Statistica. Esercitazione 10. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice. V.C.

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1 uniforme Bernoulli binomiale di Esercitazione 10 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 55

2 Outline uniforme Bernoulli binomiale di 1 uniforme 2 Bernoulli binomiale 6 di () 2 / 55

3 Variabile casuale uniforme Bernoulli Una variabile casuale (v.c.) una funzione misurabile e a valori reali definita su uno spazio Ω. In altre parole una v.c. una regola che associa ad ogni evento un numero reale. binomiale di () 3 / 55

4 Esempi di variabile casuale uniforme Bernoulli binomiale di Data la prova lancio di un dado il cui spazio campionario Ω = (E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 ), possibile definire diverse variabili casuali: X :numero della faccia uscita X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y : tre volte il numero uscito meno il numero 10 Y = { 7, 4, 1, 2, 5, 8} () 4 / 55

5 probabilità e variabili casuali uniforme Si consideri la prova lancio di quattro monete e la variabile casuale X = numero di teste (T). I possibili eventi della prova sono Bernoulli binomiale di X ={T T T T, T CT T, T T CT, T T T C, CT T T, T CCT, T CT C, T T CC, CCT T, CT CT, CT T C, T CCC, CCCT, CT CC, CCT C, CCCC} I valori della variabile casuale X corrispondenti agli eventi sono X ={4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0} i valori che la v.c. X pu assumere sono {0, 1, 2, 3, 4}. () 5 / 55

6 probabilità e variabili casuali uniforme Bernoulli binomiale di Le probabilità associate ai valori della variabile casuale sono P (X = 0) = P (CCCC) = 1 16 P (X = 1) = P (T CCC CT CC CCT C CCCT ) = = P (T CCC) + P (CT CC) + P (CCT C)+ + P (CCCT ) = 4 16 P (X = 2) = P (T T CC T CCT CT T C CCT T T CT C CT CT ) = P (T T CC) + P (T CCT )+ P (CT T C) + P (CCT T ) + P (T CT C)+ + P (CT CT ) = 6 16 () 6 / 55

7 probabilità e variabili casuali uniforme Bernoulli binomiale P (X = 3) = P (CT T T T CT T T T CT T T T C) = P (T T T C) + P (CT T T ) + P (T CT T )+ + P (T T CT ) = 4 16 di P (X = 4) = P (T T T T ) = 1 16 () 7 / 55

8 Distribuzione di probabilità di una v.c. uniforme Bernoulli binomiale di Avendo calcolato le probabilità associate ai diversi valori delle v.c. possibile riassumere i risultati nel seguente modo x i p i 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 () 8 / 55

9 Distribuzione di probabilità di una v.c. uniforme Bernoulli binomiale di Avendo la distribuzione di probabilità per la variabile casuale X, possibile calcolare la probabilità di qualsiasi evento ottenibile a partire dallo spazio campione Ω. Ad esempio l evento A: escono almeno 3 teste P (A) = P (X = 3) + P (X = 4) = = 5 16 Analogamente l evento B: escono fino a 2 teste P (B) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = = () 9 / 55

10 Distribuzione di probabilità di una v.c. uniforme Bernoulli binomiale di una variabile casuale si definisce discreta se mette in corrispondenza gli eventi di una prova con un insieme finito o numerabile di numeri reali una variabile casuale si definisce continua se essa può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale () 10 / 55

11 Distribuzione di probabilità di una v.c. uniforme Bernoulli binomiale di La distribuzione di probabilità di una v.c. discreta data da x i p i x 1 p 1 x 2 p x i p i Perchè sia ben specificata la v.c. discreta deve soddisfare i postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che p i 0, i = 1, 2,... e che + p i = 1 i=1 () 11 / 55

12 Funzione di ripartizione per v.c. discrete uniforme Bernoulli binomiale di La funzione di ripartizione F (x 0 ) di una v.c. discreta calcolata nel punto x 0 data da F (x 0 ) = P (X x 0 ) = x x 0 p i Caratteristiche di F (x) La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 F (x) 1 () 12 / 55

