Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice.

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1 discrete uniforme Bernoulli Poisson Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 56

2 Outline discrete uniforme Bernoulli Poisson 1 2 discrete 3 uniforme 4 Bernoulli Poisson () Statistica 2 / 56

3 discrete Una variabile () una funzione misurabile e a valori reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una una regola che associa ad ogni evento un numero reale. uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 3 / 56

4 Esempi di variabile discrete uniforme Bernoulli Poisson Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario Ω = (E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 ), possibile definire diverse variabili casuali: X :numero della faccia uscita X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10 Y = { 7, 4, 1, 2, 5, 8} () Statistica 4 / 56

5 probabilità e variabili casuali discrete uniforme Bernoulli Poisson Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova sono X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T, T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT, CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC} I valori della variabile X corrispondenti agli eventi sono X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0} i valori che la X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}. () Statistica 5 / 56

6 probabilità e variabili casuali discrete uniforme Bernoulli Poisson Le probabilità associate ai valori della variabile sono P (X = 0) = P (CCCC) = 1 16 P (X = 1) = P (T CCC CT CC CCT C CCCT ) = = P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+ + P (CCCT ) = 4 16 P (X = 2) = P (T T CC T CCT CT T C CCT T T CT C CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+ P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+ + P (CT CT ) = 6 16 () Statistica 6 / 56

7 probabilità e variabili casuali discrete uniforme Bernoulli Poisson P (X = 3) = P (CT T T T CT T T T CT T T T C) = P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+ + P (T T CT ) = 4 16 P (X = 4) = P (T T T T ) = 1 16 () Statistica 7 / 56

8 Distribuzione di probabilità di una discrete uniforme Bernoulli Poisson Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle possibile riassumere i risultati nel seguente modo x i p i 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 () Statistica 8 / 56

9 Distribuzione di probabilità di una discrete uniforme Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio l evento A: escono almeno 3 teste Bernoulli Poisson P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) = = 5 16 Analogamente l evento B: escono fino a 2 teste P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = = () Statistica 9 / 56

10 Distribuzione di probabilità di una discrete uniforme Bernoulli una variabile si definisce discreta se mette in corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme finito o numerabile di numeri reali una variabile si definisce continua se essa può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale Poisson () Statistica 10 / 56

11 Distribuzione di probabilità di una discrete uniforme Bernoulli La distribuzione di probabilità di una discreta (probability mass function) data da x i p i x 1 p 1 x 2 p x i p i Perchè sia ben specificata la discreta deve soddisfare i postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che Poisson p i 0, i = 1, 2,... e che + p i = 1 i=1 () Statistica 11 / 56

12 Funzione di ripartizione per discrete discrete uniforme Bernoulli La funzione di ripartizione F (x 0 ) di una discreta calcolata nel punto x 0 data da F (x 0 ) = P (X x 0 ) = x x 0 p i Caratteristiche di F (x) La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 F (x) 1 Poisson () Statistica 12 / 56

13 Distribuzione di probabilità di una discrete uniforme Bernoulli Poisson La funzione di ripartizione associata alla variabile numero di teste nella prova lancio di quattro monete Nota x i p i F (x i ) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della X. () Statistica 13 / 56

14 Rappresentazioni di discrete Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una discreta si ricorre al diagramma ad aste discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 14 / 56

15 Rappresentazioni di discrete La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 15 / 56

16 Valore atteso e varianza di discrete discrete uniforme Bernoulli Poisson Valore atteso Il valore atteso rappresenta il valore di tendenza centrale di una variabile n E(X) = x i f(x i ) i=1 Varianza La varianza di una è il valore atteso degli scarti al quadrato da E(X). n V ar(x) = (x i E(X)) 2 f(x i ) i=1 () Statistica 16 / 56

17 uniforme discrete uniforme Bernoulli Poisson Una variabile X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n se assume valori su un insieme finito x 1, x 2,..., x n e la sua funzione di probabilità la seguente P (X = x i ) = 1 i = 1,..., n n la media o valore atteso della distribuzione uniforme n n i E(X) = if(i) = n = n i=1 i=1 la varianza della distribuzione uniforme var(x) = n () Statistica 17 / 56

