a) 36/100 b) 1/3 c)

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1 Da un urna contenente 10 palline, di cui 6 bianche e 4 nere, si estraggono due palline. Determinare la probabilità del seguente evento E=«le due palline sono bianche» nel caso di estrazioni a) con rimbussolamento b) senza rimbussolamento Ipotizzando che la scelta del rimbussalmento sia fatta con probabilità 1/3 e di conseguenza la scelta del non rimbussalamento sia fatta con probabilità 2/3, sapendo che le due palline estratte sono bianche, calcolare la probabilità che la procedura di estrazione abbia previsto il rimbussolamento a) 36/100 b) 1/3 c)

2 Supponiamo di disporre di 4 relè di cui 3 hanno probabilità di funzionamento 0.6 e l altro (più affidabile) ha probabilità di funzionamento 0.8. Stabilire con ragionamenti probabilistici come conviene piazzare i 4 relè nelle posizioni denominate 1,2,3 e 4 nel circuito rappresentato per massimizzare la probabilità di funzionamento. A B 2

3 Nel gioco del Lotto ad ogni estrazione settimanale cinque numeri sono estratti simultaneamente da un urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90. a) Calcolare la probabilità che un numero prefissato (ad esempio il 21) esca in una estrazione settimanale; b) calcolare in media ogni quante estrazioni viene estratto il 21; c) calcolare la probabilità che dopo 30 estrazioni il 21 non sia ancora uscito. d) Sapendo che nelle prime 100 estrazioni il 21 non è ancora uscito, calcolare la probabilità che esca dopo la 130-esima; e) calcolare la probabilità che il 21 esca almeno 3 volte nelle prime 50 estrazioni. [a) 1/18; b) 18; c) 0,1800; d) 0,1800; e) 0,5306] 3

4 Sia X una v.c. assolutamente continua la cui f.d.p. è f X 1 x 0 ( x) 1 0 x altrimenti 1 a) Determinare e graficare la funzione di ripartizione di X b) Calcolare il valore medio di X c) Determinare il valore di per cui X ha valor medio nullo d) Eventualmente riconoscere la distribuzione di X nel punto c) Risposta: c) 1/2 4

5 Siano X1 e X 2 variabili casuali discrete indipendenti tali che P( X k 1) k 1 1 P( X k 1) k k 1 (k=1,2) Determinare e rappresentare in forma tabellare la f.m.p. congiunta delle due v.a. Calcolare E( X1), E( X 2), var( X1), var( X 2), cov( X1, X 2) Calcolare il valor medio e la varianza della v.c. Z X 1 X 2 5

6 Data una variabile casuale X uniforme nell intervallo (0,1), si consideri la variabile casuale Y 1 1 X a) Determinare la funzione di ripartizione F Y (y) b) Determinare la funzione densità di probabilità f Y (y) 6

7 Un sistema è in grado di processare una sola richiesta in 15 minuti ed è in grado di processare solo una richiesta alla volta. Supponiamo che al sistema possano accedere solo due utenti nell arco di un intera ora. Indichiamo con X e Y le v.c. che registrano gli istanti di accesso di ciascun utente al sistema ed ipotizziamo che X e Y siano indipendenti ed uniformemente distribuite su (0m 60m). Se uno dei due utenti prova ad accedere al sistema mentre questo è impegnato a processare l altro, l utente viene rifiutato. Calcolare la probabilità che un utente sia rifiutato dal sistema. Risp)

8 Una ditta che produce transistor vuole valutare la qualità della propria produzione. A tal fine seleziona un campione casuale di 150 transistor: fra questi 20 risultano difettosi. a) Stimare la probabilità che un transistor sia difettoso b) Costruire l intervallo di confidenza al 90% per tale probabilità ( z 0 ) c) Sulla base dei dati osservati si può concludere al 5% di significatività che la percentuale di transistor difettosi sia maggiore del 10% a) b) [ ] c) no 8

9 Supponiamo di dover organizzare un sondaggio per scoprire la percentuale di italiani che alle prossime elezioni voterà Berlusconi. Quante persone devo intervistare per avere una stima della percentuale incognita al 95 % di confidenza con un errore inferiore al 1% z Risp)

10 Un segnale radio viene emesso con frequenza distribuita normalmente con valore atteso e deviazione standard 30kHz. Supponendo di osservare la seguente serie di frequenze in khz: a) Determinare una stima di b) Determinare la probabilità che la frequenza stia nell intervallo di estremi 590kHz e 610kHz c) Determinare un intervallo di confidenza per al 95%. d) Stabilire la precisione della stima ottenuta al punto precedente. e) Stabile quante altre frequenze devono essere misurate per poter dimezzare la precisone della stima mantenendo la confidenza al 95% z a) b) c) [ ] d) e)

11 Durante l ultimo anno un azienda ha introdotto l orario flessibile (ogni impiegato può, entro certi limiti, scegliere l orario di lavoro più adatto alle sue esigenze). Il numero medio di giorni di assenza per impiegato, nei tre anni precedenti, è stato di 6.3 giorni all anno. Per verificare se l introduzione dell orario flessibile ha ridotto l assenteismo, come alcuni dirigenti hanno sostenuto, viene estratto un campione casuale di 100 impiegati, e viene registrato il numero di giorni di assenza di ciascuno nel corso dell ultimo anno. Indicato con X il numero di giorni di assenza per ciascun impiegato si e osservato x i 550 x i i1 i1 a) Stimare, giustificando la scelta dello stimatore, la varianza dei giorni di assenza. b) Si può affermare, ad un livello di significatività pari a 0.5%, che l orario flessibile riduce l assenteismo? Rispondere commentando sia il risultato sia la procedura usata z a) 8.49 b) si 11