13 Distribuzione di probabilità di una v.c. uniforme Bernoulli binomiale di La funzione di ripartizione associata alla variabile casuale numero di teste nella prova lancio di quattro monete Nota x i p i F (x i ) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 Dalla funzione di ripartizione possibile risalire alla distribuzione di probabilità della v.c. X. () 13 / 55

14 Rappresentazioni di v.c. discrete Per rappresentare la distribuzione di probabilità di una v.c. discreta si ricorre al diagramma ad aste uniforme Bernoulli binomiale di () 14 / 55

15 Rappresentazioni di v.c. discrete uniforme La funzione di ripartizione viene rappresentata tramite un diagramma a scale Bernoulli binomiale di () 15 / 55

16 Variabile casuale uniforme uniforme Bernoulli Una variabile casuale X si dice seguire una distribuzione Uniforme di parametro n se assume valori su un insieme finito x 1, x 2,..., x n e la sua funzione di probabilità la seguente P (X = x i ) = 1 n i = 1,..., n binomiale di la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = n+1 2 la varianza della distribuzione uniforme var(x) = n () 16 / 55

17 Variabile casuale uniforme uniforme Bernoulli binomiale di All esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Svolgimento la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = n+1 = 6+1 = la varianza della distribuzione uniforme var(x) = n2 1 = 62 1 = = 2.92 () 17 / 55

18 Variabile casuale uniforme uniforme Bernoulli binomiale di All esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si associa una variabile casuale uniforme discreta di parametro n = 6. Svolgimento la media o valore atteso della distribuzione uniforme E(X) = n+1 = 6+1 = la varianza della distribuzione uniforme var(x) = n2 1 = 62 1 = = 2.92 () 18 / 55

19 Variabile casuale di Bernoulli uniforme Bernoulli binomiale di E una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se l evento E si sia verificato o meno. E legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo (1) e insucesso (0) P (X = x) = p x (1 p) 1 x i = 1,..., n la media o valore atteso della distribuzione di Bernoulli E(X) = p la varianza della distribuzione di Bernoulli var(x) = p (1 p) () 19 / 55

20 Variabile casuale uniforme Bernoulli binomiale di Consiste nel ripetere n volte, e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si successi ottenuti in n prove. La funzione di massa di probabilità è dunque ( n P (X = x) = p x) x (1 p) n x i = 1,..., n ovvero si contano le combinazioni di risultati che determinano x successi ed n x insuccessi, e ad essi si associa la probabilità p p... p = p x probabilità di ottenere x successi e la probabilità (1 p) (1 p)... (1 p) = (1 p) n x di ottenere (n x) insuccessi. nota Lo schema binomiale equivale ad una estrazione con ripetizione di n (numero di prove) palline da un urna che ne contiene H: si considera che nell urna ci siano b palline bianche e H b palline nere, il successo corrisponde all esreazione di una pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = b H. () 20 / 55

21 Variabile casuale uniforme Bernoulli binomiale di il valore atteso della distribuzione è E(X) = np la varianza della distribuzione var(x) = np (1 p) la asimmetria della distribuzione asymm(x) = 1 2p np(1 p) la curtorsi della distribuzione kurt(x) = p + 6p2 np(1 p) () 21 / 55

22 Variabile casuale : esercizio 2 uniforme Bernoulli binomiale di Si considerino i seguenti esempi di esperimenti probabilistici distribuiti secondo una v.c.. Determinare i parametri della v.c., indicare inoltre la media e la varianza. Si ripete per 10 volte il lancio di un dado, se il risultato è un numero pari. I parametri della distribuzione sono n = 10 e p = P (E 2 E 4 E 6 ) = = 1 2 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = = 5 e var(x) = = 2.5 () 22 / 55