18 uniforme discrete uniforme Bernoulli All esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile uniforme discreta di parametro n = 6. Calcolare valore atteso e varianza della associata all esperimento: la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = n+1 = 6+1 = la varianza della distribuzione uniforme var(x) = n2 1 = 62 1 = = 2.92 Poisson () Statistica 18 / 56

19 di Bernoulli discrete uniforme Bernoulli Poisson E una che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se l evento E si sia verificato o meno. E legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo (1) e insucesso (0) P (X = x) = p x (1 p) 1 x i = 1,..., n la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p la varianza della distribuzione di Bernoulli var(x) = p (1 p) () Statistica 19 / 56

20 Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque ( n P (X = x) = p x) x (1 p) n x i = 1,..., n ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed n x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p p... p = p x probabilità di ottenere x successi e la probabilità (1 p) (1 p)... (1 p) = (1 p) n x di ottenere (n x) insuccessi. nota Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di prove) palline da un urna che ne contiene H: si considera che nell urna ci siano b palline bianche e H b palline nere, il successo corrisponde all estrazione di una pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = b H. () Statistica 20 / 56

21 Binomiale discrete uniforme Bernoulli il valore atteso della distribuzione Binomiale è E(X) = np la varianza della distribuzione Binomiale var(x) = np (1 p) Poisson () Statistica 21 / 56

22 Binomiale: esempio 2 discrete uniforme Bernoulli Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo una. Determinare i parametri della, indicare inoltre la media e la varianza. Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari. I parametri della distribuzione sono n = 10 e p = P (E 2 E 4 E 6 ) = = 1 2 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = = 5 e var(x) = = 2.5 Poisson () Statistica 22 / 56

23 Binomiale: esempio 3 discrete uniforme Bernoulli Poisson Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l 80% è rappresentato da cittadini italiani. Il successo consiste nell estrarre dal campione un cittadino straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato pi volte). Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo? Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità? Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) Svolgimento Qual è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri? I parametri della distribuzione sono n = 25; l 80% dei 200 individui considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi p = 0.2 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = = 5 e var(x) = = 4 () Statistica 23 / 56

24 Binomiale: esempio 3 discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 24 / 56

25 Binomiale: esempio 3 Qual è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri? discrete uniforme Bernoulli Poisson Dunque P (4 X 7) = F (7) F (3) = () Statistica 25 / 56

26 Andamento V.C. Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 26 / 56

27 Andamento V.C. Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 27 / 56

28 Andamento V.C. Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 28 / 56

29 Andamento V.C. Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 29 / 56

30 Andamento V.C. Binomiale discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 30 / 56

31 discrete uniforme Bernoulli Poisson La V.C. ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza che l estrazione avviene senza ripetizione: in altre parole, le prove successive non sono indipendenti, il risultato di ciascuna prova condiziona il risultato della prova successiva. Si considerino le seguenti quantità: n è il numero di prove. H è il numero complessivo di palline nell urna b è il numero di palline bianche presenti nell urna; di conseguenza le restanti H b sono nere. Il successo in ciascuna prova si ottiene se la pallina estratta è bianca: la probabilità di successo è dunque p = b H. sia x è il numero di successi in n prove. () Statistica 31 / 56

32 discrete uniforme Bernoulli Poisson La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è ( b H b ) x)( n x P (X = x) = f(x) = ( H n) ( H ) n rappresenta il numero di combinazioni di risultati dell estrazione di n palline da un urna che ne contiene H ( b ) x rappresenta il numero di combinazioni di x successi (estrazione di palline bianche) che si possono ottenere sapendo che nell urna ci sono b palline bianche; ( H b n x) rappresenta il numero di combinazioni di n x insuccessi (estrazione di palline nere) che si possono ottenere sapendo che nell urna ci sono H b palline nere; il valore atteso e la varianza della distribuzione sono rispettivamente, E(X) = np, var(x) = np(1 p) H n H 1 () Statistica 32 / 56

