l evento ambo giocando tre numeri ( 3 2 P (B = ( 90 5 c Indichiamo con C l evento ambo giocando cinque numeri ( 5 2 ( 87 3 ( 85 3 P (C = (

2 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017 Esercizio 2 Sia (X, Y un vettore casuale distribuito uniformemente nel cerchio di centro l origine e raggio 1. a Scrivere la densitá di probabilitá congiunta del vettore (X, Y b Calcolare la probabilitá dell evento A = {(x, y R 2 x 2 + y 2 1/2} c Determinare la marginale di X, f X (x d X ed Y sono indipendenti? N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: a Indichiamo con C = {(x, y R 2 x 2 + y 2 1} il cerchio di centro l origine e raggio 1, allora la funzione densitá di probabilitá risulta essere: f (XY (x, y = { 1/π x, y C 0 altrove b Usiamo considerazioni di tipo geometrico per valutate l integrale doppio: 1 P (A = dxdy = 1/4 π c La marginale di X la si ottiene nel seguente modo: 1 x 2 1 f X (x = f X,Y (x, ydy = 1 x π dy = 2 A { 2 π 1 x 2 1 < x < 1 0 altrove d Per considerazioni di tipo simmetrico ci aspettiamo che la Y risulti avere la stessa distribuzione marginale e dunque la definizione di variabili indipendenti non é verificata esistendo almeno un punto (x, y in cui f (XY (x, y = 1 π 22 π 2 1 x 2 1 y 2 = f X (xf Y (y

3 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/ Esercizio 3 Indichiamo con N il numero giornaliero di utenti che richiedono un determinato servizio. Si assuma che la variabile casuale N sia di tipo Poisson di media 0.8 (cioé che il sistema di servizio serva in media 0.8 clienti al giorno. a Calcolare la probabilitá che in un giorno il sistema di servizio non riceva richieste da parte di utenti. b Calcolare la probabilitá che in una settimana (7 gg il sistema di servizio non riceva richieste da parte di utenti. c Se adesso si assume che la popolazione di utenti servita dal sistema sia composta da n = 1000 persone e che ciascuna di esse richiede il servizio in un giorno indipendentemente dalle altre con probabilitá p = , questa assunzione é in contrasto con la precedente? Cosa comporta ai fini del calcolo della probabilitá richiesta al punto a questa seconda assunzione? N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati. Soluzione: a Per ipotesi N P oisson(0.8 si ha dunque P (N = 0 = exp( 0.8 = b Si hanno due modi per procedere; in un primo modo si definisce una seconda variabile casuale di Poisson, Y, che conta il numero di utenti settimanali pertanto Y P oisson(5.6 e dunque P (Y = 0 = exp( 5.6 = , oppure l evento non ci sono utenti in una settimana lo si puó riscrivere come l intersezione dei sette eventi non ci sono utenti in un giorno e per l indipendenza si giunge allo stesso risultato. c Le due assunzioni non sono in contrasto perché se X é la variabile casuale che descrive il numero di utenti che richiedono il servizio in un giorno, per ipotesi di lavoro si ha X Bin(n, p. Per le proprietá della Poisson si ha allora P (X = k P (N = k e pertanto la probabilitá al punto a puó anche essere valutata P (X = 0 = (1 p n = =

4 4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017 Domanda 1 Si dia la definizione di funzione di ripartizione (o cumulativa di una variabile casuale e si evidenzi la differenza nel caso di variabile casuale discreta e nel caso di variabile casuale continua.

5 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/ Domanda 2 Si enunci il teorema del limite centrale.

6 6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 6/02/2017 Domanda 3 Si dia la formula di un itervallo di confidenza per la media di una popolazione gaussiana con varianza nota.