23 Variabile casuale : esercizio 3 uniforme Bernoulli binomiale di Si consideri un campione di 200 cittadini europei, in cui l 80% è rappresentato da cittadini italiani. Il successo consiste nell estrarre dal campione un cittadino straniero, le prove sono 25 (è possibile che uno stesso cittadino sia selezionato più volte). Quali sono i parametri della distribuzione che regola tale processo? Quale il numero atteso di cittadini stranieri e con quale variabilità? Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) Svolgimento Qual è la probabilità di selezionare tra 7 e 4 cittadini stranieri? I parametri della distribuzione sono n = 25; l 80% dei 200 individui considerati è italiano, pertanto il 20% è costituito da stranieri, quindi p = 0.2 Media e varianza sono rispettivamente E(X) = np = = 5 e var(x) = = 4 () 23 / 55

24 Variabile casuale : esercizio 3 uniforme Bernoulli binomiale di () 24 / 55

25 Variabile casuale : esercizio 3 Qual è la probabilità di selezionare tra 4 e 7 cittadini stranieri? uniforme Bernoulli binomiale di Dunque P (4 X 7) = F (7) F (3) = () 25 / 55

26 Andamento uniforme Bernoulli binomiale di () 26 / 55

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30 Andamento uniforme Bernoulli binomiale di () 30 / 55

31 Variabile casuale uniforme Bernoulli binomiale di La ipergeometrica è del tutto simile allo schema binomiale con la differenza che l estrazione avviene senza ripetizione. Anche in questo caso si estraggono n (numero di prove) palline da un urna che ne contiene H: si considera che nell urna ci siano b palline bianche e H b palline nere, il successo corrisponde all estrazione di una pallina bianca e quindi la probabilità corrispondente è p = b H. La funzione di massa di probabilità con parametri n, b, H è ( b H b ) x)( n x P (X = x) = ( H n) il valore atteso e la varianza della distribuzione sono rispettivamente, asimmetria della distribuzione E(X) = np, var(x) = np(1 p) H n H 1 1 2p H 2n asym(x) = np(1 p) H n H 2 H 1 curtosi della distribuzione (H 1)(H + 6) kurt(x) = 3 (H 2)(H 3) + H(H 1)(H + 1) (H n)(h 2)(H 3) 1 np(1 p) [ 1 6H H + 1 ( p(1 p) + )] n(h n) H 2 () 31 / 55

32 Variabile casuale : esercizio 4 uniforme Bernoulli binomiale di Un lotto di 100 schede madri contiene 5 schede difettose. Il compratore accetta di acquistare il lotto solo se, ispezionando 1/5 delle schede del lotto, ne trova al massimo una difettosa. Qual è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) Svolgimento I parametri della distribuzione ipergeometrica che regola tale processo sono: n = = 20 corrispondente al numero di schede ispezionate b = 5 numero di schede difettose nel lotto H = 100 numero di schede nel lotto () 32 / 55

33 Variabile casuale : esercizio 4 uniforme Bernoulli Qual è la probabilità che il compratore acquisti effettivamente il lotto di schede madri? Affinchè il compratore acquisti il lotto, deve verificarsi che, ispezionando 20 schede ne trovi al massimo una difettosa. La probabilità cercata è dunque P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) binomiale di da cui ( b H b ) ( ) x)( n x 0)( 20 0 P (X = 0) = ( H = ( 100 ) = n) 20 ( b H b ) ( ) x)( n x 1)( 20 1 P (X = 1) = ( H = ( 100 ) = n) 20 P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = = () 33 / 55

34 Variabile casuale : esercizio 4 uniforme Bernoulli binomiale di Quale il numero atteso di schede difettose che ci si attende di trovare e con quale variabilità? Sia p = b H = = 0.05 il valore atteso è, la varianza è E(X) = np = = 1 var(x) = np(1 p) H n 80 = H 1 99 = la deviazione standard è var(x) = = () 34 / 55

35 Variabile casuale : esercizio 4 Rappresentare graficamente la distribuzione (f.massa di probabilità e f. di ripartizione) uniforme Bernoulli binomiale di () 35 / 55