33 : esempio 4 discrete uniforme Bernoulli Poisson Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al massimo una difettosa. Qual è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) Svolgimento I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono: n = = 20 corrispondente al numero di schede ispezionate b = 5 numero di schede difettose nel lotto H = 100 numero di schede nel lotto () Statistica 33 / 56

34 : esempio 4 discrete uniforme Qual è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20 schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) Bernoulli Poisson da cui ( b H b ) ( ) x)( n x 0)( 20 0 P (X = 0) = ( H = ( 100 ) = n) 20 ( b H b ) ( ) x)( n x 1)( 20 1 P (X = 1) = ( H = ( 100 ) = n) 20 P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = = () Statistica 34 / 56

35 : esempio 4 discrete uniforme Bernoulli Poisson Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? Sia p = b H = = 0.05 il valore atteso è, la varianza è E(X) = np = = 1 var(x) = np(1 p) H n 80 = H 1 99 = la deviazione standard è var(x) = = () Statistica 35 / 56

36 : esempio 4 Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 36 / 56

37 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 37 / 56

38 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 38 / 56

39 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 39 / 56

40 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 40 / 56

41 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 41 / 56

42 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 42 / 56

43 Andamento V.C. discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 43 / 56

44 Binomiale Negativa discrete uniforme Bernoulli Poisson La variabile che modellizza il numero di prove, secondo lo schema successo-insuccesso della di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque ( x 1 ) P (X = x) = p k (1 p) x k x = k, k k 1 La funzione di probabilità della binomiale è data dal prodotto tra la probabilità p associata al k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k 1 successi nelle x 1 prove precedenti. La probabilità di ottenere k 1 successi in x 1 prove si calcola con una binomiale di parametri ((x 1), p). Formalmente ( x 1 ) P (X = x) = p p k 1 (1 p) (x 1) (k 1) = k 1 }{{} Bin(x 1,p) ( x 1 ) = p p k 1 (1 p) (x 1 k+1) = k 1 ( x 1 ) = p k (1 p) x k k 1 }{{} negbin(k,p) () Statistica 44 / 56

45 Binomiale Negativa discrete uniforme Bernoulli il valore atteso della distribuzione Binomiale Negativa è E(X) = k 1 p la varianza della distribuzione Binomiale Negativa è var(x) = k 1 p p 2 Poisson () Statistica 45 / 56

46 Binomiale Negativa discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 46 / 56

47 Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson Una X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di Poisson se la corrispondente funzione di massa di probabilità è λ λx P (X = x) = e x! dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell unità di tempo considerata () Statistica 47 / 56

48 Casuale di Poisson: esempi discrete uniforme Bernoulli n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale n. di globuli rossi per mm 3 di sangue di un certo paziente n. di bombe cadute per km 2 a Londra durante la seconda guerra mondiale n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore Poisson () Statistica 48 / 56

49 Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli il valore atteso della distribuzione Poisson è E(X) = λ la varianza della distribuzione Poisson è var(x) = λ Poisson () Statistica 49 / 56

50 Andamento Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 50 / 56

51 Andamento Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 51 / 56

52 Andamento Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 52 / 56

53 Andamento Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 53 / 56

54 Andamento Casuale di Poisson discrete uniforme Bernoulli Poisson () Statistica 54 / 56

55 Casuale di Poisson: esempio 1 discrete uniforme Bernoulli Poisson Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana sull autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual è la probabilità che la prossima settimana ci sia almeno un incidente? Svolgimento La variabile in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 1.2, formalmente X P oi(λ = 1.2). λ λx P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 e = e x! 0! = 1 e = = () Statistica 55 / 56

56 Casuale di Poisson: esempio 2 discrete uniforme Bernoulli Poisson Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al mese. Qual è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi? Qual è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi? Qual è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi? Svolgimento La variabile in questione segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = 4, formalmente X P oi(λ = 4). λ λx 4 40 P (X = 0) = 1 e = e = x! 0! P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 4 40 = e 0! e 4 1! e 4 2! = = P (X > 3) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = [ 4 40 = 1 e 0! e 4 1! e 4 2! + 4 ] 3 e 4 = 3! = 1 [ ] = () Statistica 56 / 56