36 Andamento uniforme Bernoulli binomiale di () 36 / 55

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43 Variabile casuale Negativa uniforme Bernoulli binomiale di La variabile casuale che modellizza il numero di prove, secondo lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli. In particolare X rappresenta il numero si prove necessarie per ottenere k successi, laddove la probabilità di successo nella singola prove è p. La funzione di massa di probabilità è dunque ( x 1 ) P (X = x) = p k (1 p) x k x = k, k k 1 La funzione di probabilità della binomiale è data dal prodotto tra la probabilità p associata al k-mo successo (nella X-ma prova) per la probabità di aver ottenuto k 1 successi nelle x 1 prove precedenti. La probabilità di ottenere k 1 successi in x 1 prove si calcola con una v.c. binomiale di parametri ((x 1), p). Formalmente ( x 1 ) P (X = x) = p p k 1 (1 p) (x 1) (k 1) = k 1 } {{ } Bin(x 1,p) ( x 1 ) = p p k 1 (1 p) (x 1 k+1) = k 1 ( x 1 ) = p k (1 p) x k k 1 } {{ } negbin(k,p) () 43 / 55

44 Variabile casuale Negativa uniforme Bernoulli binomiale di il valore atteso della distribuzione Negativa è E(X) = k 1 p la varianza della distribuzione Negativa è var(x) = k 1 p p 2 la asimmetria della distribuzione Negativa è asymm(x) = 2 p k(1 p) la curtorsi della distribuzione Negativa è kurt(x) = k + p 2 k(1 p) () 44 / 55

45 Variabile casuale Negativa uniforme Bernoulli binomiale di () 45 / 55

46 Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di Una v.c. X che rappresenta il numero di volte che si verifica un determinato evento in un intervallo spazio/temporale si definisce di se la corrispondente funzione di massa di probabilità è λ λx P (X = x) = e x! dove e rappresenta la base del logaritmo naturale e λ è il parametro della distribuzione e rappresenta il numero medio di eventi nell unità di tempo considerata () 46 / 55

47 Variabile Casuale di : esempi uniforme Bernoulli binomiale di n. di clienti che accendono un mutuo in una banca ogni settimana n. di incidenti che si verificano lungo un determinato tratto autostradale n. di globuli rossi per mm 3 di sangue di un certo paziente n. di bombe cadute per km 2 a Londra durante la seconda guerra mondiale n. di errori tipografici su una pagina commessi da un editore () 47 / 55

48 Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di il valore atteso della distribuzione è E(X) = λ la varianza della distribuzione è var(x) = λ la asimmetria della distribuzione è asymm(x) = 1 λ la curtorsi della distribuzione è kurt(x) = λ () 48 / 55

49 Andamento Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di () 49 / 55

50 Andamento Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di () 50 / 55

51 Andamento Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di () 51 / 55

52 Andamento Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di () 52 / 55

53 Andamento Variabile Casuale di uniforme Bernoulli binomiale di () 53 / 55

54 Variabile Casuale di : esercizio 1 uniforme Bernoulli binomiale di Sia 1.2 il numero medio di incidenti che si verificano ogni settimana sull autostrada Salerno-Reggio Calabria. Qual è la probabilità che la prossima settimana ci sia almeno un incidente? Svolgimento La variabile casuale in questione segue una distribuzione di di parametro λ = 1.2, formalmente X P oi(λ = 1.2). λ λx P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 e = e x! 0! = 1 e = = () 54 / 55

55 Variabile Casuale di : esercizio 2 uniforme Bernoulli binomiale di Una compagnia di assicurazioni effettua mediamente 4 rimborsi consistenti al mese. Qual è la probabilità che il prossimo mese non ci siano rimborsi? Qual è la probabilità che il prossimo mese ci siano al massimo due rimborsi? Qual è la probabilità che il prossimo mese ci siano oltre tre rimborsi? Svolgimento La variabile casuale in questione segue una distribuzione di di parametro λ = 4, formalmente X P oi(λ = 4). λ λx 4 40 P (X = 0) = 1 e = e = x! 0! P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 4 40 = e 0! e 4 1! e 4 2! = = P (X > 3) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = [ 4 40 = 1 e 0! e 4 1! e 4 2! + 4 ] 3 e 4 = 3! = 1 [ ] = () 55 / 55